2. Комбінаторика

1. Перестановки

Задачі

1. Нехай А и В - кінцеві безлічі, що складаються з m і n елементів відповідно:

   1. Чому дорівнює число відповідностей між А и В?

   2. Скільки існує функцій з А и В?

   3. Скільки існує 1-1 функцій з А и В?

   4. При яких m і n існує взаємооднозначна відповідність між А и В?

2. Нехай безліч А₁ містить n₁ елементів; безліч А₂ - n₂ елементів; ...., безліч А_m - n_m елементів. Скільки елементів містить їхній декартовий добуток А₁А₂...А_m ?

3. Скільки елементів містить безліч Аⁿ , якщо |А| = S?

4. Чому дорівнює число відповідностей між m - елементною безліччю А і n - елементною безліччю В:

1. функціональних (ін’єктивних);

2. усюди визначених (сюр’єктивних).

5. Чому дорівнює число відношень між m - елементами безлічі А и n - елементами безлічі В?

6. Чому дорівнює число відношень на n-елементної безлічі?

7. Скількома способами можна скласти чотирикольоровий прапор, якщо існує матеріал семи кольорів веселки? Вирішити задачу за умови:

1. одна зі смуг прапора повинна бути зеленою чи червоною;

2. дві зі смуг повинні бути голубою і жовтою;

3. три смуги повинні бути синьою, зеленою і жовтою.

8. Скільки різних слів можна одержати, переставляючи букви в слові «математика».

2. Сполучення

Задачі

1. Довести, що безліч з n елементів має 2ⁿ підмножин.

1. Скільки підмножин з k елементів має безліч з n елементів?

2. Чому дорівнює число всіляких проекцій кортежу довжини n?

3. У футбольній команді є 13 гравців і 2 воротарі. Скількома способами можна вибрати граючий склад (11 гравців, у тому числі один воротар)?

4. Визначити число всіляких наборів з п'яти різних елементів по трьох, якщо в кожнім наборі:

1. усі предмети різні;

2. однакові предмети можуть повторюватися.

3. Рекуррентные співвідношення

Задачи

1. В офісі є дев'ять робочих місць, з яких на двох можуть працювати тільки жінки, на трьох — тільки чоловіки і на чотирьох — чоловіки і жінки. Скількома способами можна розподілити трьох жінок і чотирьох чоловіків на ціх місцях?

2. Покажіть, що число сполучень з п елементів по r дорівнює числу n-перестановок з повтореннями з r елементів одного типу і n - r елементів іншого типу, тобто

4. Біном Ньютона

Задачі

1. Визначити за допомогою біноміальних коефіцієнтів число наборів з п'яти різних елементів по три, якщо в кожнім наборі:

   1. усі предмети різні;

   2. однакові предмети можуть повторюватися.

2. Довести властивості біноміальних коефіцієнтів:

1. C(n, k) = C(n, n-k);

2. C(n, k)*C(k, r) = C(n-r, k-r)*C(n, r).

5. Поліноміальні і експонентні виробляючі функції

Задачі

1. Нехай у сполучення з повтореннями з п елементів по r повинні обов'язково входити елементи k фіксованих типів (k п). Показати, що число таких сполучень дорівнює С(r + п – k - 1, r—k). Зокрема, якщо в кожне сполучення повинний входити хоча б один елемент кожного з п типів (це можливо тільки при п  r), то число таких сполучень дорівнює С(r – 1, r - п).

2. Вираз розкладається в суму членів видуз деякими коефіцієнтами, де числаприймають усілякі значення від 0 до п, причому . Покажіть, що для даного розкладання:

   1. коефіцієнт при члені дорівнює числу перестановок з повтореннями з n елементів зі специфікацією, тобто

2. кількість усіх членів дорівнює числу n-сполучень з повтореннями з k елементів, тобто

1. сума всіх коефіцієнтів дорівнює .

1. На підставі співвідношень попередньої задачі для вираження (а + 3b + 5з - d)⁶ визначити:

   1. коефіцієнти при членах і;

   2. кількість усіх членів розкладання.

6. Принцип включення і виключення

Задачі

1. З 30 співробітників англійську мову знають 19, німецьку— 17, французьку— 11, англійську і німецьку— 12, англійську і французьку — 7, німецьку і французьку — 5, усі три мови — 2. Скільки співробітників не володіють іноземними мовами? Скільки з них знають тільки англійську, тільки німецьку, тільки французьку мови?

2. Показати, що число натуральних чисел, що поділяються на n і не переважає x, дорівнює [x/n].

3. Знайти число цілих позитивних чисел, що не перевершують 200 і не поділяються на жодне з чисел 3, 5, 7.

4. Знайти число простих чисел, що не перевершують 250.

