Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Diskretnaya_matematika_1.doc
Скачиваний:
197
Добавлен:
10.02.2016
Размер:
11.37 Mб
Скачать

13.1. Поліноміальні твірні функції

Добуток (1+породжує r-сполучення, в яких кожен елемент із множини об'єктів {} може з'являтися не більш одного разу. Очевидно, для інших типів сполучень варто підібрати й інший вид співмножників.

Якщо об'єкт може входити в сполучення 0, 1,...,k раз, то замість 1+треба взяти співмножник 1+(при k=0 співмножник дорівнює одиниці). Тоді прикоефіцієнтибагаточлена A(x)=1+являють собою r-сполучення з n різних елементів з повтореннями.

Приклад. Для r-сполучення з трьох елементів a, b, c зі специфікацією {3, 1, 2} маємо (1+x+x+x)(1+x)(1+x+x)=1+3x+5x+ +6. Тут коефіцієнт придає шукане число r-сполучень. Так, є три 1-сполучення (aaa, aab, aac, abc, acc, bcc), п'ять 4-сполучень (aaab, aaac, aabc, aacc, abcc) і т.д.

Поліноміальна твірна функція (энумератор). Багаточлен вигляду називаютьполіноміальною функцією, або твірною (енумератором) для послідовності

Ця послідовність є r-сполучення з n елементів з повтореннями. Біном Ньютона є функцією, що виробляє для сполучення без повторення. Треба мати на увазі, що змінна x енумератора ніяк не визначена і вважається просто абстрактним символом. Його роль зводиться до того, щоб розрізняти елементи послідовності При цьому різні перетворення таких послідовностей заміняються відповідними операціями над твірними функціями.

Для сполучення з необмеженими повтореннями елементів n типів енумератор буде (1+х++.... Вираження в дужках можна представити у вигляді

При розгляді виразу (1-хяк бінома Ньютона з від’ємним показником –n, формально можна записати

,

що збігається з результатом, отриманим для сполучень. Звідси також слідує формальне відношення

Якщо зажадати, щоб кожен об'єкт входив у сполучення з необмеженими повтореннями парне число раз, то в якості энумератора варто прийняти (1 + x2 + x4 + ...)n чи

,

тобто число r-сполучень при непарному r дорівнює нулю, а число 2r-сполучень визначається як число r-сполучень без прийнятого раніше обмеження.

Аналогічно визначається енумератор і при інших додаткових умовах. Нехай, наприклад, необхідно визначити число таких r-сполучень з п типів елементів з необмеженими повтореннями, що обов'язково містять хоча б по одному елементу кожного вигляду. Тоді

.

Тут при перетворенні суми зроблена заміна змінної n + r на r і використане відношення зі сполучень. Число шуканих сполучень дорівнює нулю при r < n. і дорівнює C(r — 1, n 1) при .

Приклад. Для трьох елементів а, b, з існує одне 3-сполучення (abc), число 4 cочетаний дорівнює С(3, 2) = 3 (aabc, abbc, abcc), число 5-сполучень дорівнює С(4, 2) = 6 (aaabc, aabbc, aabcc, abbbc, abbcc, abccc) і т.д.

13.2. Експонентні твірні функції

Скориставшись залежністю між числами r-сполучень і r-перестановок з різних елементів для сполучень, можна записати

,

тобто число r-перестановок з різних елементів є коефіцієнтом при у розкладанні (1 + x). Доцільно узагальнити цей факт і на інші види перестановок.

Експонентні твірні функції. Визначимо твірну функцію для r-перестановок з необмеженими повтореннями так, щоб U(n, r) = було коефіцієнтом приТому що

,

то ряд , що є розкладанням експонентної функції, можна прийняти в якості енумератора для U(n, r). Подібні енумератори називають експонентними твірними функціями. З їхньою допомогою можна обчислювати число перестановок різних типів.

Приклад. Якщо r-перестановки утворюються з множини п елементів зі специфікацією причому, то для кожного класу елементів ряд обмежується числом , і, отже, енумератор має вигляд:

Приклад. Шукані r-перестановки з обмеженими повтореннями визначаються чисельними значеннями коефіцієнтів . Останній член

визначає число перестановок з n елементів по n з повтореннями, тобто , що збігається з результатом, отриманим іншим способом для перестановок.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]