- •Одеса Наука і техніка 2006
- •Розділ 1. Теорія множин і алгебраїчних систем
- •1.1. Основні поняття і завдання множин
- •1.2. Операції над множинами. Формули. Тотожності
- •1.3. Доведення тотожностей. Булева алгебра множин
- •1.4. Узагальнення операцій. Подвійність
- •Спісок літератури: Основна
- •2.1. Рівняння
- •2.2. Покриття і розбивки
- •2.3. Потужність множин. Зчисленні і континуальні множини
- •Список літератури Основна
- •3.1. Упорядковані множини
- •3.2. Графіки
- •Список літератури Основна
- •4.1. Відповідності
- •4.2. Образи і прообрази
- •4.3. Відображення і діаграми
- •Список літератури Основна
- •5.1. Основні поняття відношень
- •5.2. Множинні операції відношень
- •Список літератури Основна
- •6.1. Перестановка, ототожнення, приписування фіктивної координати
- •6.2. Згортка де Моргана, суперпозиція
- •Список літератури Основна
- •7.1. Успадковані властивості відношень
- •7.2. Спеціальні властивості відношень
- •Список літератури Основна
- •8.1. Еквівалентність
- •8.2. Порядок
- •8.3. Толерантність
- •8.4. Квазіпорядок
- •Список літератури Основна
- •9.1. Замикання відношень
- •9.2. Спеціальні функції
- •9.2.1. Підстановки
- •9.2.2. Послідовності
- •9.2.3. Функціонали
- •9.2.4. Функції, що зберігають алгебраїчні властивості
- •9.3. Операції
- •9.3.1. Загальні визначення операцій
- •9.3.2. Властивості операцій
- •Список літератури Основна
- •10.1 Композиція об'єктів
- •10.2. Внутрішній закон композиції
- •11.1 Алгебраїчні системи (моделі)
- •11.2. Групи підстановок і кільце множин
- •Розділ II. Комбінаторика
- •12.1. Вибірка елементів
- •12.2. Правило суми і добутку
- •12.3. Перестановки
- •12.4. Сполучення
- •12.5. Рекурентні співвідношення
- •12.6. Біном Ньютона
- •Список літератури Основна
- •13.1. Поліноміальні твірні функції
- •13.2. Експонентні твірні функції
- •13.3. Принцип включення і виключення
- •13.4. Розбивки
- •Список літератури Основна
- •Розділ III. Графи
- •14.1. Основні визначення
- •14.2. Способи представлення графів
- •Список літератури Основна
- •15.1. Основні визначення (продовження)
- •15.2. Зважені (відзначені) графи
- •Список літератури Основна
- •16.1. Операції над графуми
- •16.2. Властивості базових операцій над графами
- •Список літератури Основна
- •17.1. Чисельні характеристики графів
- •17.1.1. Ступінь вершин
- •17.1.2. Цикломатичне число
- •17.1.3. Хроматичне число
- •17.1.4. Множина внутрішньої стійкості
- •17.1.5. Множина зовнішньої стійкості
- •17.2. Представлення графів у пам'яті еом
- •Список літератури Основна
- •Розділ IV. Скінченні автомати
- •18.1. Абстрактний автомат
- •18.2. Способи завдання автоматів
- •18.2.1. Табличний спосіб
- •18.2.2. Графічний спосіб
- •18.3. Розширення функцій і
- •Список літератури Основна
- •19.1. Синхронні й асинхронні автомати
- •19.2. Асинхронні автомати, що тактуються
- •19.3. Перетворення автоматів Мілі і Мура
- •19.3.1. Перетворення автомата Мура в автомат Мілі
- •19.3.2. Перетворення автомата Мілі в автомат Мура
- •19.4. Сполучена модель автоматів – с-автомат
- •Список літератури Основна
- •20.1. Композиція автоматів
- •20.1.1. Рівнобіжне з'єднання
- •20.1.2. Послідовне з'єднання двох автоматів
- •20.1.3. З'єднання зі зворотним зв'язком
- •20.2. З'єднання автоматів з вихідною функцією
- •Список літератури Основна
- •21.1. Мережі автоматів
- •21.2. Еквівалентні автомати мережі
- •Список літератури Основна
- •Розділ V. Булева алгебра
- •22.1. Логічні функції
- •22.2. Булеві функції
- •22.3. Логічні формули
- •Список літератури Основна
- •23.1. Способи завдання булевих функцій
- •23.1.1. Табличний спосіб
- •23.1.2. Аналітичний спосіб Нормальні форми
- •23.1.3. Геометричний спосіб
- •23.1.4. Чисельний спосіб
- •23.2. Приведення формул булевої алгебри до досконалої форми
- •Список літератури Основна
- •24.1. Булева алгебра
- •24.2. Спрощення запису формул
- •24.3. Подвійність формул булевої алгебри
- •24.4. Булева алгебра множин
- •Список літератури Основна
- •25.1. Алгебра Жегалкіна
- •25.2. Типи булевих функцій
- •25.3. Функціональна повнота
- •25.4. Логічні (перемикальні) схеми
- •25.5. Канонічна задача синтезу логічних схем
- •Список літератури Основна
- •26.1. Графічний метод мінімізації булевих функцій
- •26.2. Табличний метод мінімізації
- •Список літератури Основна
- •27.1. Аналітичні методи мінімізації
- •27.1.1. Комплекс кубів
- •27.1.2. Постановка задачі
- •27.2. Метод Квайна
- •27.3. Алгебраїчний метод одержання мінімального покриття (алгоритм Петрика)
- •Список літератури Основна
- •28.1. Метод Квайна-МакКласкі
- •28.2. Мінімізація частково визначених функцій
- •Список літератури Основна
- •29.1 Основні визначення
- •29.2 Інтервальне представлення в матричній формі
- •29.3. Спрощення днф за матричною формою Закревського