7. Розбивки

Задачі

1. N урн випадковим образом заповнюються п кулями (n < N). Знайти імовірність того, що кожна з п перших урн буде містити точно по одній кулі, якщо урна може прийняти:

   1. не більше однієї кулі;

   2. будь-яке число куль, яке не перевищує п.

2. Покажіть, що

3. Знайти число способів розподілу 23 студентів у групи по 3 і 5 чоловік.

3. БулЄва АЛГЕБРА

   1. Функції

Задачі

1. Побудувати таблиці істинності для формул:

1. (PQ)(P(QP));

2. (P(QP))(PR);

3. (PQ~R))((PQ)~(PR));

4. (P(QP))((QP)Q)).

2. Довести виконуємость формул:

1. (PP);

2. (PQ)(QP);

3. (Q(PR))((PR)Q).

3. Довести тотожну істинність формул:

1. (PQ)(QP);

2. P(Q(PQ));

3. (QR)((PQ)(PR));

4. (PR)((QR)((P(Q)R))).

4. Довести еквівалентність:

1. (A(BC))~((AB)(AC));

2. (A(BC))~((AB)(AC));

3. (A(BA))~A;

4. (A(AC)(BC))~((AB)(AC));

5. ((AB)(AB))~A.

2. Способи завдання булєвих функцій

Задачі

1. Представити функції алгебри логіки (ФАЛ), що рівні 1 на наступних наборах аргументів х₁х₂х₃ і х₁х₂х₃х₄, у табличному, графічному і чисельному виді:

1. 001, 010, 110, 011;

2. 100, 010, 000;

3. 0001, 0100, 0110, 1011, 1101;

4. 0010, 0101, 1000, 1001, 1100, 1111.

2. Представити задані ФАЛ у табличному, графічному і чисельному виді:

1. (x₁+(x₁x₂x₃+x₃));

2. x₁x₂+(x₂x₃+x₁+x₂x₃);

3. (x₁x₂)x₃+(x₁x₃)x₂;

4. (x₁+x₂)(x₁x₂+x₂x₃);

5. x₁+x₂+x₃;

6. (x₁+x₂)(x₂+x₃);

7. (x₁x₂x₁)+(x₁+x₂+x₃).

3. Записати СДНФ і СКНФ ФАЛ, що рівні 1 на наступних наборах аргументів х₁х₂х₃ і х₁х₂х₃х₄:

1. 001, 010, 110, 011;

2. 100, 010, 000;

3. 0001, 0100, 0110, 1011, 1101;

4. 0010, 0101, 1000, 1001, 1100, 1111.

4. Записати в ДНФ наступні ФАЛ:

1. [(x₂x₁)~x₃]+(x₄ /x₁);

2. (x₁~(x₂+x₃))(x₁x₄);

3. (x₁+x₂)x₃+(x₃+x₄)(x₁+x₃x₄);

4. (x₁+(x₁x₂x₃+x₃));

5. x₁x₂+(x₂x₃+x₁+x₂x₃);

6. (x₁x₂)(x₁x₃+(x₃¬x₄));

7. x₁x₃+(x₁x₂+x₁x₃)+x₂x₃x₄(x₁+x₁x₂x₃);

8. (x₁x₂)x₃+(x₁x₃)x₂;

9. (x₁x₂)/x₃+(x₂x₃)x₄;

10. ((x₁+x₂+x₃+x₄)(x₁+x₂+x₃+x₄))+(x₁x₃x₄0).

5. Записати в КНФ ФАЛ з попередньої задачі.

6. Для ФАЛ f(x₁, x₂, x₃), заданих у табл. 3.1. (таблиці істинності), записати СДНФ і СКНФ.

Таблиця 3.1

X1	0	0	0	0	1	1	1	1
X2	0	0	1	1	0	0	1	1
X3	0	1	0	1	0	1	0	1
F1	0	1	1	0	0	1	1	0
F2	1	0	0	1	0	1	0	0
F3	1	0	0	0	1	1	0	1
F4	0	1	1	1	0	0	1	1

7. Записати в СДНФ наступні ФАЛ:

1. x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃+x₂x₃;

2. (x₁+x₂)(x₁x₂+x₂x₃);

3. (x₁x₂+x₃x₄)(x₂+x₄)(x₁+x₃+x₄);

4. x₁+x₂+x₃;

5. (x₁+x₂)(x₂+x₃);

6. (x₁x₂x₁)+(x₁+x₂+x₃);

7. x₁(x₂+x₄)+x₁(x₁+x₃);

8. x₂(x₁x₄+x₃x₄)+x₁[x₃(x₂+x₄)+x₂x₃x₄]+x₁x₂(x₃+x₄).

8. Записати в СКНФ ФАЛ із задачі 6.

9. Записати СДНФ і СКНФ ФАЛ задачі 3.

