Міністерство освіти і науки України

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ І ЗАВДАННЯ ДО КОНТРОЛЬНИХ РОБІТ з дисципліни «ОСНОВИ ДИСКРЕТНОЇ МАТЕМАТИКИ» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915

Затверджено на засіданні кафедри комп'ютерних інтелектуальних систем і мереж Протокол № 2 від 27.09.2001 р.

Одеса ОНПУ 2002

Методичні вказівки і завдання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915 /Укл. О.М. Мартинюк. – Одеса: ОНПУ, 2002. – с. 60.

Укл. О.М. Мартинюк, старш. викл.

Вступ

Методичні вказівки і завдання до контрольних робіт використовуються при вивченні дисципліни «Основи дискретної математики» студентами очної та заочної форм навчання і включають задачі з п'яти основних розділів «Елементи теорії множин», «Комбінаторика», «Булєва алгебра», «Графи» і «Кінцеві автомати».

При використанні студентами очної форми навчання методичні вказівки і завдання можуть бути збірником задач до практичних занять та домашньої роботи. Вибір матеріалу для занять виконується викладачем відповідно робочої програмі дисципліни.

При використанні студентами заочної форми навчання методичні вказівки і завдання дають практичний матеріал для двох контрольних робіт. У цьому випадку перша контрольна робота містить задачі розділів «Елементи теорії множин», «Комбінаторика» і «Графи», друга контрольна робота містить задачі розділів «Булєва алгебра» і «Кінцеві автомати».

Варіант контрольних робіт вибирається на підставі унікального індексу студента і індексу задачі.

Індивідуальний індекс студента вибирається на підставі останніх трьох цифр номера залікової книжки студента, наприклад, при останніх трьох цифрах номера залікової книжки «102» буде дорівнювати «Iстудента=102», при останніх трьох цифрах номера залікової книжки «054» – «Iстудента=54», при останніх трьох цифрах номера залікової книжки «007» – «Iстудента=7».

Більшість задач методичних рекомендацій задано в декількох варіантах, наприклад, задача 1 розд. 1.1. задана в п'ятьох варіантах (a, b, c, d, e). Отже, індекс (число варіантів) цієї задачі дорівнює п'яти «Iзадачі=5».

Кожен студент повинний вирішити всі одноваріантні задачі і тільки один індивідуальний варіант у різноманітних задачах. Індивідуальний варіант різноманітної задачі «Варіант(Iстудента, Iзадачи)» утвориться як залишок від розподілу унікального індексу студента на індекс (число варіантів) цієї задачі, збільшений на одиницю.

Приклад

• «Вар. (Iстудента=13, Iзадачи=5) = (13/5)+1 = 4»;

• «Вар. (Iстудента=142, Iзадачи=5) = (142/5)+1 = 3»;

• «Вар. (Iстудента=002, Iзадачи=7) = (2/7)+1 = 3».

Число задач контрольних робіт складає 270. Студенту необхідно правильно вирішити: для відмінної оцінки – не менш 250 задач; для гарної оцінки – не менш 200 задач, для задовільної оцінки – не менш 150 задач.

1. Теорія множин

1. Основи теорії множин

Задачі

1. Які з приведених співвідношень вірні, які ні? Чому?

1. х  ( {2, a, x };

2. 3  {1, {2, 3}, 4};

3. х  {1, sin X };

4. {x, y}  {a, {x, y}, b};

5. {1,2}  {{1, 2, 3}, {1, 2}, 1, 2}.

2. Чи рівні між собою безлічі А и В (якщо ні, то чому)?

1. A = {2, 5, 4}; B = {5, 4, 2};

2. A = {1, 2, 4, 2}; B = {1, 2, 4};

3. A = {2, 4, 5 }; B = {2, 4, 3};

4. A = {1, { 2, 5}, 6}; B = {1, {5, 2}, 6};

5. A = {1, {2, 5}, 6}; B = {1, 2, 5, 6}.

3. Чи вірно, що для довільної безлічі A  A?

4. Чи зв'язані безлічі А и В відношенням включення, якщо так, то вкажіть, яка з них є підмножиною іншої?

1. A = {a, b, d}; B = {a, b, c, d};

1. A = {a, b, c, d, e}; B = {a, e, c};

2. A = {c, d, e}; B = {a, c};

3. A = {a, {b, c}, d, e}; B = {a, b, c, d};

4. A = {{a, b, c, d}}; B = {a, b, c, d}.

5. Перелічити всі елементи безлічі P(A) (тобто всі підмножини безлічі А):

1. A = {1, 2, 3};

1. A = {1, 2, {1, 2}};

2. A = {{1, 2}, {3}, 1}.

6. Довести наступні твердження для довільних безлічей A, B, C:

   1. A  A (рефлексивність);

   2. якщо A  B і В  С, то А  С (транзитивність);

   3. якщо А  В и В  С, то А  С;

   4. якщо А  В и В  С, то А  С;

   5. якщо А  В и В  З, то А  С.

7. Які з тверджень вірні для всіх безлічей A, B, C, чому?

1. якщо A  B і В  С, то А  С;

1. якщо А  В и В  С, то А  С;

2. якщо A  B і В  С, то А  С;

3. якщо А  В и В  С, то А  С;

4. якщо A  B і В  С, то А  С.

8. Довести, що для будь-яких безлічей А₁, A₂, ...., A_n, якщо А₁  A₂  .....  A_n  A₁ , то A₁ = А₂ = ... = A_n.

