35.3. Подвійна булева різниця

Становить інтерес випадок реакції виходу функції з появою змін для декількох змінних функції. Зміну двох змінних може бути проаналізовано за допомогою подвійної булевої різниці.

Визначення. Подвійною булевою різницєю функції F(х₁,x₂,...,х_i,...,х_j,...,x_n) щодо змінних х_i і х_j називається вираз виду

d²F(Х)/dх_idх_j = F(x₁, х₂,..., х_i,...,х_j,...,x_n)  F(x₁, x₂ ,...,х_i,...,х_j,...,х_n).

Приклад. Нехай дана функція F(X) = x₁+x₂+x₃, звідси треба, що

d²F(x)/dх_idх_j = (x₁+x₂+x₃)  (x₁+x₂+x₃) = =(x₁+x₂+x₃)(x₁+x₂+x₃) + (x₁+x₂+x₃) (x₁+x₂+x₃) = = x₁x₂x₃+ x₁x₂x₃ = x₃(x₁x₂+ x₁x₂).

При визначенні d(х₁, x₂, x₃)/dх₂ методом карт Карно дві карти (табл.. 35.5 і 35.6) складаються по модулі 2 у такий спосіб (табл.. 35.7)

d²F(Х)/dх_idх_j = F(x₁, х₂, х₃)  F(x₁, x₂, х₃).

Таблиця 35.5

F x2,x3 x1	00	01	11	10
0		1	1	1
1	1	1	1	1

Таблиця 35.6

F x2,x3 x1	00	01	11	10
0	1	1	1	1
1	1	1	1

Таблиця 35.7

F x2,x3 x1	00	01	11	10
0	1
1				1

Отже, d²F(x)/dх_idх_j = x₃(x₁x₂+ x₁x₂).

Булева різниця другого порядку, задана рівнянням визначення, відмінна від операції d(d(x)/dх_j)/dх_i, тобто

d²F(Х)/dх_idх_j  d(d(x)/dх_j)/dх_i

Визначення. Булева функція F(х₁,x₂,...,х_i,...,х_j,...,x_n) не залежить від змінних х_i і х_j, якщо F(х₁,x₂,...,х_i,...,х_j,...,x_n) не змінюється при зміні х_i і х_j на інверсні, тобто, якщо

F(х₁,x₂,...,х_i,...,х_j,...,x_n) = F(х₁,x₂,...,х_i,...,х_j,...,x_n)

Теорема. Щоб F(Х) не залежала від змінних х_i і х_j, необхідно й досить виконання умови d²F(Х)/dх_idх_j = 0.

Визначення й теорема справедливі тільки для випадку одночасної появи змін у х_i і х_j, що відмінно від випадку подвійної зміни, тому що останній містить у собі також й одиночні зміни х_i або х_j.

Таким чином, можна виділити випадки:

1. Різниця для визначення реакції на дві зміни в х_i і х_j

d²F(Х)/dх_idх_j = d(Х)/d(х_iх_j) = = F(х₁,x₂,...,х_i,...,х_j,...,x_n)  F(х₁,x₂,...,х_i,...,х_j,...,x_n).

2. Різниця для визначення реакції на зміну або в х_i, або в х_j

d(Х)/d(х_iх_j) = = d(Х)/dх_i + d(Х)/dх_j.

3. Різниця для визначення реакції на зміну або в х_i, або в х_j, або в х_i і х_j одночасно

d(Х)/d(х_i+х_j) = = d(Х)/d(х_iх_j) + d(Х)/d(х_iх_j).

35.4. Булеві похідні й диференціали

Визначення. Частковою булевою похідною df(x)/dx_i функції f(x) від змінних х₀, х₁, .. ., х_i, ..., х_п по змінній х_i є сума додавання по модулю 2 для f(x):

ðf(x)/ ðх_i = f(x₀, х₁,..., х_i,...,x_n)  f(x₀, x₁ ,..., х_i,...,х_n)

Тотожним даному визначенню є таке визначення часткової БП:

ðf(x)/ ðх_i = f(x₀, х₁,... , х_i-1, l, х_i+1,…, x_n) f(x₀, х₁,... , х_i-1, 0, х_i+1,…, x_n)

Визначення. Частковим булевим диференціалом (БД) функції d_Xi f(x) називається приріст функції f(x) при приросту змінної x_i, на dx_i:

d_Xi f(x) = f(x)  f(x_i  dx_i )

Існує така залежність між частковим БД і частковою булевою похідною:

d_Xi f(x) = (ðf(x)/ ðх_i)dх_i.