10. Записати в СДНФ і СКНФ ФАЛ, задані в цифровій формі:

1. f(x₁,..., x₄) = (0, 1, 3, 5, 9, 12, 14);

2. f(x₁,..., x₄) = (1, 4, 6, 8, 10, 13, 15);

3. f(x₁,..., x₄) = (0, 2, 5, 7, 8, 10, 11, 14);

4. f(x₁,..., x₄) = (1, 3, 4, 7, 9, 12, 13, 15);

5. f(x₁,..., x₄) = (2, 5, 7, 9, 12, 14, 15);

6. f(x₁,..., x₄) = (1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 14);

7. f(x₁,..., x₄) = (3, 4, 6, 9, 11, 13, 14, 15);

8. f(x₁,..., x₄) = (2, 5, 8, 10, 12, 13, 14).

11. По заданих СДНФ знайти СКНФ наступних ФАЛ:

1. f(x₁, x₂, x₃) = x₁x₂x₃+ x₁x₂x₃+x₁x₂x₃+x₁x₂x₃;

2. f(x₁, x₂, x₃) = x₁x₂x₃+x₁x₂x₃+x1x₂x₃;

3. f(x₁, x₂, x₃) = x₁x₂x₃+x₁x₂x₃;

4. f(x₁, x₂, x₃) = x₁x₂x₃+x₁x₂x₃+x₁x₂x₃+x₁x₂x₃.

12. Показати, що якщо в СДНФ знак  скрізь замінити на знак , то вийде формула, еквівалентна вихідної. Чи справедливо аналогічне твердження для довільної ДНФ?

3. Булєва алгебра

Задачі

1. Методом перебору довести справедливість основних законів алгебри логіки (властивості 1-18).

2. Методом перебору довести, що всі елементарні ФАЛ можуть бути виражені через операції {, , } у такий спосіб:

1. x₁x₂ = x₁+x₂;

2. x₁x₂ = x₁x₂ (жоден із засобів);

3. x₁~x₂ = x₁x₂+x₁x₂ = (x₁+x₂) (x₁+x₂);

4. x₁x₂ = x₁x₂+x₁x₂ = (x₁+x₂)(x₁+x₂);

5. x₁/x₂ = (x₁x₂) = x₁+x₂;

6. x₁x₂ = (x₁+x₂)= x₁x₂.

3. Довести наступні тотожності аналітично і методом перебору:

1. x₁+x₁x₂ = x₁+x₂;

1. x₁(x₁+x₁x₂ ) = x₁;

2. (x₁ + x₁x₂)(x₁+x₁+x₂)= x₁+x₂;

3. x₁(x₁+x₁x₂ )(x₁+x₂x₂) = 0;

4. x₁+x₁x₂+x₁(x₁+x₂)+x₁(x₁+x₂) = 1;

5. (x₁+x₁)(x₂+x₂)(x₃+x₃) = 1.

4. Чи справедливі комутативний, асоціативний і дистрибутивний закони стосовно наступних логічних операцій:

1. еквівалентність;

2. сума по модулі 2 (нееквівалентність);

3. стрілка Пірса;

4. штрих Шеффера;

5. імплікація;

6. зворотна імплікація (заборона).

5. Асоціативний закон для операцій /,  несправедливий. Чи мають місце співвідношення, схожі з асоціативним законом?

1. x₁x₂x₃ = (x₁x₂) x₃ = x₁(x₂x₃);

2. x₁x₂x₃x₄ = (x₁x₂)(x₃x₄);

3. x₁/x₂/x₃ = (x₁/x₂)/x₃ = x₁/(x₂/x₃);

4. x₁/x₂/x₃/x₄ = (x₁/x₂)/(x₃/x₄).

6. Чи зв'язані між собою співвідношеннями, що подібні з законом інверсії, операції /, , а також , ¬?

1. (x₁x₂₎ = x₁/x₂;

2. (x₁/x₂₎ = x₁x₂;

3. (x₁x₂₎ = x₁¬x₂;

4. (x₁¬x₂₎ = x₁x_2.

7. Довести наступні тотожності:

1. (x₁x₂) = x₁+x₂;

2. (x₁/x₂) = x₁x₂;

3. x₁/(x₂x₃) = (x₁x₂)(x₁x₃);

4. x₁x₂x₁x₂ = x₁+x₂;

5. x₁~x₂ = (x₁x₂);

6. x₁x₂ = (x₁~x₂).

8. Довести справедливість співвідношень:

1. (x₁¬x₂) = x₁+x₂;

2. (x₁x₂) = x₁ x₂;

3. x₁x₂x₁ = x₁;

4. x₁¬x₂¬x₁ = x₁

5. x₁x₂ = x₁+x₂;

6. x₁ ¬x₂ = x₁x₂.