9. Знайти А  В, A  B, A\B, B\A, якщо:

   1. A = [3,5], B = [2,4];

   2. A = [3,5], B = (2,4);

   3. A = (3,5), B = [2,4];

   4. A = (3,5), B = (2,4).

тут прийнято: [a,b] = M {x  D | a <= x <= b}; (a,b) = M {x  D | a < x < b};

10. Знайти А  B, A  B, A\B, B\A, якщо:

    1. А = {x  А | х  N і x поділяється на 4 і х <= 40},

B = {x  B | х  N і x поділяється на 5 і х <= 40};

2. А = {x  А | х  N і x поділяється на 4 і х <= 30},

B = {x  B | х  N і x поділяється на 6 і х <= 40}.

11. Довести тотожності (властивості) 1 - 18.

12. Довести чи спростувати наступні твердження:

    1. якщо АВ  С і АС  В, то АС = .

    2. якщо А  (ВC) і B  (AC), то B = .

    3. (A\B)C = (AC)\(BC).

    4. (A\B)\C = (A\C)\B.

    5. (AB)\(AB) = (AB)(BA).

13. Знайти необхідні і достатні умови для виконання рівностей:

    1. (A\B) B = A;

    2. (AB) \B = A;

    3. A\B = A;

    4. (AB)\(AB) = .

14. Довести наступні тотожності:

    1. (AB)(CD)=(AC)(AD)(BC)(BD);

    2. A(BCD)=(AB)(AC)(AD);

    3. A(B\A) = AB;

    4. (AB)\(AB)=(A\B)(B\A);

    5. (AB)\(AB)=(AB)(BA);

    6. A\B = A(AB);

    7. (C\A)(C\B) = ABC;

    8. A\(B\C) = (A\B)(AC);

    9. A\(BC) = (A\B)\C.

15. Що можна сказати про співвідношення безлічей А и В, якщо:

    1. AC  BC;

    2. AC  BC;

    3. (A\C)  (B\C);

    4. (C\B)  (C\A);

    5. B  A;

    6. AB = AB;

    7. (A\B)(B\A) = .

16. Побудувати двоїсті вираження для вихідних виражень:

    1. AC  BC;

    2. AC  BC;

    3. (A\C)  (B\C);

    4. (C-B)  (C-A);

    5. B  A;

    6. AB = AB;

    7. (A\B)(B\A) = .

17. Довести тотожності:

1. A-B = B-A;

2. A-(B-C) = (A-B)-C;

3. A(B-C) = (AB)-(AC);

4. A-(A-B) =B;

5. A-B-(AB) = AB;

6. A-(AB) = A\B;

7. (A-B)(AB) = AB.

18. Нехай Х = (А\B)\C; Y =A\(B\C). Чому дорівнює Y\X? Як співвідносяться Х и Y?

19. Спростити вираження:

    1. (ABD)(ABCDE)(ADA);

    2. (ABC)(ABC)BC;

    3. (ABCD)(AC)(BC)(CD);

    4. ((A(AB))(B(AB))C);

    5. ((AC)\(BC))((BC)(ABC)).

20. Вирішити рівняння:

    1. АХ = В(ХС);

    2. (АХ)С = ВХС;

    3. (АВС)Х = (ВХ);

    4. (А-(ВХ))С = (ВС).

21. Знайти покриття для вихідних безлічей, блоки яких містять по чотири, три і два елементи, знайти одну можливу розбивку і тривіальні розбивки:

    1. {a, b, c, d, e, f, g};

    2. {1, 3, d, 7, h, r, v};

    3. {b, d, 6, h, k, x, 9};

    4. {I, III, A, VII, F, L, XIV, Z}.

22. Показати еквівалентність:

    1. безлічі натуральних чисел N і безлічі квадратів натуральних чисел N²;

    2. безлічі цілих чисел С и безлічі парних чисел;

    3. безлічі дійсних чисел D і безлічі всіх точок прямої;

    4. безлічі точок осі абсцис і безлічі точок одиничного нижнього півкола з центром у точці (0, 1) за винятком її кінців (-1, 1) і (1, 1);

    5. безлічі точок інтервалу (0;1) і безлічі всіх дійсних чисел D.

2. Упорядковані множини

Задачі

1. Задано безлічі А={1, 2}; B={3, 4}; C={4, 5, 6}.Знайти:

1. AB;

2. BA;

3. (AB)C;

4. A(BC);

5. ABC;

6. C(BA);

7. CB)A.

2. Задано безліч А={a, b}. Знайти A⁰, A¹, A², A³.

3. Знайти геометричну інтерпретацію наступних безлічей:

1. [a, b][c, d], де [a, b] і [c, d] - відрізки дійсної прямої;

2. [a, b]²;

3. [a, b]³.

4. Довести чи спростувати:

1. A^sA^t = A^{s + t} , A  ;

2. A^sA^t = A^tA^s , A  ;

3. A  M^s, B  M^t, A  , B  , AB  M^{s + t}

5. Довести, що:

1. (AB)(CD) = (AC)(BD);

2. (AB)(CD)  (AC)(BD)

6. При яких A, B, C, D виходить рівність?

1. (AB)C = (AC)(BC);

2. A(BC) = (AB)(AC);

3. (AB)(CD) = (AC)(BC)(AD)(BD);

4. (A\B)C = (AC)\(BC);

5. A(B\C) = (AB)\(AC);

6. AB = (AD)(CB), де A  C, B  D.

7. Чи дистрибутивне пряме множення безлічей щодо операцій перетинання й об'єднання? Чи дистрибутивні об'єднання і перетинання щодо прямого множення? Відповідь обґрунтувати.