Властивості часткової булевой похідній (БП) й операції додавання по модулю 2 відомі. Частковий БД є параметричною формою часткової булевой похідній з параметром dx_i і має ті ж властивості.

Найбільш важлива властивість часткової БП полягає в тому, що коли часткова БП дорівнює одиниці, значення функції f(x) відрізняються для прямого й оберненого значення змінної x_i. Коли часткова БП дорівнює нулю, функція f(x) має те саме значення для прямого й оберненого значення змінної x_i.

Також застосування знайшли повні булеві диференціали.

Визначення. Повним булевим диференціалом функції f(x) називається приріст цієї функції при приросту вхідного вектора X на d:

ðf(x)/ðX = df(x) = f(x)  f(X  d)

Існує такий вираз для повного БД:

ðf(x) =  _l (ðf(x)/ðX^l)dX^l

Якщо (X₀, X₁) є розбивкою вхідного вектора X, то вираз ðf(d₀ = 1, d₁ = 0) = f(X₀, X₁)  f(X₀, X₁) одержало назву функції чутливості Rf(x)/RX₀ від функції f(x) по змінних у точці. За допомогою функції Rf(x)/RX₀ повний булев диференціал визначається як диз'юнкція всіх функцій чутливості:

df(x) = _l (Rf(x)/RX^l) d¹ (0<l<=2ⁿ-1)

Існують залежності між функціями чутливості й частковими похідними:

Rf(x)/RX₀ =  _l ðf(x)/ðX^l (0<l<=2^p-1)

ðf(x)/ðX₀ = _l Rf(x)/RX^l₀ (0<l<=2^p-1),

де p — число змінних у крапці Х₀ .

Булеві диференціали, визначенні раніше, є неорієнтованими й не дають напрямок зміни функції з 1 в 0, або з 0 в 1.

Визначення. Булев диференціал, орієнтований на збільшення df(x), є булевою функцією, що дорівнює 1, тоді й тільки тоді, коли f(x) змінюється при зміні Х з 0 в 1. Булев диференціал, орієнтований на зменшення df(x), є булевою функцією, що дорівнює 1, тоді й тільки тоді, коли f(x) змінюється при зміні X з 1 в 0.

З визначень випливає зв'язок між орієнтованими неорієнтованими БД:

^df(x) = f(x)df(x);

^df(x) = f(x)df(x).

Можна увести поняття часткового орієнтованими БД (ОБД) і часткових орієнтованих булевых похідних (ОБП) і досліджувати їхнї властивості. З урахуванням виразів зв’язку між орієнтованими і неорієнтованими БД можна записати співвідношення між частковими ОБД і БД:

^d_xi f(x) = f(x)d_xi f(x);

^d_xi f(x) = f(x)d_xi f(x) .

Використовуючи залежності між частковими БП і БД, рівності відношень між частковими ОБД і БД можна представити у вигляді

^d_xi f(x) = f(x) (ðf(x)/ðх_i) d_xi;

^d_xi f(x) = f(x) (ðf(x)/ðх_i) d_xi.

Визначення. Частковою булевою похідною, орієнтованою на збільшення ^ðf(x)/ðх_i, називається вираження вигляду f(x) (ðf(x)/ðх_i). Частковою булевою похідною, орієнтованою на зменшення ^ðf(x)/ðх_i, називається вираження вигляду f(x) (ðf(x)/ðх_i).

З урахуванням визначень для співвідношень між частковими ОБД і БД часткові ОБД можна представити у вигляді

^d_xi f(x) = (^ðf(x)/ðх_i) d_xi;

^d_xi f(x) = (^ðf(x)/ðх_i) d_xi.

Підставивши в ОБД початкове вираження часткової БП, можна одержати такі вирази:

^ðf(x)/ðх_i = f(x_i)f(x_j);

^ðf(x)/ðх_i = f(x_i) f(x_j) .

Розв’язання ціх рівнянь, що дорівнює 1, визначає набори вхідних змінних, у яких зміна значення x_j на протилежне приводить до зміни значення функції відповідно з 0 в 1 або з 1 в 0. При цьому змінна x_i може мінятися як з 0 в 1 , так і з 1 в 0, тобто є неорієнтованою. Орієнтація диференціала змінної х_i приводить до таких співвідношень для часток ОВД:

^dx_i f(x) = f(x_i=1)f(x_i=0) ^dx_i  f(x_i=1) f(x_i=0) ^dx_i;

^dx_i f(x) = f(x_i=1)f(x_i=0) ^dx_i  f(x_i=1) f(x_i=0) ^dx_i.