9. Перевірити, чи справедливі наступні співвідношення:

1. x₁+(x₂~x₃) = (x₁+x₂)~(x₁+x₃);

2. x₁(x₂~x₃) = (x₁x₂)~(x₁x₃);

3. x₁(x₂~x₃) = x₁x₂~x₁x₃;

4. x₁(x₂x₃ ) = (x₁x₂)(x₁x₃);

5. x₁(x₂x₃) = (x₁x₂)(x₁x₃).

10. Визначити значення ФАЛ а) на непарних номерах наборів (1,3,5,…); b)на парних номерах наборів (0,2,4,…):

1. f(x₁,x₂,x₃)={[x₁(x₂x₃/x₂)]¬x₁}+x₃x₂;

2. f(x₁,x₂,x₃)=((x₁~x₂)[(x₂x₃)(x₁x₂)]);

3. f(x₁,x₂,x₃)={[(x₁~x₃)+(x₁x₂)](x₁x₂)}x_3;

4. f(x₁,x₂,x₃)=[x₁(x₁x₃+x₁x₃)(x₂+x₃)]+x₁x₃;

5. f(x₁,x₂,x₃)=x₁(x₁+x₂)(x₁+x₃)(x₁+x₃)(x₂+x₃);

6. f(x₁,x₂,x₃,x₄)={(1¬x₁)/[x₃+(x₄¬x₂)]}+(x₂x₂x₃);

7. f(x₁,x₂,x₃,x₄)=x₁x₂[(x₃x₄)+(x₁x₃)];

8. f(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅)=(x₁+x₂+x₃)[x₁x₂x₄+(x₁+x₂+x₄)x₅];

9. f(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅)=(x₁x₅)[(x₂x₄x₁x₂x₃)/(x₃+x₁x₄)]...

11. Виразити усі функції із задачі № 10 тільки через операції {, , }.

12. Записати вирази для функції, інверсної f (x₁,x₂,x₃) , якщо f(x₁, x₂, x₃) = x₁x₃+x₂x₃+x₁x₃.

13. Записати інверсні вирази для функцій задачі № 10.

14. Перевірити, не користуючись методом перебору, чи справедливі наступні рівності:

1. (x₁+x₂+x₃)(x₁+x₂+x₃)(x₁+x₂+x₃)(x₁+x₂+x₃)= x₁;

2. x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃ = x₁x₂+x₂x₃ +x₁x₃;

3. x₁x₂x₃+x₁x₂x₃+x₁x₂x₃+x₁x₂x₃ = x₁;

4. x₂x₃+x₁x₂x₄+x₁x₃ = x₂x₃+x₁x₃;

5. x₁x₂+x₁x₂+x₂x₃ = x₁x₂+x₁x₂+x₁x₃;

6. x₁x₂+x₃x₄+x₁x₂x₃x₄+x₁x₂x₃x₄ = (x₁+x₄)(x₂+x₃).

15. Використовуючи основні закони алгебри логіки спростити наступні вирази:

1. x₁+x₂+(x₁+x₃)(x₂+x₄);

2. (x₁+(x₁x₂x₃+x₃₎₎;

3. x₁x₃+(x₁x₂+x₁x₃₎+x₂x₃x₄(x₁+x₁x₂x₃);

4. x₁x₂+(x₂x₃+x₁+x₂x₃)+(x₁+x₂);

5. {[(x₁~x₃)(x₁x₂)](x₁x₂)}x₃

6. ((x₁~x₂)[(x₂x₃)(x₁x₂)].

16. Застосувавши теореми підстановок, спростити вирази:

1. x₃+x₄+x₁[(x₂+x₃+x₁x₃x₄)+x₂(x₁+x₄)+x₃x₄];

2. x₁+(x₁+(x₁x₂x₃+x₃));

3. x₁x₂+x₂(x₁+x₂x₃+x₂x₃);

4. (x₁+x₃x₄)(x₂+x₃)+x₃+x₄;

5. x₁+x₃+(x₁x₂+x₁x₃)+x₂x₃x₄(x₁+x₁x₂x₃);

6. (x₁x₂x₃₎[(x₁x₂)+(x₂x₃)];

7. x₁+x₁x₂+x₁x₂x₃+x₁x₂x₃x₄+_… ;

8. (x₅+x₆)[x₁(x₂+x₃)+(x₃1)(x₅/x₇)+(x₂+x₃)(x₅¬x₃)];

9. {[(x₁+x₂x₃+x₁x₂x₃) ¬x₃]+x₄}x₅+x₅(x₂x₃);

10. ((x₁x₂+x₃)(x₁+x₂)x₃)0.