8. Визначити проекції векторів пр_1,4(abbacebf), пр_2,4,7<11010001000> і пр_3,4,2,8(75d442mk009).

9. Довести чи спростувати, що

1. пр₁(АB) = А;

2. пр₂ (AУ) = B;

3. якщо С  AВ, то пр₁ C  A; пр₂ C  В.

10. Знайти інверсії векторів (abbacebf)^-1, <11010001000>^-1 і (75d442mk009)^-1.

11. Задано вихідні безлічі А={1, 2}; B={3, 4}; C={4, 5, 6}.Знайти інверсії:

1. (AB)^-1;

2. (BA)^-1;

3. ((AB)C)^-1;

4. (A(BC))^-1;

5. (ABC)^-1;

6. (C(BA))^-1;

7. (CB)A)^-1.

12. Нехай [a, b] і [c, d] - відрізки дійсної прямої, знайти інверсії:

1. ([a, b][c, d])^-1;

2. ([a, b]²)^-1;

3. ([a, b]³)^-1;

4. ([a, b]^2)-1[c, d]^-1.

3. Графіки

Задачі

1. Нехай [a, b], [a, b), (a, b] відповідно відрізок і напіввідрізки, (a, b) – координати точки на площині. Побудувати графіки на площині, знайти області визначення і значення (перші і другі проекції) графіків:

1. ([2, 4][-1, 1))([1, 3)(-2, 0]);

2. ((3, 5)[-2, 0])-([2, 4][-1, 1));

3. G = {(1, 2), (-2, 4), (2, 7), [1, 2][-1, 1)};

4. G = {(x, y)G| (0<x<1 і y = 2) чи (x>2 і 1<y<3)};

5. G = {(x, y)G| y = 2x-4 і 1<x<5};

6. G = {(x, y)G| y = 3x+3 і x<7}.

2. Для графіків задачі 1 визначити інверсії, знайти області визначення і значення:

1. (([2, 4][-1, 1))([1, 3)(-2, 0]))^-1;

2. (((3, 5)[-1, 0])([2, 3][-1, 2)))^-1;

3. G = {(1, 2), (-2, 4), (2, 7), [1, 2][-1, 1)}, знайти G^-1;

4. G = {(x, y)G| (0<x<1 і y = 2) чи (x>2 і 1<y<3)}, знайти G^-1;

5. G = {(x, y)G| y = 2x-4 і 1<x<5}, знайти G^-1.

3. Для графіків G₁, G₂ і G₃ побудувати декартові добутки G = G₁G₂ і G = G₁G₂G₃, знайти області визначення і значення:

1. G₁ = {(1, 5), (-4, 4), (3, 9)}, G₂ = {(2, 5), (2, 9), (3, 11), (7, 10)};

2. G₁ = {(1, 2), (2, 3), (2, 5), (4, 3)}, G₂ = {(1, 1), (2, 4), (2, 10), (3, 10), (5, 11)}, G₃ = {1, -11), (2, 4), (4, 6), (4, 8), (11, 9)};

3. G₁ = [2, 3][-1, 2), G₂ = [0, 2)(-1, 0];

4. G₁ = {(x, y)G₁| (0<x<1 і y = 1) чи (x>-1 і 2<y<3)}, G₂ = {(x, y)G₂| (1<x<2 і 3<y<4)};

5. G₁ = {(x, y)G| y = x+7 і -1<x<1}, G₂ = {(x, y)G₂| (y  x²)}.

4. Для графіків G₁, G₂ і G₃ побудувати композиції G = G₁G₂ і G = G₁G₂G₃, знайти області визначення і значення:

1. G₁ = {(1, 2), (-2, 4), (2, 7)}, G₂ = {(1, 5), (2, 9), (2, 11), (7, 11)};

2. G₁ = {(1, 2), (2, 3), (2, 5), (4, 3)}, G₂ = {(1, 1), (2, 4), (2, 10), (3, 10), (5, 11)}, G₃ = {1, -11), (2, 4), (4, 6), (4, 8), (11, 9)};

3. G₁ = [2, 4][-1, 1), G₂ = [0, 3)(-2, 0];

4. G₁ = {(x, y)G₁| (0<x<2 і y = 1) чи (x>-1 і 2<y<5)}, G₂ = {(x, y)G₂| (0<x<1 і 0<y<3)};

5. G₁ = {(x, y)G| y = 2x+4 і -1<x<5}, G₂ = {(x, y)G₂| (y  0,5x²-3)}.

5. Для результуючих композицій задачі 4 побудувати інверсії.

6. Довести, що операція композиції графіків не комутативна й асоціативна.

7. Визначити властивості графіків (симетричність, функціональність, ін’єктивність):

1. G = {(1, 2), (2, 3), (2, 5), (4, 4)};

2. G = {(1, 2), (2, 1), (4, 5), (5, 4), (3, 3)};

3. G = {([2, 4][-1, 1))([-1, 1)[2, 4])};

4. G = {(x, y)G| (0<x<2 і y  1) чи (x>-1 і 2<y<5)};

5. G = {(x, y)G| y = -3x+14};

6. G = {(x, y)G₂| (y = 0,5x²-2)}.

4. Відповідності, образи і прообрази

Задачі

1. Для відповідностей ₁ і ₂ знайти об'єднання, перетинання, різниці, симетричну різницю і доповнення:

1. ₁ = ({1, 2, 3, 4, 5}, {a, b, c, d, e, f}, {(1, a), (2, b), (3, c), (4, f)}), ₂ = ({1, 3, 5, 6, 7}, {a, c, e, f, g}, {(1, a), (2, b), (3, c), (4, f)}, (7, e));

2. ₁ = (N, N, {(2, 5), (3, 3), (3, 4), (6, 9)]}), ₂ = (N, N, {(1, 1), (2, 5), (3, 4), (6, 8)});

3. ₁ = (N, N, {[2, 5][1, 2)}), ₂ = (C, N, {[-1, 1)[2, 3]});

4. ₁ = (C, C, {(x, y)G| (1<x<2 і y  1)}), ₂ = (C, C, {(x, y)G| x>-1 і 2<y<4)});

5. ₁ = (D, D, {(x, y)G| y  -3x+14}), ₂ = (D, D, {(x, y)G₂| (y  x²+1)}).