Визначення. Прямою орієнтованою булевою похідною [ðf(x)/ðх_i]_п називається вираження вигляду f(x_i=1)f(x_i=0), що визначає умови, при яких диференціали dx_i й d_xi f(x) мають однакову орієнтацію. Оберненою орієнтованою булевою похідною [ðf(x)/ðх_i]₀ назвемо вираження вигляду f(x_i=1)f(x_i=0), що визначає умови, при яких диференціали dx_i й d_xi f(x) мають різну орієнтацію.

З визначень ОБД слідує, що розв’язання першого рівняння нижче, отримане з умови, що пряма ОБП дорівнює одиниці, активізує у логічній схемі, що реалізує дану булеву функцію, шляхи з парним числом інверторів, а розв’язання, отримане з другого рівняння за умови, що зворотна ОБП дорівнює 1, активізує шляхи з непарним числом інверторів:

[ðf(x)/ðх_i]_п = f(x_i = 1)f(x_i=0) = 1;

[ðf(x)/ðх_i]₀ = f(x_i = 1) f(x_i=0) = 1.

Якщо представити функцію f(x) у вигляді f(x) = x_i f(x_i = 1)x_i f(x_i = 0), то можна одержати наступні залежності ОБП від прямої й оберненої ОБП:

^ðf(x)/ðх_i = х_i [ðf(x)/ðх_i]_п  х_i [ðf(x)/ðх_i]_про;

^ðf(x)/ðх_i = х_i [ðf(x)/ðх_i]_про  х_i [ðf(x)/ðх_i]_про.

Орієнтовані булеві похідні мають нову якість і порівняно зі звичайними БП мають відмінні від них властивості. У зв'язку з цим нижче наводяться основні властивості ОБП.

1. ^ðf(x)/ðх_i = ^ðf(x)/ðх_i; ^ðf(x)/ðх_i = ^ðf(x)/ðх_i.

2. ^ðf(x)/ðх_i = ^ðf(x)/ðх_i; ^ðf(x)/ðх_i = ^ðf(x)/ðх_i.

3. ^ð(f(x)g(x))/ðх_i = g(x) ^ðf(x)/ðх_i  f(x) ^ðg(x)/ðх_i.

4. ^ð(f(x)g(x))/ðх_i = g(x) ^ðf(x)/ðх_i  f(x) ^ðg(x)/ðх_i.

5. ^ð(f(x)  g(x))/ðх_i = g(x) ^ðf(x)/ðх_i  f(x) ^ðg(x)/ðх_i.

6. ^ð(f(x)  g(x))/ðх_i = g(x) ^ðf(x)/ðх_i  f(x) ^ðg(x)/ðх_i.

7. ^ð(f(x)  g(x))/ðх_i = g(x)g(x)^ðf(x)/ðх_i   g(x) g(x) ^ðf(x)/ðх_i  f(x)f(x)^ðg(x)/ðх_i   f(x) f(x) ^ðg(x)/ðх_i.

8. ^ð(f(x)  g(x))/ðх_i = g(x)g(x)^ðf(x)/ðх_i   g(x) g(x)^ðf(x)/ðх_i  f(x)f(x)^ðg(x)/ðх_i   f(x) f(x)^ðg(x)/ðх_i.

Властивості прямої й оберненої ОБП можна вивести з цих відношень.

9. [ðf(x)/ðх_i]_п = [ðf(x)/ðх_i]_про [ðf(x)/ðх_i]_про = [ðf(x)/ðх_i]_п

10. [ðf(x)/ðх_i]_п = [ðf(x)/ðх_i]_про [ðf(x)/ðх_i]_про = [ðf(x)/ðх_i]_п

11. [ð(f(x)g(x))/ðх_i]_п = g(x=1)(ðf(x)/ðх_i]_n  f(x=1)(ðg(x)/ðх_i]_n

12. [ð(f(x) g(x))/ðх_i]_про =g(x=0)(ðf(x)/ðх_i]_про   f(x=0)(ðg(x)/ðх_i]_про

13. [ð(f(x)  g(x))/ðх_i]_п = g(x=0)(ðf(x)/ðх_i]_n   f(x=0)(ðg(x)/ðх_i]_n.

