23.1.3. Геометричний спосіб

Областю визначення булевих функцій від n змінних є множина потужністю 2ⁿ n-вимірних векторів. Якщо поставити у відповідність кожному вектору вершину n-вимірного куба, то область визначення булевої функції представляється у вигляді n-вимірної геометричної фігури.

Булева функція задається на n-вимірному кубі виділенням вершин, що відповідають векторам х₁, х₂,..., х_n, на яких функція дорівнює одиниці чи нулю. Кожної з n змінних виділяється своя вісь координат, на якій відкладається одиничний вектор. Початок вектора змінної відповідає значенню «0», кінець вектора – значенню «1».

Приклад.

• n = 1, потужність множини вершин дорівнює 2, приклад функції - у =х (див. рис.13.1,а);

• n = 2, потужність множини вершин дорівнює 4, фігура виглядає як квадрат з відзначеними для конституент вершинами, приклад функції – y = x₁ x₂  x₁ x₂ (див. рис.13.1,б);

• n = 3, потужність множини вершин дорівнює 8, фігура виглядає як куб з відзначеними для конституент вершинами, приклад функції – y = x₃  x₁x₂ x₁ x₂.(див. рис.13.1,с).

При n  4 графічний спосіб утрачає наочність.

Рис. 23.1. Одномірний а); двовимірний б); тривимірний с) куби для функцій відповідно від однієї, двох і трьох змінних

23.1.4. Чисельний спосіб

У чисельному вигляді булева функція задається перерахуванням номерів наборів, на яких функція приймає нульові чи одиничні значення.

Приклад. Таблиця істинності і чисельне завдання СДНФ і СКНФ функції від трьох змінних

Таблиця 23.3

№	X1	X2	X3	Y
0	0	0	0	1
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	1
4	1	0	0	1
5	1	0	1	0
6	1	1	0	0
7	1	1	1	1

у=¹ (0, 3, 4, 7) СДНФ, у=⁰ (1, 2, 5, 6) СКНФ

23.2. Приведення формул булевої алгебри до досконалої форми

Якщо якій-небудь член _j ДНФ не містить змінної х_і, то ця змінна вводиться тотожним перетворенням:

_j=_j1=_j(x_ix_i)=(_jx_i)(_jx_i).

Якщо якій-небудь член _j КНФ не містить змінної х_і, то ця змінна вводиться тотожним перетворенням:

_j=_j0=_j(x_ix_i)=(_jx_i)(_jx_i).

Приклад.

у=х₁х₂х₃=х₁х₂х₃х₁х₂х₃х₁х₃х₁х₃=х₁х₂х₃х₁х₂х₃х₁х₂х₃х₁х₂х₃х₁х₂х₃х₁х₂х₃

у=(х₁х₂)х₃=((х₁х₂)х₃х₃)((х₃х₁х₁)х₂х₂)=(х₁х₂)х₃)((х₁х₂)х₃)(((х₃х₁)(х₃х₁))х₂)(((х₃х₁)(х₃х₁))х₂)=(х₁х₂х₃)(х₁х₂ х₃)(х₃х₁)х₂)((х₃х₁₎х₂х₃х₁)х₂)((х₃х₁)х₂)=(х₁х₂х₃)(х₁х₂х₃)(х₁х₂х₃)(х₁х₂х₃)(х₁х₂х₃)х₁х₂х₃).

Контрольні запитання

1. Що є табличним способом завдання булевих функцій?

2. Що таке ДНФ і КНФ, СДНФ і СКНФ?

3. Яка різниця між мінтермом і макстермом?

4. Що є “констітуентою одиниці” і “конституентою нуля”?

5. Як діє геометричний спосіб завдання булевих функцій?

6. Що є чисельним способом завдання булевих функцій?

7. Як ввести відсутню перемінну в який-небудь член ДНФ або КНФ?

8. Що є приведенням формули до досконалої форми?