Розділ II. Комбінаторика

Лекція 12. Комбінаторика. Базові методи

Вступ

Лекція має за мету висвітлити початкові поняття комбінаториці. Розглянуто вибірку елементів, правила суми та добутку. Звернена увага до базових методів перестановки, сполучення, рекурентних співвідношень, а також бінома Ньютона.

У лекції присутні шість параграфів:

1. Вибірка елементів

2. Правило суми і добутку

3. Перестановки

4. Сполучення

5. Рекурентні співвідношення

6. Біном Ньютона

12.1. Вибірка елементів

Визначення. Вибірка r елементів називається r-перестановкою, якщо враховується порядок проходження, r-сполученням, якщо беруться до уваги тільки елементи без урахування порядку.

Приклад. Нехай, наприклад, дана множина M = {a,b,c,d}. Вибірки abc, acb, bac, bca, cab, cba є різними 3-перестановками, утвореними з тих самих елементів. Тім же часом усі ці вибірки являють собою різний запис того самого 3-сполучення.

Вибірки можуть допускати і не допускати повторення елементів. При вибірках з повтореннями розрізняють два випадки.

У першому випадку передбачається, що запас повторюваних елементів обмежений і визначається специфікацією {,......,}, де- кількість елементів i-го вигляду. Загальне число елементів вихідної множині n=, причому в r-вибірці rn. Кожен вид можна розглядати як клас еквівалентності, елементи якого вважаються не різними і звичайно позначаються однаковими номерами чи символами. Сукупність позначень різних класів утворює сім’ю представників.

Приклад. Множина задана трьома класами еквівалентності зі специфікацією {2,5,4}, n=2+5+4=11. Позначимо представників класів через a, b, c, сім'ю представників утворить множина {a,b,c}. Тоді вибірки aabbbc, ababbc, baabbc тощо є різними 6-перестановками; вибірки aabbbbbcccc і aabbbccbccb – різними 11-перстановками. Вибірки aabbbc, bbbbbc, abbccc являють приклади 6-сполучень, а 11-сполучення є одне: aabbbbbcccc.

Коли запас елементів не обмежений і у вибірці з r елементів можливє будь-яке число повторень, що не перевищує заданого числа r. Вихідну множину можна розглядати як таку, що складається з різних елементів, але після вибірки деякого елемента віна відновлюється в цій множині.

12.2. Правило суми і добутку

Найбільше застосовуються при доказах у комбінаториці два правила.

Правило суми. Якщо об'єкт a може бути обраний p способами, а об'єкт b - іншими q способами, то вибір “або a, або b” може бути здійснений p+q способами.

Вибори a і b взаємно виключають одне одного. Необхідно, щоб не один зі способів вибору об'єкта a не збігся з Якім-небудь способом вибору об'єкта b. При наявності таких збігів правило суми незастосовне і результат дорівнює p+q-k, де k – це число збігів.

Правило добутку. Якщо об'єкт a може бути обраний p способами і після кожного з таких виборів об'єкт b у свою чергу може бути обраний q способами, то вибір “a і b” у зазначеному порядку можна здійснити pq способами.

Правило використовується в випадках, коли вибори a і b незалежні.

12.3. Перестановки

Визначимо число r-перестановок з n різних елементів без повторень.

Перестановки. Перший член перестановки можна вибрати з n елементів n способами – елементи не повинні повторюватися, вибір другого члена можна здійснити n-1 способами і так далі до r-го члена, Якій можна вибрати n-r+1 способами.

Застосовуючи послідовно правило добутку, одержуємо

p(n,r) = n (n-1)......(n – r + 1), n r.

Приклад. З об’єктів 1, 2, 3, 4 можна скласти 12 таких 2-перестановок: 12, 13, 14, 23, 24, 34, 21, 31, 41, 32, 42, 43.

n-перестановки з n різних елементів називають перестановками. Поклавши r = n, маємо число перестановок p(n, n ) = = n(n-1)...2 *1 = n! Використовуючи це співвідношення, можна записати:

p(n, r) = =.

Розглянемо перестановки з повтореннями з n елементів, специфікація яких {}, причому n =.Через збіг деяких елементів число таких перестановок виявляється менше ніж n! , тому що перестановка однакових елементів нічого не змінює.

Перестановки з повтореннями з n елементів: Елементи j-го класу допускають перестановку способами, і в кожнім класі такі операції здійснюються незалежно, відповідно до правила добутку можна зробитиперестановок, що не змінюють дану перестановку.

Число різних перестановок з повтореннями, що виходять з n елементів, виражається формулою

Приклад. План забудови вулиці 10 будинками, серед яких 3 будинки одного типу, 5 - другого і 2 - третього, можна представити 10! 3! 5! 2!= 2520 способами.

Якщо запас об'єктів n різних типів не обмежений, то кожне місце в r-перестановці можна заповнити n різними способами. Тому відповідно до правила добутку число r-перестановок з необмеженими повтореннями дорівнює U(n, r) = . Це співвідношення, зокрема, визначає кількість різних r-розрядних чисел, записаних у позиційній системі з підставою n.