14. [ð(f(x)  g(x))/ðх_i]_про = g(x=1)(ðf(x)/ðх_i]_про   f(x=1)(ðg(x)/ðх_i]_про

15. [ð(f(x)  g(x))/ðх_i]_п = g(x=1)g(x=0)(ðf(x)/ðх_i]_n   g(x=1)g(x=0)(ðf(x)/ðх_i]_про  f(x=1)f(x=0)(ðg(x)/ðх_i]_n  f(x=1)f(x=0)(ðg(x)/ðх_i]_про

16. [ð(f(x)  g(x))/ðх_i]_o = g(x=1)g(x=0)(ðf(x)/ðх_i]_o   g(x=1)g(x=0)(ðf(x)/ðх_i]_n  f(x=1)f(x=0)(ðg(x)/ðх_i]_o   f(x=1)f(x=0)(ðg(x)/ðх_i]_n

Приклад. Можна обчислити частки ОБД й ОБП за змінною х₂ функції f(x) = х₁х₂  х₂х₃.

Булева похідна, орієнтована на зменшення, за змінною х₂ дорівнює ^ðf(х) /ðх₂ = (x_tx₂  х₂x₃) (x₁x₂  х₂х₃) = х₁х₂х₃,  х₁х₂х₃. Звідси набори х₁ = 1, х₂ = 1, х_э = 0 і х₁ = 0, х₂ = 0, х₃ = 1 визначають умови чутливості функції до змінного х₂. При цьому зміна значення х₂ на протилежне (з 1 в 0 у наборі 110 або з 0 в 1 у наборі 001) приводить до зміни функції з 1 в 0.

Булева похідна, орієнтована на збільшення, по змінній х₂ дорівнює ^ðf(х) /ðх₂ =  (x_tx₂  х₂x₃) (x₁x₂  х₂х₃) = х₁х₂х₃,  х₁х₂х₃. Звідси зміна змінної х₂ з 1 в 0 у наборі 011 або зміна х₂ з 0 в 1 у наборі 100 приводить до зміни значення функції з 0 в 1.

Пряма й обернена ОБП для змінної х₂ мають вигляд [ðf(х) /ðх₂]_n = х₁х₂; [ðf(х) /ðх₂]_o = х₁х₂.

Часткові ОБД визначаються так ^d_x2 f(x) = (^ðf(х) /ðх₂)dx₂ = (x₁x₂x₃  x₁x₂x₃)dx₂ = x₁x₃ ^d_x2  x₁x₃ ^d_x2; ^d_x2 f(x) = =(^ðf(х) /ðх₂)dx₂ = (x₁x₂x₃  x₁x₂x₃)dx₂ = x₁x₃ ^dx₂  x₁x₃ ^dx₂. З ОБД, орієнтованого на зменшення, треба, що зміна функції з 1 в 0 досягається зміною х₂ з 1 в 0 за умови х₁ = 1, х₃ = 0 або зміною х₂ з 0 в 1 за умови х₁ = 0, х₃ = 1. ОБД, орієнтований на збільшення, дорівнює 1 при зміні х₂ з 1 в 0 при x₁ = 0, х₃ = 1 або при зміні х₂ з 0 в 1 при х₁ = 1, х₃ = 0.

Контрольні питання

1. Що є булевою різницею?

2. Які властивості має булева різниця?

3. Чім відрізняються карти Карно і Хсиао Скотта для булевої різниці?

4. Що є подвійною булевою різницею?

5. Що розуміється під частковими булевими похідною і диференціалом?

6. Чим відрізняються повні булеві диференціали від часткових?

7. Яка залежність між функціями чутливості й частковими похідними?

8. Що називається орієнтованими булевими диференціалами й похідними?

9. У чому різниця повних і часткових орієнтованих булевих похідних і диференціалів?

Список літератури

Основна

1. Селлерс Ф. Методы обнаружения ошибок в работе ЭВМ. – М.: Мир, 1974. - С.32-41.

Додаткова

2. Бохман Д., Постхоф Х. Двоичные динамические системы. М.: Энергоатомиздат, 1986. - С.66-167.

Для практичних занять

3. Методичні вказівки і завдання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915 / О.М. Мартинюк. – Одеса: ОНПУ, 2001. – С.45-50.

Лекція 36. Логіка предикатів

Вступ

Лекція має за мету навести базові поняття логікі предикатів. Розглянути висловлення предикатів, аргументи-терми, квантори, зміни арності предикатів, а також правила використання кванторів. Звернено увагу до наведених форм, формул, та використання предикатів.

У лекції присутні три підрозділи:

1. Висловлення предикатів

2. Логіка предикатів

3. Правила застосування кванторів