4. Булєва алгебра множин

Задачі

1. Для безлічей А, В і деякого універсума U = {a, b, c, d, e, f} визначити відповідні їм двоїчні вектори V₁, V₂, V, знайти порозрядні диз'юнкцію V₃, кон’юнкцію V₄, два заперечення V₅, V₆, додавання по модулі «2» V₇, дві заборони імплікації V₈, V₉:

1. A = {a, b, d}; B = {a, b, c, d};

2. A = {a, b, c, d, e}; B = {a, e, c};

3. A = {c, d, e}; B = {a, c};

4. A = {a, b, d, e}; B = {a, b, c, d};

5. A = {{a, b, c, d}}; B = {a, b, c, e};

2. Для безлічей А, В і універсума U задачі 1 знайти об'єднання, перетинання, два доповнення, симетричну різницю, дві різниці і визначити відповідні їм двоїчні вектори V₃’, V₄’, V₅’, V₆’, V₇’, V₈’, V₉’. Порівняти отримані двоїчні вектори V₃’, V₄’, V₅’, V₆’, V₇’, V₈’, V₉’ з векторами V₃, V₄, V₅, V₆, V₇, V₈, V₉ задачі 1.

5. Алгебра Жегалкіна

Задачі

1. Перевести задані булєві функції в алгебру Жегалкіна:

   1. елементарні ФАЛ двох перемінних;

   2. x₁+x₂+x₃;

   3. x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃;

   4. (x₁x₂+x₁x₂)x₃;

   5. x₁x₂(x₂x₃);

   6. x₁x₂+x₂x₃+x₃x₄+x₄x₁;

   7. (1010, 1010, 0110, 1000);

   8. (1010, 0110, 1001, 0110);

   9. (x₁x₂)x₃+(x₁x₃)x₂;

   10. (x₁x₂)/x₃+(x₂x₃)x₄;

   11. ((x₁+x₂+x₃+x₄)(x₁+x₂+x₃+x₄))+(x₁x₃x₄0).

2. Спростити вираження, використав властивості алгебри Жегалкіна:

   1. x₁x₂(x₂x₃);

   2. 1(x₁x₂)x₃(x₁x₃)x₂;

   3. xyyzxzz;

   4. 1x₁x₁x₂x₂x₂x₃;

   5. (1x₁)(1x₂)(1x₃)(1x₄);

   6. 1(1x₁x₂x₃)(x₂x₃x₁x₄);

   7. (x₁x₂x₃x₄)((1x₁)(1x₂)(1x₃)(1x₄)).

3. Представити отримані в задачі 2 вирази в поліноміальній формі.

4. Перевести вирази з алгебри Жегалкина в булеву алгебру.

   1. 1x₁x₂(1x₂x₃);

   2. 1(x₁x₂)(1x₃)(x₁x₃)x₂;

   3. xyzxyyzxzxyz;

   4. 1x₁x₁x₂x₂x₂x₃x₃x₁x₃;

   5. (1x₁)(1x₂)(1x₃)(1x₄);

   6. 1(1x₁x₂x₃)(1(1x₂x₃)x₁x₄);

   7. x₁x₂x₃x₄.

6. Типи булєвих функцій

Задачі

2. Визначити всі елементарні ФАЛ, що належать класам P₀ і P₁.

2. Визначити, чи є задані булєві функції лінійними:

1. елементарні ФАЛ двох перемінних;

2. x₁+x₂+x₃;

3. x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃;

4. (x₁x₂+x₁x₂)x₃;

5. x₁x₂(x₂x₃);

6. x₁x₂+x₂x₃+x₃x₄+x₄x₁;

7. (1010, 1010, 0110, 1000);

8. (1010, 0110, 1001, 0110).

2. Визначити, які з елементарних ФАЛ є монотонними.

3. Визначити, які з приведених ФАЛ є монотонними:

1. xy+xz+xz;

2. x(xy);

3. (x+y)~(xy);

4. xy(xy);

5. xyyzxzz;

6. (00110111);

7. (0001010101010111).

2. Довести, що для кожної монотонної ФАЛ, відмінної від конституенти, існують ДНФ і КНФ, не утримуючі заперечень перемінних.

3. Чи є функція f₂ двоїстою до функції f₁, якщо:

1. f₁ = xy; f₂ = x~y;

2. f₁ = xy; f₂ = yx;

3. f₁ = xy+xz+yz; f₂ = xyxzyz;

4. f₁ = xyz; f₂ = xy+z;

5. f₁ = xyz+x(y~z); f₂ (x, y, z)= (01101101).

2. Які з приведених функцій є самодвоїстими?

1. xy+xz+yz;

2. (x+y+z)t+xyz;

3. (0001001001100111);

4. x₁x₂... x_2m+1 b; b{0,1}.

7. Функціональна повнота

Задачі

1. Нехай Т - деяка безліч ФАЛ. Обґрунтувати властивості замикання:

1. [[T]] = [T];

2. якщо T₁  T_2, то [T₁]  [T₂];

3. [T₁ T₂]  [T₁]  [T₂];

4. [] = .

