- •Одеса Наука і техніка 2006
- •Розділ 1. Теорія множин і алгебраїчних систем
- •1.1. Основні поняття і завдання множин
- •1.2. Операції над множинами. Формули. Тотожності
- •1.3. Доведення тотожностей. Булева алгебра множин
- •1.4. Узагальнення операцій. Подвійність
- •Спісок літератури: Основна
- •2.1. Рівняння
- •2.2. Покриття і розбивки
- •2.3. Потужність множин. Зчисленні і континуальні множини
- •Список літератури Основна
- •3.1. Упорядковані множини
- •3.2. Графіки
- •Список літератури Основна
- •4.1. Відповідності
- •4.2. Образи і прообрази
- •4.3. Відображення і діаграми
- •Список літератури Основна
- •5.1. Основні поняття відношень
- •5.2. Множинні операції відношень
- •Список літератури Основна
- •6.1. Перестановка, ототожнення, приписування фіктивної координати
- •6.2. Згортка де Моргана, суперпозиція
- •Список літератури Основна
- •7.1. Успадковані властивості відношень
- •7.2. Спеціальні властивості відношень
- •Список літератури Основна
- •8.1. Еквівалентність
- •8.2. Порядок
- •8.3. Толерантність
- •8.4. Квазіпорядок
- •Список літератури Основна
- •9.1. Замикання відношень
- •9.2. Спеціальні функції
- •9.2.1. Підстановки
- •9.2.2. Послідовності
- •9.2.3. Функціонали
- •9.2.4. Функції, що зберігають алгебраїчні властивості
- •9.3. Операції
- •9.3.1. Загальні визначення операцій
- •9.3.2. Властивості операцій
- •Список літератури Основна
- •10.1 Композиція об'єктів
- •10.2. Внутрішній закон композиції
- •11.1 Алгебраїчні системи (моделі)
- •11.2. Групи підстановок і кільце множин
- •Розділ II. Комбінаторика
- •12.1. Вибірка елементів
- •12.2. Правило суми і добутку
- •12.3. Перестановки
- •12.4. Сполучення
- •12.5. Рекурентні співвідношення
- •12.6. Біном Ньютона
- •Список літератури Основна
- •13.1. Поліноміальні твірні функції
- •13.2. Експонентні твірні функції
- •13.3. Принцип включення і виключення
- •13.4. Розбивки
- •Список літератури Основна
- •Розділ III. Графи
- •14.1. Основні визначення
- •14.2. Способи представлення графів
- •Список літератури Основна
- •15.1. Основні визначення (продовження)
- •15.2. Зважені (відзначені) графи
- •Список літератури Основна
- •16.1. Операції над графуми
- •16.2. Властивості базових операцій над графами
- •Список літератури Основна
- •17.1. Чисельні характеристики графів
- •17.1.1. Ступінь вершин
- •17.1.2. Цикломатичне число
- •17.1.3. Хроматичне число
- •17.1.4. Множина внутрішньої стійкості
- •17.1.5. Множина зовнішньої стійкості
- •17.2. Представлення графів у пам'яті еом
- •Список літератури Основна
- •Розділ IV. Скінченні автомати
- •18.1. Абстрактний автомат
- •18.2. Способи завдання автоматів
- •18.2.1. Табличний спосіб
- •18.2.2. Графічний спосіб
- •18.3. Розширення функцій і
- •Список літератури Основна
- •19.1. Синхронні й асинхронні автомати
- •19.2. Асинхронні автомати, що тактуються
- •19.3. Перетворення автоматів Мілі і Мура
- •19.3.1. Перетворення автомата Мура в автомат Мілі
- •19.3.2. Перетворення автомата Мілі в автомат Мура
- •19.4. Сполучена модель автоматів – с-автомат
- •Список літератури Основна
- •20.1. Композиція автоматів
- •20.1.1. Рівнобіжне з'єднання
- •20.1.2. Послідовне з'єднання двох автоматів
- •20.1.3. З'єднання зі зворотним зв'язком
- •20.2. З'єднання автоматів з вихідною функцією
- •Список літератури Основна
- •21.1. Мережі автоматів
- •21.2. Еквівалентні автомати мережі
- •Список літератури Основна
- •Розділ V. Булева алгебра
- •22.1. Логічні функції
- •22.2. Булеві функції
- •22.3. Логічні формули
- •Список літератури Основна
- •23.1. Способи завдання булевих функцій
- •23.1.1. Табличний спосіб
- •23.1.2. Аналітичний спосіб Нормальні форми
- •23.1.3. Геометричний спосіб
- •23.1.4. Чисельний спосіб
- •23.2. Приведення формул булевої алгебри до досконалої форми
- •Список літератури Основна
- •24.1. Булева алгебра
- •24.2. Спрощення запису формул
- •24.3. Подвійність формул булевої алгебри
- •24.4. Булева алгебра множин
- •Список літератури Основна
- •25.1. Алгебра Жегалкіна
- •25.2. Типи булевих функцій
- •25.3. Функціональна повнота
- •25.4. Логічні (перемикальні) схеми
- •25.5. Канонічна задача синтезу логічних схем
- •Список літератури Основна
- •26.1. Графічний метод мінімізації булевих функцій
- •26.2. Табличний метод мінімізації
- •Список літератури Основна
- •27.1. Аналітичні методи мінімізації
- •27.1.1. Комплекс кубів
- •27.1.2. Постановка задачі
- •27.2. Метод Квайна
- •27.3. Алгебраїчний метод одержання мінімального покриття (алгоритм Петрика)
- •Список літератури Основна
- •28.1. Метод Квайна-МакКласкі
- •28.2. Мінімізація частково визначених функцій
- •Список літератури Основна
- •29.1 Основні визначення
- •29.2 Інтервальне представлення в матричній формі
- •29.3. Спрощення днф за матричною формою Закревського
- •30.1. Формулювання алгоритму побудови максимальних інтервалів для точки
- •30.2. Алгоритм для днф