2. Для відповідностей  побудувати інверсії і звуження на безліч А:

1. ( = ({1, 2, 3, 4, 5}, {a, b, c, d, e, f}, {(1, a), (3, b), (4, c), (5, f)}), А = {2, 3, 4};

2. ( = (N, N, {(1, 1), (2, 5), (3, 2), (6, 7)}), A = {[0, 3]};

3. ( = (C, N, {[-2, 4)[3, 5]}), A = {[-2, 0]};

4. ( = (C, C, {(x, y)G| (1<x<6 і y ( 2)}), A = {[-1, 3]};

5.  = (C, C, {(x, y)G| x>-4 і 1<y<7)}), A = {[3, 5)};

6.  = (D, D, {(x, y)G| y  -2x+10}), A = {[-1, 3]};

7.  = (D, D, {(x, y)G₂| (y  x²+4)}), A = {[3, )}.

3. Для відповідностей ₁, ₂ і ₃ побудувати декартові добутки  = ₁₂ і  = ₁(₂₃):

1. ₁ = ([-5, 5], [1, 10], {(1, 5), (-4, 4), (3, 9)}), ₂ = ([2, 7], [5, 12], {(2, 5), (2, 9), (3, 11), (7, 8)});

2. ₁ = (N, N, {(1, 2), (2, 3), (2, 5), (4, 3)}), ₂ = (N, N, {(1, 1), (2, 4), (2, 10), (3, 10), (5, 11)}), ₃ = (N, N, {1, -11), (2, 4), (4, 6), (4, 8), (11, 9)});

3. ₁ = (C, N, {[2, 3][-1, 2)}), ₂ = (C, C, {[0, 2)(-1, 0]});

4. ₁ = (C, N, {(x, y)G₁| (1<x<2 і y = 4) чи (x>-1 і 1<y<3)}), ₂ = (N, N, {(x, y)G₂| (3<x<4 і 5<y<7});

5. ₁ = (D, D, {(x, y)G| y = x+7 і -1<x<1}), ₂ = (D, D, {(x, y)G₂| (y  x²)}).

4. Для відповідностей ₁, ₂ і ₃ побудувати композиції  = ₁₂ і  = ₁₂₃ і їхні інверсії:

1. ₁ = ([-5, 5], [1, 10], {(1, 5), (-4, 4), (3, 9)}), ₂ = ([2, 7], [5, 12], {(3, 5), (4, 9), (5, 11), (5, 8)});

2. ₁ = (N, N, {(1, 2), (2, 3), (2, 5), (4, 3)}), ₂ = (N, N, {(1, 1), (2, 4), (2, 10), (3, 10), (5, 11)}), ₃ = (N, N, {1, -11), (4, 4), (4, 6), (10, 8), (11, 9)});

3. ₁ = (C, N, {[2, 3][-1, 2)}), ₂ = (C, C, {[0, 2)(-1, 0]});

4. ₁ = (C, N, {(x, y)G₁| (1<x<2 і y = 4) чи (x>-1 і 1<y<3)}), ₂ = (N, N, {(x, y)G₂| (0<x<4 і 5<y<7});

5. ₁ = (D, D, {(x, y)G| y  x+7 і -1<x<1}), ₂ = (D, D, {(x, y)G₂| (y  x²)}).

5. На безлічі А = {1, 2, 3, 4, 5} задані відповідності. Визначити їхні області відправлення, визначення прибуття і значень, а також властивості відповідностей, якщо графіки мають вид:

1. {(1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (5, 1)};

2. {(2, 1), (3, 4), (4, 4), (5, 3)};

3. {(1, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 3), (5, 1)};

4. {(1, 2), (2, 3), (4, 1), (4, 1), (4, 5), (5, 5)};

5. {(1, 5), (2, 1), (3, 4), (4, 3), (5, 2)}.

6. Знайти області відправлення, визначення, прибуття і значень відповідностей, побудувати їхні графіки на площині і визначити властивості відповідностей, якщо їхні графіки мають вигляд:

1. {(x, y)  D²| y = x};

2. {(x, y)  D²| y>=x};

3. {(x, y)  D²| 0<=x<=2 чи 0<=y<=1};

4. {(x, y)  D²| 0<=x<=2 чи 0<=y<=1};

5. {(x, y)  D²| x² + 4y² =1};

6. {(x, y)  D²| x^{2 =} y² };

7. {(x, y)  D²| |x| +2 |y|=1};

8. {(x, y)  D²| x² + y² < 1 і x > 0};

9. {(x, y)  D²| y >= 0 і y <= x, і x + y <=1}.

7. Які з приведених відповідностей, заданих на безлічі дійсних чисел D, є функціональними? Визначити всі їхні області й всі інші властивості:

1. {(x, y)  D²| y = x² + 2x +1};

2. {(x, y)  D²| x = y² };

3. {(x, y)  D²| |x| +|y| =1};

4. {(x, y)  D²| x² + y² =1 і y > 0}.