1. Довести чи спростувати:

1. перетинання ф.з.класів є ф.з.класом;

2. об'єднання ф.з.класів є ф.з.класом;

3. різниця ф.з.класів є ф.з.класом;

4. доповнення ф.з.класу (тобто сукупність функцій, у нього не вхідних) не є ф.з.класом;

5. сукупність функцій, подвійних функціям з ф.з.класу, утворить ф.з.клас.

1. Які з зазначених систем ФАЛ є функціонально замкнутими класами?

1. функції однієї перемінної;

2. функції двох перемінних;

3. усі ФАЛ;

4. монотонно убутні функції;

5. функції, що зберігають і нуль, і одиницю;

6. функції, що зберігають нуль, або зберігають одиницю.

1. Використовуючи критерій функціональної повноти (теорема Поста), з'ясувати повноту наступних систем ФАЛ:

1. x/y;

2. xy;

3. x, 1;

4. xy, x;

5. x+y, x;

6. xy, xy;

7. xy+yz+xz, x;

8. xy, x+y;

9. xy, x+y.

1. Показати неповноту наступних систем ФАЛ і зробити висновки про істотність умов теореми Поста:

1. 0, xy, xyz;

2. 1, x+y, xyz;

3. xy+xz+yz;

4. 0, 1, xy;

5. 0, 1, xy.

1. Довести, що жоден із класів P₀, P₁, L, M, S не міститься в іншому.

2. Довести, що усякий власний функціонально замкнутий клас міститься в одному з класів P₀ , P₁ ,L, M, S.

3. Довести, що ф.з.класи P₀ , P₁ ,L, M, S є передповними й інших передповних класів немає.

4. Довести, що базис не може містити більш чотирьох функцій.

5. Використовуючи теорему Поста, з'ясувати чи повна система Ф0:

1. Ф₀ = {(01101001), (10001101), (00011100)};

2. Ф₀ = (S\M)(L\(P₀P₁));

3. Ф₀ = (SM)(L\M)(P₀\S);

4. Ф₀ = (M\(P₀P₁))(L\S).

1. Виразити всі елементарні ФАЛ через наступні функції, що утворять функціонально повну систему:

1. стрілку Пірса;

2. штрих Шеффера;

3. інверсію, кон’юнкцію;

4. інверсію, диз'юнкцію;

5. кон’юнкцію, суму по mod 2, константу 1;

6. імплікацію, константу 0.

8. Логічні перемикальні схеми

Задачі

1. Для заданих формул булєвих функцій і формул, отриманих із заданих у результаті перекладу в булєв базис, довільної (по властивостях 1-18) мінімізації, синтезувати логічні схеми й оцінити їх по складності:

1. [(x₂x₁)~x₃]+(x₄ /x₁);

2. (x₁~(x₂+x₃))(x₁x₄);

3. (x₁+x₂)x₃+(x₃+x₄)(x₁+x₃x₄);

4. (x₁+(x₁x₂x₃+x₃));

5. x₁x₂+(x₂x₃+x₁+x₂x₃);

6. (x₁x₂)(x₁x₃+(x₃¬x₄));

7. x₁x₃+(x₁x₂+x₁x₃)+x₂x₃x₄(x₁+x₁x₂x₃);

8. (x₁x₂)x₃+(x₁x₃)x₂;

9. (x₁x₂)/x₃+(x₂x₃)x₄;

10. ((x₁+x₂+x₃+x₄)(x₁+x₂+x₃+x₄))+(x₁x₃x₄0).

2. Перевести формулу ((x₂x₁)~x₃)(x₄x₁) у заданий базис і синтезувати в ньому логічні схеми:

1. {, };

2. {, };

3. {, 0};

4. {, };

5. {, 1, };

6. {};

7. {/}.

3. Виконати аналіз заданих на рис. 3.1. логічних схем, визначити відповідні логічні формули:

a b

c d

Рис. 3.1. Довільні логічні схеми

4. Виконати мінімізацію отриманих у задачі 3 логічних формул, синтезувати для мінімізованих формул нові логічні схеми.

5. Виконати канонічний синтез логічних схем для формул задачі 1, оцінити їх за складністю способом, використаним раніше.

6. Побудувати логічні схеми і відповідні їм графи для МДНФ і МКНФ булєвих функцій (входи і виходи можна позначати як х₀₁, х₀₂, y₀₁ і т.д.):

1. f(x₁, x₂, x₃) = (0, 2, 3, 4);

2. f(x₁, x₂, x₃) = (0, 2, 3, 4, 5, 7);

3. f(x₁, x₂, x₃, x₄) = (1, 4, 5, 6, 12, 13, 14).

9. Мінімізація булевых функцій

Задачі

1. Виконати графічну мінімізацію заданих на рис.3.2. булєвих функцій від трьох перемінних, вважаючи виділені вершини конситуентами одиниці.

2. Виконати графічну мінімізацію заданих у задачі 2 булєвих функцій, вважаючи виділені вершини конституентами нуля.