- •30.3. Метод Блейка
- •31.1. Основні визначення
- •32.2. Використання системи булевих функцій для синтезу кс
- •31.3 Точний метод мінімізації систем булевих функцій Барті-Полянського
- •31.4. Інтуїтивний метод спрощення системи днф за матричною формою
- •32.1. Інтервальне представлення в еом
- •32.2. Основні операції над інтервальним представленням
- •33.1. Використання операцій інтервального представлення
- •33.2. Метричні властивості диз'юнктивної нормальної форми
- •34.1 Булеві рівняння
- •34.2. Булеві нерівності
- •34.3. Спільні системи нерівностей і рівнянь
- •35.1. Властивості булевой різниці
- •35.2. Методи знаходження булевой різниці
- •35.3. Подвійна булева різниця
- •35.4. Булеві похідні й диференціали
- •36.1. Висловлення предикатів
- •36.2. Логіка предикатів
- •36.3. Правила застосування кванторів
- •Список літератури Основна
- •Список літератури
- •Вступ 3
- •1. Теорія множин і алгебраїчних систем 4
- •2. Комбінаторика 65 Лекція 12. Комбінаторика. Базові методи 65
- •3. Графи 78
- •4. Скінченні автомати 101
- •5. Булева алгебра 123 Лекція 22. Булеві функції 123
13.1. Поліноміальні твірні функції
Добуток (1+породжує r-сполучення, в яких кожен елемент із множини об'єктів {} може з'являтися не більш одного разу. Очевидно, для інших типів сполучень варто підібрати й інший вид співмножників.
Якщо об'єкт може входити в сполучення 0, 1,...,k раз, то замість 1+треба взяти співмножник 1+(при k=0 співмножник дорівнює одиниці). Тоді прикоефіцієнтибагаточлена A(x)=1+являють собою r-сполучення з n різних елементів з повтореннями.
Приклад. Для r-сполучення з трьох елементів a, b, c зі специфікацією {3, 1, 2} маємо (1+x+x+x)(1+x)(1+x+x)=1+3x+5x+ +6. Тут коефіцієнт придає шукане число r-сполучень. Так, є три 1-сполучення (aaa, aab, aac, abc, acc, bcc), п'ять 4-сполучень (aaab, aaac, aabc, aacc, abcc) і т.д.
Поліноміальна твірна функція (энумератор). Багаточлен вигляду називаютьполіноміальною функцією, або твірною (енумератором) для послідовності
Ця послідовність є r-сполучення з n елементів з повтореннями. Біном Ньютона є функцією, що виробляє для сполучення без повторення. Треба мати на увазі, що змінна x енумератора ніяк не визначена і вважається просто абстрактним символом. Його роль зводиться до того, щоб розрізняти елементи послідовності При цьому різні перетворення таких послідовностей заміняються відповідними операціями над твірними функціями.
Для сполучення з необмеженими повтореннями елементів n типів енумератор буде (1+х++.... Вираження в дужках можна представити у вигляді
При розгляді виразу (1-хяк бінома Ньютона з від’ємним показником –n, формально можна записати
,
що збігається з результатом, отриманим для сполучень. Звідси також слідує формальне відношення
Якщо зажадати, щоб кожен об'єкт входив у сполучення з необмеженими повтореннями парне число раз, то в якості энумератора варто прийняти (1 + x2 + x4 + ...)n чи
,
тобто число r-сполучень при непарному r дорівнює нулю, а число 2r-сполучень визначається як число r-сполучень без прийнятого раніше обмеження.
Аналогічно визначається енумератор і при інших додаткових умовах. Нехай, наприклад, необхідно визначити число таких r-сполучень з п типів елементів з необмеженими повтореннями, що обов'язково містять хоча б по одному елементу кожного вигляду. Тоді
.
Тут при перетворенні суми зроблена заміна змінної n + r на r і використане відношення зі сполучень. Число шуканих сполучень дорівнює нулю при r < n. і дорівнює C(r — 1, n — 1) при .
Приклад. Для трьох елементів а, b, з існує одне 3-сполучення (abc), число 4 cочетаний дорівнює С(3, 2) = 3 (aabc, abbc, abcc), число 5-сполучень дорівнює С(4, 2) = 6 (aaabc, aabbc, aabcc, abbbc, abbcc, abccc) і т.д.
13.2. Експонентні твірні функції
Скориставшись залежністю між числами r-сполучень і r-перестановок з різних елементів для сполучень, можна записати
,
тобто число r-перестановок з різних елементів є коефіцієнтом при у розкладанні (1 + x). Доцільно узагальнити цей факт і на інші види перестановок.
Експонентні твірні функції. Визначимо твірну функцію для r-перестановок з необмеженими повтореннями так, щоб U(n, r) = було коефіцієнтом приТому що
,
то ряд , що є розкладанням експонентної функції, можна прийняти в якості енумератора для U(n, r). Подібні енумератори називають експонентними твірними функціями. З їхньою допомогою можна обчислювати число перестановок різних типів.
Приклад. Якщо r-перестановки утворюються з множини п елементів зі специфікацією причому, то для кожного класу елементів ряд обмежується числом , і, отже, енумератор має вигляд:
Приклад. Шукані r-перестановки з обмеженими повтореннями визначаються чисельними значеннями коефіцієнтів . Останній член
визначає число перестановок з n елементів по n з повтореннями, тобто , що збігається з результатом, отриманим іншим способом для перестановок.