8. Які з відповідностей, задані графіками на рис.1.1, є функціями? Які з них взаємооднозначні? Визначити їхні всі області і властивості.

1a y y

2b

3c

x

4d x

5e

f

a b c

y y

x x

d e

Рис.1.1.

9. Довести справедливість наступних тверджень (лему):

1.  – функція  ^-1 – ін'єкція;

2.  – усюди визначено  ^-1 – сюр'єкція;

3.  – бієкція  ^-1 – бієкція.

10. Нехай A= {a, b, c, d, e, f}; = (A, A, P), A’= {a, b, d, f}, P= {(a, e), (c, b), (d, d), (e, c), (f, b), (a, d)}. Знайти образ (A’) і повний прообраз ^-1(A’).

11. Нехай  - відповідність між D і D з графіком Р={(x, y)  D²| y-3x+2=0} Знайти образ (А) і повний прообраз ^-1(A), якщо:

1. A=[2, 3];

2. A=[-2, 3];

3. A=[-1, 1].

12. Вирішити задачу 11, якщо Р={(x, y)  D²| y= x²-1}.

13. Вирішити задачу 11, якщо Р={(x, y)  D²| y= -3x³+2}.

14. Довести чи спростувати, що для образів будь-якої відповідності  = (A, B, P) і будь-яких безлічей А' і A” виконується:

1. (A’A”) = (A’)(A”);

2. (A’A”) = (A’)(A”);

3. (A’\A”) = (A’)\(A”).

15. Знайти необхідні і достатні умови, які повинні задовольняти відповідність , щоб для образів відповідності для безлічей А' і A” виконувалися тотожності:

1. (A’A”) = (A’)(A”);

2. (A’\A”) = (A’)\(A”).

16. Довести, що для образів відповідності  = (A, B, P) і безлічей A’, A”, B’ справедливі:

1. A’  A”  (A’)  (A”);

2. (A’) = (A’пр₁P);

3. ^-1(B’) =   B’пр₂P = .

17. Довести справедливість тверджень для відображення  = (A, B, P):

1. (A’A”) = (A’)(A”);

2. (A’A”)  (A’)(A”);

3. ^-1(B’B”) = ^-1(B’)^-1(B”);

4. ^-1(B’B”) = ^-1(B’)^-1(B”).

18. Визначити характеристичні функції для безлічей А і підмножин А':

1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, А' = {2, 4, 5};

2. A = {(-2, 5]}, A’ = {[-1, 0](1, 3]};

3. A = {xA| xN і x<8}, A’ = {xA’| xN і х<5 і x – парне}.

19. Побудувати діаграми для відображень ₁, ₂, ₃, ₄, ₅, чи комутативні побудовані діаграми?

1. ₁ = ({1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4, 5}, (1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 3)}), ₂ = ({2, 3, 4, 5}, {3, 4, 5, 6, 7}, {(2, 7), (3, 4), (4, 6), (5, 5)}), ₃ = ({1, 2, 3, 4}, {3, 4, 5, 6, 7}, {(1, 7), (2, 4), (3, 5), (4, 4)});

2. ₁ = (D, D, {(x, y)G| y = 2x}), ₂ = (D, D, {(x, y)G| y = |x|}), ₃ = (D, D, {(x, y)G| y = |x|}), ₄ = (D, D, {(x, y)G| y = 2x});

3. ₁ = ({[-3, 5]}, D, {(x, y)G| y = 3x-5}), ₂ = (D, N, {(x, y)G| -2<x<6 і y = |mod(x, 2)|}), ₃ = ([-3, 5], D, {(x, y)G| y = 6x}), ₄ = (D, C, {(x, y)G| y = mod((0,5x-5), 2)}), ₅ = (C, N, {(x, y)G| y = |x|}).

5. Відношення. Функції

Задачі

1. На безлічах А = {a_1, a_2, a_3, a_4, a_5,} і В ={b_1, b_2, b_3, b_4,} визначено бінарне відношення R={(a_1, b₂), (a_2, b₁), (a_2, b₂), (a_4, b₂), (a_4, b₃), (a_5, b₁), (a_5, b₃)}:

1. визначити область визначення й область значень відношення;

2. визначити перетини по кожному елементі з А;

3. визначити перетини по підмножинах А¹ = {a_1, a_4,} і А¹¹ ={a_2, a_3, a_5,};

4. побудувати матрицю і граф відношення;

5. знайти зворотне відношення R^-1.

2. Визначити за допомогою характеристичної властивості графіки тернарних відношень, що задають бінарні арифметичні операції додавання, вирахування, множення, розподілу на безлічі цілих чисел.

3. Визначити за допомогою характеристичної властивості графіки тернарних відношень, що задають оператори мови Java (C) на безлічі дійсних чисел:

1. if(a<(b*c)) a+=2*b; else a/=2*c;

2. for(i=0; i<10; i++) a=i+2*b;

3. a=(a>b ? a+3 : a-2).

4. Визначити за допомогою характеристичної властивості графіки п’ятиарних відношень, що задає оператор case мови Java (C):

switch(i): {

case 1: a=b; break;

case 2: b+=7*c; break;

case 3: b*=a;

case 4: b/=2-d; break;

default: a=0; b=0; }

5. За допомогою матриці задайте будь-яке шестиарне відношення на безлічі букв латинського алфавіту.

6. Нехай задані два відношення:

R₁ = {(x, y)R₁| x, y – безліч одеситів і х є батьком у},

R₂ = {(x, y)R₂| x, y – безліч одеситів і х є дочкою y}.

