34.1 Булеві рівняння

Визначення. Нехай f(x₁, x₂, …, x_k) і g(x₁, x₂, …, x_k) — дві булеві функції від k змінних, представлені, наприклад, за допомогою двох яких-небудь відповідних булевих форм. Тоді

f(x₁, x₂, …, x_k) = g (x₁, x₂, …, x_k)

є найбільш загальною формою булева рівняння. Розв’язаннями є всі такі вектори наборів вигляду с = (x’₁, x’₂, …, x’_k)  B^k, де В = {0, 1}, для яких справедливо f(с) = g(с).

Повинні виконуватися такі відношення

f(с) = g (с) = 0 або f(с) = g (с) = 1

Приклад. Розв’язанням булева рівняння x₁  x₂ = x₁  x₂ будуть:

набір c₁ = (x₁,= 0, x₂ = 0), на якому x₁  x₂ = x₁  x₂ = 0;

набори c₂ = (x₁,= 0, x₂ = 1) і c₃ = (x₁,= 1, x₂ = 0), на яких x₁  x₂ = x₁  x₂ = 1.

Для булевих рівнянь досить розглядати форми f(x₁, x₂, …, x_k) = 0 і відповідно f(x₁, x₂, …, x_k) = 1, оскільки

f(x₁, x₂, …, x_k) = g(x₁, x₂, …, x_k)   f(x₁, x₂, …, x_k)  g(x₁, x₂, …, x_k) = 0

Ці рівняння еквівалентні однє одному в тому розумінні, що вони мають однакові множини розв’язань. Умова f(x₁, x₂, …, x_k)  g (x₁, x₂, …, x_k) = 0 саме й означає рівність значень функцій.

Якщо прийняти g(x₁, x₂, …, x_k) = 1, то звідси треба

f(x₁, x₂, …, x_k) = 1  f(x₁, x₂, …, x_k) = 0,

якщо прийняти g(x₁, x₂, …, x_k) = 0, то треба

f(x₁, x₂, …, x_k) = 0  f(x₁, x₂, …, x_k) = 1

Якщо задано систему n рівнянь

f₁(x₁, x₂, …, x_k) = 0

… … …

f_n(x₁, x₂, …, x_k) = 0,

тоді вектор с = (x₁, x₂, …, x_k)  B^k є розв’язанням цієї системи, тільки якщо він задовольняє кожному її рівнянню.

Ця система рівнянь може бути замінена еквівалентним їй рівнянням.

Якщо всі ліві частини булевих рівнянь, що входять у систему, об'єднати диз’юнктивно, то вийде рівняння

f₁(x₁, x₂, …, x_k)  f₂(x₁, x₂, …, x_k)  …  f_n(x₁, x₂, …, x_k) = 0,

рівносильне вихідній системі булевих рівнянь, оскільки диз'юнкція дорівнює 0 тільки тоді, коли кожна присутня в ній змінна (тут кожна булева функція) приймає значення 0.

Приклад. Нехай задана система трьох найпростіших рівнянь:

x₁  x₂ = 0

x₁  x₂ = 0

x₁  x₂ = 0

Тоді при диз'юнктивному об'єднанні всіх лівих частин одержимо

(x₁  x₂)  (x₁  x₂)  (x₁  x₂) = 0.

Приведення до булевого базису дасть

(x₁  x₂)  (x₁  x₂)  ((x₁  x₂)  (x₁  x₂)) = 0.

Після перетворень вийде

(x₁  x₂)  (x₁  x₂)  (x₁  x₂) = x₁  x₂ = 0.

Як відомо, диз'юнкція дорівнює 0 при нульових аргументах, тобто при x₁ = 0 і x₂ = 0. Отже, пара (x₁ = 0, x₂ = 0) і буде розв’язанням системи трьох рівнянь.

Якщо всі ліві частини рівнянь, що входять у систему, об'єднати кон’юнктивно, то вийде рівняння

f₁(x₁, x₂, …, x_k)  f₂(x₁, x₂, …, x_k)  …  f_n(x₁, x₂, …, x_k) = 1,

рівносильне вихідній системі булевих рівнянь, оскільки кон’юнкція дорівнює 1 тільки тоді, коли кожна присутня в ній змінна (у рівнянні - інверсія кожної булевой функції) приймає значення 1.

Приклад. Нехай задана система трьох найпростіших рівнянь

x₁  x₂ = 1

x₁  x₂ = 1

x₁  x₂ = 1

Тоді при кон’юнктивному об'єднанні всіх лівих частин вийде

(x₁  x₂)  (x₁  x₂)  (x₁  x₂) = 1.

Приведення до булевого базису дасть

(x₁ x₂)  ((x₁  x₂)  (x₁ x₂))  (x₁  x₂) = 1.

Після перетворень вийде

x₁ x₂  (x₁  x₂)  (x₁ x₂)  (x₁  x₂) = x₁ x₂ = 1.

Як відомо, кон’юнкція дорівнює 1 при одиничних аргументах, тобто при x₁ = 0 і x₂ = 0. Отже, у цьому прикладі, як і у попередньому, пара (x₁ = 0, x₂ = 0) і буде розв’язанням системи трьох рівнянь.