3. Виконати графічну мінімізацію заданих за допомогою формул:

1. x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃+x₂x₃;

2. (x₁+x₂)(x₁+x₂)(x₂+x₃);

3. (x₁+x₃)(x₂+x₄)(x₁+x₃+x₄);

4. x₁+x₂+x₃;

5. x₁+x₂+x₃x₄;

6. (x₁+x₂)(x₂+x₃);

7. x₁x₂x₁+x₂x₃x₄;

8. x₁(x₂+x₄)x₂(x₁+x₃);

9. x₂(x₁+x₂+x₃+x₄)x₁x₃(x₂+x₄)₂x₃(x₁+x₂)(x₃+x₄).

ab

с d

Рис. 3.2. Графічне завдання булевых функцій

4. Виконати мінімізацію заданих булєвих функцій від трьох перемінних для ДНФ і КНФ за допомогою карт Карно:

a

Таблиця 3.2

x1,x2 x3	00	01	11	10
0	1			1
1		1		1

b

Таблиця 3.3

x1,x2 x3	00	01	11	10
0	0
1	0	0	0	0

c

Таблиця 3.4

x1,x2 x3	00	01	11	10
0	1		1	1
1		1	1

d

Таблиця 3.5

x1,x2 x3	00	01	11	10
0	0	0	0
1		0	0

5. Виконати мінімізацію булєвих функцій від чотирьох перемінних, для ДНФ і КНФ за допомогою карт Карно:

a

Таблиця 3.6

x1,x2 x3x4	00	01	11	10
00			1
01		1	1	1
11	1	1		1
10	1			1

b

Таблиця 3.7

x1,x2 x3x4	00	01	11	10
00	1		1	1
01		1	1
11	1	1
10	1			1

c

Таблиця 3.8

x1,x2 x3x4	00	01	11	10
00			0	0
01	0		0	0
11	0	0
10	0		0	0

d

Таблиця 3.9

x1,x2 x3x4	00	01	11	10
00	0		0
01	0	0	0	0
11	0	0	0	0
10				0

6. Виконати мінімізацію заданих чисельним методом булєвих функцій для ДНФ за допомогою методів Квайна-MакКласки і Петріка, застосувавши метод Петріка до скороченої таблиці покрить:

1. (0, 2, 3, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15);

2. (0, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15);

3. (2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13);

4. (0, 2, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 15);

5. (0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 13).

7. Вирішити задачу 6 для КНФ тих же булєвих функцій, заданих чисельним методом, за допомогою методів Квайна-МакКласки і Петріка, застосувати метод Петріка до скороченої таблиці покрить:

1. (1, 4, 5, 8, 9, 14);

2. (1, 3, 7, 11, 13);

3. (0, 1, 4, 6, 9, 14, 15);

4. (1, 3, 4, 6, 9, 12);

5. (1, 3, 10, 11, 12, 14, 15).

8. Застосувати метод Петріка до таблиць покрить задач 6, 7, обґрунтувати доцільність його використання для скорочених таблиць покрить.

9. Виконати мінімізацію заданих у задачі 6 булєвих функцій методом Блейка-Порецького для ДНФ.

10. Виконати мінімізацію заданих у задачі 7 булєвих функцій методом Блейка-Порецького для КНФ.

11. Порівняти ціни по Квайну МДНФ і МКНФ, отриманих у задачах 6 і 7 (чи 9 і 10, тому що результати повинні бути тотожні). Виконати аналітичне перетворення МДНФ у МКНФ і навпаки, переконавши в тотожності формул і правильності виконання мінімізації.

12. Виконати графічну мінімізацію заданих на рис. 3.3. частково визначених булєвих функцій від трьох перемінних, вважаючи світлі виділені вершини відповідними конституентам одиниці, а темні виділені вершини – байдужним наборам.

a b

Рис. 3.3. Графічне завдання частково визначених булєвих функцій

13. Виконати графічну мінімізацію заданих на рис. 3.3. частково визначених булєвих функцій від трьох перемінних, вважаючи світлі виділені вершини відповідними конституентам нуля, а темні виділені вершини – байдужним наборам.

14. Виконати мінімізацію заданих часткових булєвих функцій від чотирьох перемінних за допомогою карт Карно:

a

Таблиця 3.10

x1,x2 x3x4	00	01	11	10
00	х		1	х
01		1	1	1
11	1	Х		Х
10	1			1

b

Таблиця 3.11

x1,x2 x3x4	00	01	11	10
00	0		0	х
01		Х	0	Х
11		0		Х
10	Х	0		0

15. Виконати мінімізацію заданих чисельним методом часткових булєвих функцій для ДНФ за допомогою методів Квайна-МакКласки і Петріка, застосувавши метод Петріка до скороченої таблиці покрить:

1. (0, 2, 3, 6, 7, 10, 11, 12, 13), (8, 14, 15);

2. (0, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14), (7, 11, 15);

3. (2, 3, 5, 8, 10, 11, 12, 13), (1, 7, 9);

4. (2, 5, 8, 10, 11, 14, 15), (0, 7, 13).