Побудувати бінарні відношення:

1. (R₁)² і (R₂)²;

2. ((R₁)^-1)R₂ і R₂(R₂)^-1;

3. ((R₁)^-1)(R₂)^-1 і ((R₂)^-1)(R₂)^-1.

7. Для відношень R₁, R₂, R₃, заданих за допомогою матриць,

R₁ = 1, 3, 1, 1, 4 R₂ = 2, 4, 4, 2, 3 R₃ = 4, 4, 2

2, 4, 2, 2, 3 4, 9, 4, 4, 1 3, 3, 2

4, 1, 3, 2, 7 3, 2, 3, 5, 2 2, 3, 4

4, 9, 4, 4, 1 3, 2, 2, 5, 2 3, 3, 4

і безлічі A = {a, b, c} визначити (у матричній формі):

1. об'єднання, перетинання, дві різниці, симетричну різницю відношень R₁, R₂, а також доповнення відношення R₃ у припущенні, що R₃ діє на безлічі B = {2, 3, 4};

2. декартові добутки R₁R₂, R₁R₃, R₂R₁;

3. перестановки координат відношень R₁, R₂ відповідно до набору (3, 2, 4, 1, 5), відношення R₃ відповідно до вектора (1, 3, 2);

4. цикли, транспозиції і зворотні відношення для вихідних відношень R₁, R₂, R₃;

5. ототожнення координат для відношень R₁, R₂, R₃ відповідно до векторів координат (1, 3, 4) для R₁, (2, 3) для R₂, (1, 2) для R₃;

6. приписування фіктивної координати з безлічі А для відношень R₁, R₂, R₃;

7. згортки де Моргана для відношень R₁, R₃;

8. проекції відношень пр_1,3,5R₁, пр_2,4R₂, пр₃R₃ і доповнень проекцій відношень (пр_1,3,5R₁), (пр_2,4R₂), (пр₃R₃);

9. перетинів відношень R₁, R₂, R₃ відповідно по векторах (4₁, 1₂, 3₃, 2₄), (3₁, 2₂, 5₄, 2₅), (3₂, 4₃);

10. перетину відношення R₃ по безлічі векторів {(3₁, 3₂), (3₂, 4₃)};

11. присутність властивостей усюди визначеності, функціональності, ін’єктивності, сюр’ективності і бієктивності для відносин R₁, R₂, R₃ за умови їхнього відображення в бінарні відносини відповідно до угруповання координат (1, 2, 3, 4, 5)((1, 2, 3, 4), (5)) для R₁, (1, 2, 3, 4, 5)((1, 2), (3, 4, 5)) для R₂, (1, 2, 3)((1), (2, 3)) для R₃.

8. Задати унарне відношення на безлічі A = {a, b, c, d, e, f, g, h} за допомогою характеристичної властивості підмножини А':

1. A’ = {a, d, e, h};

2. A’ = {b, c, f};

3. A’ = {a, b, c, g};

4. A’ = {c, d, f, g}.

9. Для відношень R₁, R₂, R₃, R₄, R₅ S на безлічі З, заданих за допомогою матриць, визначити:

R₁ = 1, 3, 1, 1, 4 R₂ = 2, 4, 4, 2, 3 R₃ = 4, 1, 3, 2, 4

2, 4, 2, 2, 3 1, 3, 1, 1, 7 1, 3, 1, 1, 5

4, 1, 3, 2, 7 3, 2, 3, 5, 2 2, 3, 4, 3, 2

4, 9, 4, 4, 1 1, 3, 1, 1, 2 3, 3, 4, 1, 5

4, 1, 3, 2, 5

R4 = 1, 3, 1, 1, 2 R5 = 1, 3, 1, 1, 3 S = 1, 1, 2, 4, 3, 6

6, 8, 5, 5, 2 3, 2, 1, 4, 4 4, 2, 5, 2, 4, 8

4, 1, 3, 2, 1 4, 1, 3, 2, 9 7, 5, 4, 1, 9, 7

1, 3, 1, 1, 4 2, 4, 3, 1, 6, 7

4, 2, 5, 2, 3, 9

4, 7, 5, 2, 3, 5

7, 5, 4, 1, 9, 8

1. суперпозицію S(R₁, R₂, R₃, R₄, R₅) у матричній формі;

2. наявність функціональності в суперпозиції.

10. Для чотир’охарних відношень на безлічі A = {a, b, c} визначити присутність властивостей рефлексивности, симетричності, транзитивності і зв'язності без умови відображення їх у бінарні відношення і з умовою відображення їх у бінарні відношення відповідно до угруповання координат (1, 2, 3, 4, 5)((1, 2), (3, 4)):

1. R = {(a, a, c, b), (c, a, b, b), (b, c, c, a), (a, b, c, c), (b, a, a, c), (a, a, a, a)};

2. A = {(a, b, c, a), (b, a, c, b), (b, c, a, a), (a, c, b, c), (c, a, c, b), (c, c, c, c)};

3. A = {(a, a, a, a), (b, b, b, b), (c, c, c, c), (a, b, a, b), (c, a, a, c), (a, c, c, a)};

4. A = {(a, b, c, a), (a, a, b, c), (a, c, b, a), (a, b, a, c), (a, a, c, b), (a, c, b, a), (b, a, a, c), (b, a, c ,a), (b, c, a, a), (c, a, a, b), (c, a, b, a), (c, b, a, a)}.

11. Чи існують такі безлічі А и В, для бінарних відношень яких справедливо R^-1_АВ = R_АВ?