- •30.1. Формулювання алгоритму побудови максимальних інтервалів для точки
- •30.2. Алгоритм для днф
- •30.3. Метод Блейка
- •31.1. Основні визначення
- •32.2. Використання системи булевих функцій для синтезу кс
- •31.3 Точний метод мінімізації систем булевих функцій Барті-Полянського
- •31.4. Інтуїтивний метод спрощення системи днф за матричною формою
- •32.1. Інтервальне представлення в еом
- •32.2. Основні операції над інтервальним представленням
- •33.1. Використання операцій інтервального представлення
- •33.2. Метричні властивості диз'юнктивної нормальної форми
- •34.1 Булеві рівняння
- •34.2. Булеві нерівності
- •34.3. Спільні системи нерівностей і рівнянь
- •35.1. Властивості булевой різниці
- •35.2. Методи знаходження булевой різниці
- •35.3. Подвійна булева різниця
- •35.4. Булеві похідні й диференціали
- •36.1. Висловлення предикатів
- •36.2. Логіка предикатів
- •36.3. Правила застосування кванторів
- •Список літератури Основна
- •Список літератури
- •Вступ 3
- •1. Теорія множин і алгебраїчних систем 4
- •2. Комбінаторика 65 Лекція 12. Комбінаторика. Базові методи 65
- •3. Графи 78
- •4. Скінченні автомати 101
- •5. Булева алгебра 123 Лекція 22. Булеві функції 123
25.4. Логічні (перемикальні) схеми
Для реалізації булевих функцій розробляються і використовуються релейні і логічні елементи, що є звичайно напівпровідниковими приладами, що виконані за субмікронною технологією. Їхні входи відповідають булевим змінним, виходи - реалізованої функції. Для позначення логічних елементів використовують прямокутники, трикутники, або інші фігури. У полі фігури елемента може бути указана та операція, що він реалізує. Подібно суперпозиції булевих функцій логічні схеми будують з'єднанням логічних елементів.
Приклад. Релейні (контактні) схеми).
Рис. 25.1. Релейні перемикальні схеми для трьох функцій а - y1 =x; б - y2 = x; с - у3 =x1(x2x3)
Приклад. Логічна схема з п’яти елементів.
Рис. 25.2. Логічна схема для функції y = (x1x2) (x1 x2)
25.5. Канонічна задача синтезу логічних схем
Пристрої, що реалізують елементарні булеві функції, називаються логічними елементами. Логічною схемою називається з'єднання (суперпозиція) логічних елементів.
Задача побудови логічної схеми, що відповідає заданій булевій функції, називається задачею синтезу.
Задача визначення булевої функції для заданої логічної схеми називається задачею аналізу.
Між формулою, що відповідає булевій функції, і логічною схемою, що реалізує формулу, існує взаємно однозначна відповідність. Однак та сама булева функція може бути представлена за допомогою декількох формул, отже, можна побудувати кілька схем, що реалізують ту саму булеву функцію. Такі логічні схеми називаються еквівалентними. Очевидно, що більш простій формулі відповідає і більш проста логічна схема. Прийнято вважати більш простою ту формулу, що містить менше число змінних і логічних операцій. Таким чином, для одержання більш простої логічної схеми необхідно провести спрощення формули логічної функції за допомогою логічних перетворень.
Визначення. Канонічна задача синтезу логічних схем у булевому базисі (, , ) зводиться до такого:
Вихідна булева функція представляється в СДНФ (СКНФ).
За допомогою операцій доповнення, поглинання булева функція приводиться до вигляду ДНФ (КНФ), що містить кількість (букв) змінних і знаків операцій, яка не піддається скороченню, тобто тупикової ДНФ (тупикової КНФ) чи ТДНФ (ТКНФ).
Для отриманої ТДНФ (ТКНФ) будується логічна схема.
Операції доповнення:
(x1x2)(x1x2)=x1; (x1x2) (x1x2)=x1.
Операції поглинання:
x1(x1x2)=x1; x1(x1x2)=x1.
У результаті застосування операцій доповнення і поглинання виходять формули, для яких подальші операції доповнення і поглинання застосувати неможна, тобто тупикові форми - ТДНФ і ТКНФ. Серед тупикових форм знаходиться і мінімальна (МДНФ і МКНФ), причому мінімальних форм може бути кілька. Ще один крок у мінімізації – одержання форми у дужках (СкНФ).
Приклад. y=x1x2x3x1x2x3x1x2x3 СДНФ
y=x1x2x3x1x2x3x1x2x3x1x2x3
y=x1x2x2x3 МДНФ
y=x2(x1x) СкНФіф (і МКНФ).
Контрольні запитання
Що називається алгеброю Жегалкіна, що є основною множиною та сигнатурою алгебри Жегалкіна?
Які вісім основних тотожностей алгебри Жегалкіна існують?
Як привести формулу функції з булевої алгебри в алгебру Жегалкіна та навпаки?
Які типи булевих функцій існують?
Як визначити належність функції до кожного з п’яти типів?
Яка система булевих функцій є функціонально повною, послаблено функціонально повною?
Що є базисом у логічному просторі, мінімально повним базисом?
Яка система функцій є функціонально замкнутою?
Які класи називають власними функціонально замкнутими класами, попередповними класами?
Що наголошує критерій Поста?
Що є логічною схемою?
Як відрізняються задачі аналізу та синтезу? Що є канонічною задачею синтезу логічних схем?