24.4. Булева алгебра множин

Поняття булевої алгебри носить більш загальний характер, ніж тільки булева алгебра на множини функцій. Алгебра із сигнатурою типу (2, 2, 1), де тип задає арність операцій над булевими функціями, називається булевою алгеброю, якщо її операції задовольняють тотожностям 1 - 10.

Нехай задана деяка множина М.

Визначення. Алгебра А=(В(М),    називається булевою алгеброю множин над множиною М, тип булевої алгебри множин - (2, 2, 1).

Визначення. Алгебри А і А називаються ізоморфними, якщо і тільки якщо існує взаємо однозначна відповідність між їх основними множинами і сигнатурами (тобто операціями).

Нехай визначена взаємно однозначна відповідність між множиною В(М), де М=m₁, m₂,..., m_n і множиною двійкових векторів Вn розмірності n: G: В(М)Вn

Підмножині ММ відповідає двійковий вектор b=(b₁,b₂,.., b_n), де b_i=1, якщо m_iM, і b_i = 0, якщо m_i для деякого m_iM.

Нехай на множини двійкових векторів Вn визначена булева алгебра вигляду: А=(Вn,{, , , при цьому операції для будь-яких векторів =₁, ₂,..., _n і =<₁, ₂,..., _n визначаються в такий спосіб:

1. =₁₁, ₂₂,..., _n_n

2. =₁₁, ₂₂,..., _n _n

3. =₁,_..., _n.

Операції над векторами  і  називаються порозрядними логічними операціями над двійковими векторами.

Приклад. =10110; =00101;

=10111; =01001;

=00100; =11010.

Порозрядні операції входять до складу системи команд будь-якої ЕОМ, що спрощує реалізацію даної алгебри на ЕОМ.

Ця алгебра ізоморфна булевій алгебрі множин, це дозволяє замінити теоретико-множинні операції об'єднання, перетинання, доповнення над системами множин порозрядними логічними операціями над двійковими векторами, реалізованими на ЕОМ: G: А, G^-1: А.

Приклад. М=m₁, m₂, m₃, m₄; M₁=m₁, m₂, m₃; M₂=m₂, m₃, m₄;

 M₁=m₄;  M₂=m₁; ₁₂=m₂, m₃; ₁₂= =m₁, m₂; m₃, m₄;

:

_b_=1, 1, 1, 0; _b_=0, 1, 1, 1;

 M₁ b₁=0, 0, 0, 1;  M₂ b₂=1, 0, 0, 0;

₁₂b₁b₂=0, 1, 1, 0; ₁₂b₁b₂=1, 1, 1, 1.

Контрольні запитання

1. Що називається булевою алгеброю, основною множиною та сигнатурою булевої алгебри?

2. Які десять основних тотожностей існують?

3. Які шість теорем розкладення і підстановки існують?

4. Як доказати тотожність булевих формул на підставі таблиць істинності?

5. Як доказати тотожність булевих формул на підставі еквівалентних перетворень?

6. Які еквівалентні дії для функцій від двох змінних можна виконувати при спрощенні булевих формул?

7. Які булеві функції є подвійними, яка різниця між подвійними та самоподвійними булевими функціями?

8. У чому полягає принцип подвійності?

9. Чому можна казати, що алгебра множин є булевою, що необхідно для булевої алгебри?

10. Що є булевою алгеброю двійкових векторів?

11. Які алгебри можна назвати ізоморфними?

Список літератури Основна

1. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2001. - С.81-88.

2. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 1979. - С.10-19.

3. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. – К.: Техника, 1975. - С.504-522.

Додаткова

4. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высш.шк., 1986. - С.47-50.

5. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976. - С.139-150.

Для практичних занять

6. Методичні вказівки і завдання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915 / О.М. Мартинюк. – Одеса: ОНПУ, 2001. – С.27-30.

7. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. – М.: Наука, 1973. - С.30-38.

Лекція 25. Алгебра Жегалкіна. Типи функцій. Логічні схеми

Вступ

Лекція має за мету навести основні поняття алгебри Жегалкіна, функціональної повноти. Розглянути вісім властивостей операцій базису {, }, п’ять типів булевих функцій, функціональна замкненість та повнота, критерій Поста. Звернено увагу до канонічної задачі синтезу логічних схем.

У лекції присутні п’ять підрозділів:

1. Алгебра Жегалкіна

2. Типи булевих функцій

3. Функціональна повнота

4. Логічні (перемикальні) схеми

5. Канонічна задача синтезу логічних схем