12. Приведіть приклади рефлексивних, антирефлексивних, іррефлексивних, симетричних, антисиметричних, асиметричних, транзитивних, нетранзитивних, зв'язних і незв'язних бінарних відношень.

13. Побудувати бінарні відношення:

1. рефлексивне, симетричне, нетранзитивне;

2. рефлексивне, антисиметричне, нетранзитивне;

3. рефлексивне, транзитивне, несиметричне;

4. антисиметричне, транзитивне, іррефлексивне;

5. асиметричне, транзитивне, іррефлексивне.

14. Визначити властивості наступних бінарних відношень на довільній безлічі А:

1. повного відношення (А,A²);

2. порожнього відношення (А, );

3. відношення рівності (A, E_A);

4. відношення нерівності (A, E_A).

15. Побудувати графіки і визначити властивості наступних бінарних відношень:

1. a R b  |a-b|1, де a, b  D;

2. a R b  aba², де a, b  C;

3. a R b  a3ba³, де a, b  D;

4. a R b  a  b, де a, b  D;

5. a R b  a = b = 0, де a, b  D;

6. a R b  x, y > 0, де a, b  D;

7. r = ({1, 2, 3}, R), R={(1, 1), (1, 2), (2, 2)};

8. r = (, );

9. a R b  |a-b|3, де a, b  D;

10. a R b  [a - b =7t], де a, b, t  N;

11. r = (A, R), де А ={a, b, c, d,}; R={(a, a),(a, b),(c, a),(b, d),(a, d),(b, c)}.

6. Спеціальні види відношень

Задачі

1. Нехай А - безліч усіх прямих на площині. Чи є еквівалентністю наступні відношення:

1. паралельність прямих;

2. перпендикулярність прямих.

2. Відношення еквівалентності на безлічі А ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} задано розбивкою на класи А1 = {1, 4}; A2 = {2, 3, 7}; A3 = {5, 6}. Представити це відношення безліччю упорядкованих пар, матрицею і графом.

3. Показати, що кожне з наступних відношень є відношенням еквівалентності:

1. повне відношення на довільній безлічі А;

2. відношення рівності на довільній безлічі А;

3. відношення “бути в одній групі” на безлічі студентів факультету;

4. відношення “мати однаковий залишок при розподілі на 3” на безлічі N;

5. відношення подоби на безлічі трикутників;

6. відношення концентричності на безлічі окружністів;

7. відношення мати однакове число цифр на безлічі N;

8. відношення мати однакову обчислювальну потужність.

4. Нехай f: x  y - відображення. На безлічі Х задане відношення R таке, що х₁Rх₂ , якщо f(х₁) = f(х₂). Чи є R відношенням еквівалентності?

5. Показати, що наступні відношення не є еквівалентністю:

1. відношення нерівності на безлічі А (А  );

2. відношення “ а кратне b ” на безлічі цілих чисел З;

3. відношення “ а знайомий з b “ на безлічі людей;

4. порожнє відношення.

6. Нехай А и В - відношення еквівалентності. Чи є еквівалентністю відношення:

1. AB;

2. AB;

3. A\B;

4. A-B;

5. A.

7. Визначити властивості і вказати тип упорядкованості для наступних відношень:

1. відношення <= (не більше) на безлічі дійсних чисел D;

2. відношення < (менше) на безлічах D, R, C, N;

3. відношення  (включення) на безлічі підмножин безлічі А;

4. відношення  (строге включення) на безлічі підмножин безлічі А;

5. відношення “бути дільником” на безлічі натуральних чисел;

6. відношення “бути старше” на безлічі людей;

7. відношення “бути довше” на безлічі відрізків на площині.

8. Визначити властивості і вказати тип упорядкованості для наступних відносин, заданих на безлічі А ={a, b, c, d}

1. r₁=(A, R₁), R₁={(a, b), (a, d), (b, d), (a, c)};

2. r₂=(A, R₂), R₂={(a, b), (a, c), (a, d)};

3. r₃=(A, R₃), R₃={(a, b)};

4. r₄=(A, R₄), R₄={(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)};

5. r₅=(A, R₅), R₅={(a, a), (a, c), (a, d), (b, b), (b, c), (b, d), (c, c), (c, d), (d, d)}.

9. До якого типу упорядкованості відносяться наступні відношення:

1. будь-яке відношення еквівалентності на довільній безлічі А;

2. відношення b поділяється на a (a, b  C);

3. відношення a не старше, ніж b на безлічі людей Землі;

4. відношення a не старше курсом, ніж b на безлічі студентів факультету;

5. відношення рівності Е_А.

7. Замикання відношень. Замкнутість щодо операцій

Задачі

1. Побудувати транзитивне і рефлексивне замикання для бінарних відношень:

1. R₁ = {(x, y)R₁| x, yN і y = x+1};

2. R₂ = {(x, y)R₂| x, yD і y>x};

3. R₃ = {(x, y)R₃| x, yD і |x| = |y|}

4. R₄ = {(x, y)R₄| x, yD і x*y = 1};

5. R₅ = {(x, y)R₅| x, yD і |x|+|y| = 1}.

1. Побудувати транзитивне і рефлексивне замикання для бінарних відношень:

1. R₄ = {(x, y)R₄| x, y – станції Одеського метрополітену і y є наступною станцією за х};

2. R₅ = {(x, y)R₅| x, y – безліч одеситів і х є батьком у};

3. R₆ = {(x, y)R₆| x, y – безліч одеситів і х є дочкою в};

4. R₇ = {(x, y)R₇| x, y – безліч одеситів і х є знайомим у}.

1. Побудувати транзитивне і рефлексивне замикання для бінарних відношень:

1. (R₆(R₆^-1))⁺;

2. ((R₅^-1)R₅)^*;

3. ((R₆)^-1(R₅)^-1)⁺;

4. (R₆(R₆^-1)R₆)⁺;

5. ((R₆)^-1(R₅)^-1R₆)^*.

