23.1.2. Аналітичний спосіб Нормальні форми

Визначення. Диз'юнктивна нормальна форма (ДНФ) - це диз'юнкція кінцевого числа різних членів, кожний з яких являє собою кон'юнкцію кінцевого числа окремих змінних чи їхніх заперечень, що входять у даний член не більше ніж один раз.

Визначення. Кон'юнктивна нормальна форма (КНФ) - це кон'юнкція кінцевого числа різних членів, кожний з Якій являє собою диз'юнкцію кінцевого числа окремих змінних чи їхніх заперечень, що входять у даний член не більше ніж один раз.

Приклад. у=(х₁х₂)(х₂х₃х₄) ДНФ, у=(х₁х₂)(х₂х₃х₄) КНФ, у=х₁х₂х₂ (х₃х₄) не ДНФ і не КНФ.

Визначення. Члени ДНФ, що являють собою елементарні кон'юнкції з  букв, називаються мінтермами к-го рангу. Члени КНФ, що являють собою елементарні диз'юнкції з  букв, називаються макстермами к-го рангу.

Приклад. х₁х₂ - мінтерм 2-го рангу, х₂х₃х₄ - мінтерм 3-го рангу, (х₁х₂) – макстерм 2-го рангу, (х₁х₂) і (х₂х₃х₄) – макстерм 3-го рангу.

Визначення. Якщо в кожнім члені нормальної диз'юнктивної чи кон'юнктивної форми представлені всі n змінних (у прямому чи інверсному вигляд), від яких залежить булева функція, то така форма називається досконалою диз'юнктивною чи кон'юнктивною нормальною формою (СДНФ чи СКНФ – як термін).

Лема: Будь-яка булева функція, яка не є такою, що тотожно дорівнює нулю, має одну і тільки одну СДНФ. Будь-яка булева функція, яка не є такою, що тотожно дорівнює одиниці, має одну і тільки одну СКНФ.

Мінтерми СДНФ називають конституентами 1. Макстерми СКНФ називають конституентами . Конституента 1 перетворюється в одиницю тільки при одному відповідному їй наборі значень змінних, котрий виходить, якщо всі змінні конституенти прийняти такими, що дорівнюють одиниці, а для всіх інверсій конституенти змінні прийняти такими, що дорівнюють нулю. Конституента  перетворюється в нуль тільки при одному відповідному їй наборі значень змінних, котрий виходить, якщо всі змінні конституенти прийняти такими, що дорівнюють нулю, а для всіх інверсій конституенти змінні прийняти такими, що дорівнюють одиниці.

Приклад. х₁х₂х₃х₄=110=1, х₁х₂х₃х₄=11=0

СДНФ є диз'юнкцією конституент , булева функція f(x₁, x₂,..., x_n), що її представляє, перетворюється в одиницю тільки при наборах значень змінних, відповідних хоча б одній одиниці цих конституент. На інших наборах ця функція перетворюється в нуль. СКНФ є кон'юнкціей конституент , її булева функція f(x₁, x₂,..., x_n) перетворюється в нуль тільки при наборах значень змінних, відповідних хоча б одному нулю цих конституент. На інших наборах ця функція перетворюється в одиницю.

Для завдання булевой функції у вигляді СДНФ записують диз'юнкцію конституент “1” для всіх наборів змінних, на яких функція приймає значення одиниці.

Для завдання булевой функції у вигляді СКНФ записують кон'юнкцію конституент  для всіх наборів змінних, на яких функція приймає значення нуля.

Такі представлення булевої функції називають аналітичним представленням у вигляді СДНФ чи СКНФ.

Приклад. Таблиця істинності, СДНФ і СКНФ функції від 3-х змінних

Таблиця 23.2

X1	X2	X3	Y
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	0

у=(х₁х₂х₃)(х₁х₂х₃)(х₁х₂х₃)(х₁х₂х₃) – СДНФ,

у=(х₁х₂х₃)(х₁х₂х₃)(х₁х₂х₃)(х₁х₂х₃) - СКНФ

Для скрізь визначеної булевої функції СДНФ і СКНФ рівносильні. Аналітичне завдання можливе й у ДНФ, КНФ, тупикових та інших формах.