1. Обґрунтувати замкнутість підмножини А’ безлічі P(А) щодо відповідності :

1. A = {a, b, c, d, e}, A’A²,  = (A², A, G), G = {((A₁, A₂), {A₃, A₄} )G| A₁, A₂A і A₃ = A₁A₂ і A₄ = A₁A₂};

2. A = N, A’N²,  = (A², A, G), G = {((A₁, A₂), A₃)G| A₁, A₂A і A₃ = A₁+A₂};

3. A – безліч чорних ворон, A’А²,  = (A², A, G), G = {((A₁, A₂), A₃)G| A₁, A₂A і A₁, A₂ - батьки A₃}.

8. Спеціальні функції

Задачі

1. Записати в матричному виді і визначити, чи є наступні відповідності підстановками:

1. ₁ = ({1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}, {(1, 2), (2, 3), (3, 5), (5, 1), (4, 4)});

2. ₂ = ({1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {(1, 2), (2, 3), (4, 2), (3, 3)});

3. ₄ = ({1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4, 5}, {(1, 2), (2, 3), (2, 5), (4, 4), (3, 5), (5, 2)});

4. ₃ = ({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 6), (6, 5), (5, 1), (7, 7)});

5. ₅ = ({1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}, {(1, 5), (5, 2), (2, 1), (2, 4), (3, 4), (4, 3)}).

2. Привести підстановку ₁ до підстановки ₂ за допомогою операцій перестановки і циклу:

1. ₁ = ({a, b, c, d, e}, {a, b, c, d, e}, {(a, c), (c, d), (d, a), (b, e), (e, b)}), ₂ = ({a, b, c, d, e}, {a, b, c, d, e}, {(a, d), (d, a), (b, b), (c, e), (e, c)});

2. ₁ = ({a, b, c, d}, {a, b, c, d}, {(a, a), (b c), (c, b), (d, d)}), ₂ = ({a, b, c, d, e}, {a, b, c, d, e}, {(a, c), (c, b), (b, d), (d, e), (e, a)});

3. ₁ = ({1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}, {(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 4), (5, 1)}), ₂ = ({1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}, {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 5), (5, 2)})

3. Визначити існуючі цикли і нестаціонарні елементи в підстановках задач 1, 2.

4. Визначити, чи є послідовностями:

1. список студентів академічної групи;

2. латинський алфавіт;

3. унарні і бінарні операції мови Java (C);

4. періодична таблиця Менделєєва;

5. генеалогічне дерево.

5. Визначити, чи є функціоналами:

1. нормальний розподіл Гаусса;

2. виконання популярних пісень за заявками радіослухачів;

3. відповідності виду ₁: (AB)C, A(BC), (AB)(CD);

4. програми мовою Java (C) і їх вхідні і відповідні вихідні дані - Program((Input(Output);

5. успішність студентів LearnRating і професійна діяльність фахівців WorkSuccess.

6. Визначити, чи є відповідності  відображеннями, що зберігають еквівалентність:

1. ;₁: ПроцесориКомп'ютери, ₁ - відношення еквівалентності різних процесорів за продуктивністю і ₂ - відношення еквівалентності різних комп'ютерів за обчислювальною потужністю.

2. ₂: СтудентиПотоки (року навчання), ₃ - відношення еквівалентності обсягу знань студентів і ₄ - відношення еквівалентності в підготовці до професійної діяльності між однаковими потоками різних факультетів.

9. Операції

Задачі

1. Представити в префіксній і постфіксній формах арифметичні вираження і побудувати для них дерева обчислень:

1. a/(b-c*d)+(a*b*(d-c));

2. (a-b-c)*((b+d/a)*a-c);

3. ((a+d)*b-c)/(b-a+c/d);

4. b+(a/(b+c-d))*(a/(c+d));

5. (a/((b+c)/d))*(b*c+a)/d;

6. d+((b*c)/(a*b-d))*(a+b).

1. Визначити правильність завдання бінарних операцій і їхню комутативність, знайти одиницю (нуль), зворотний елемент:

1. xy  x-y і x, yN;

2. xy  (x*y)-1 і x, yC;

3. xy  max(x, y) і x, yN;

4. xy  (x²+y²) і x, yD и x0;

5. xy  x/y і x, yR і x>0.

3. Перевірити, чи є операція , що визначена на безлічі A = {a, b, c}, асоціативною, комутативною і чи має одиничний елемент

 = {((a, a), b), ((a, b), c), ((a, c), a), ((b, a), c), ((b, b), a), ((b, c), b), ((c, a), a), ((c, b), b), ((c, c), c)}.

1. Довести, що операція  = ((a*b)-1)/(a+b), визначена на безлічі [1, ), асоціативна.

2. Нехай асоціативна операція на безлічі А с одиницею е така, що кожен елемент аА є оборотний, зворотний позначається як а'. Показати, що (ab)’ = b’a’.

3. Показати, що якщо операція  – асоціативна операція на безлічі А з одиницею е така, що аа = е для будь-якого аА, то  комутативна.

4. Нехай є асоціативна операція на безлічі А така, що для будь-яких а,bА, якщо аb = bа, то а = b. Показати, що кожен елемент А ідемпотентен стосовно . Що можна сказати про операцію , якщо вона має одиницю?