16. Вирішити задачу 15 для КНФ тих же часткових булєвих функцій, заданих чисельним методом, за допомогою методів Квайна-МакКласки і Петріка, застосувати метод Петріка до скороченої таблиці покрить:

1. (1, 4, 5, 9), (8, 14, 15);

2. (1, 3, 13), (7, 11, 15);

3. (0, 4, 6, 14, 15), (1, 7, 9);

4. (1, 3, 4, 6, 9, 12), (0, 7, 13).

17. Виконати мінімізацію заданих у задачі 15 часткових булєвих функцій методом Блейка-Порецького для ДНФ.

18. Виконати мінімізацію заданих у задачі 16 часткових булєвих функцій методом Блейка-Порецького для КНФ.

19. Порівняти ціни по Квайну для МДНФ і МКНФ, отриманих у задачах 15 і 16 (чи 17 і 18, тому що результати повинні бути тотожні). Виконати аналітичне перетворення МДНФ у МКНФ і навпаки, переконавши в необов'язковій тотожності формул, пояснити причину нетотожності.

10. Логіка предикатів

Задачі

1. На безлічі натуральних чисел визначені предикати P(x) = «число х поділяється на 8» і Q(x) = «х – парне число». Необхідно визначити наступні висловлення і з'ясувати які з них щирі:

   1. xP(x);

   2. xP(x);

   3. xQ(x);

   4. x(Q(x));

   5. x(Q(x));

   6. x(P(x)Q(x));

   7. x(Q(x)P(x));

   8. x(Q(x)P(x)).

2. Нехай Х – безліч прямих на площині. На цій безлічі визначені предикати R(x, y) = «пряма х перетинається з прямой у», S(x, y) = «пряма х рівнобіжна прямої у», причому х,уХ. Необхідно визначити наступні висловлення і з'ясувати які з них щирі:

   1. xyR(x, y);

   2. xy(S(x, y));

   3. xy(R(x, y)(S(x, y)));

   4. xy(R(x, y)S(x, y)).

3. На безлічі натуральних чисел визначені предикати P(x) = «число х - просте» і Q(x) = «х – парне число», R(x, y) = «х не дорівнює y». Необхідно перевести на розмовну мову формулу:

x(P(x)Q(x))x(P(x)Q(x)y(R(x, y)P(y)Q(y))).

4. Записати формули логіки предикатів для приведених тверджень:

   1. «Кожен студент чи вивчає англійську мову, чи німецьку, чи французьку»;

   2. «Деякі лабораторні стенди укомплектовані осцилографами»;

   3. «Не всі комп'ютери працюють добре»;

   4. «Жоден процесор не виявився забракованим»;

   5. «Усі студенти, що виконали завдання, здали залік».

5. Граф G = (V, E) визначається завданням непорожньої безлічі вершин V, безлічі ребер Е і тримісного предиката P(x, e, y) = «ребро е з'єднує вершини х и у», що визначений на всіх упорядкованих трійках (x, e, y), причому х, уV і еЕ (для орграфа х вважається початкової вершиною дуги е, а y – кінцевою вершиною дуги е). Необхідно визначити предикати, що задають твердження:

   1. «Підмножина дуг орграфа, що виходять з вершини а»;

   2. «Підмножина дуг орграфа, що входять у вершину а»;

   3. «Підмножина ребер графа, інцидентних вершині а»;

   4. «Підмножина ребер графа, що з'єднує вершини а і b».

6. Відповідно до визначень графів із задачі 5 необхідно визначити висловлення для предикатів, показати, що для кожного е істинно одне і тільки одне з них, і назвати в термінології графів підмножини безлічі Е, що відповідають цим висловленням:

   1. x, y(xyP(x, e, y)(P(y, e, x)));

   2. x(P(x, e, x));

   3. x, y(xyP(x, e, y)(P(y, e, x))).

3. ГРАФИ

   1. Основні визначення і способи представлення графів

Задачі

1. Для графа G₁ (рис. 4.1.) виконати наступні дії:

   1. визначити тип і записати відношення, що задається графом;

   2. визначити ступені усіх вершин;

   3. записати за допомогою предикатів умови однорідності графа;

   4. визначити, чи є граф однорідним, якщо ні – зробити таким;

   5. записати матрицю суміжності графа.

Рис. 4.1. Граф G₁

Рис. 4.2. Граф G₂

2. Для графа G₂ (рис. 4.2.) виконати наступні дії:

   1. визначити тип і записати відношення, що задається графом;

   2. визначити ступені і напівступені усіх вершин;

   3. записати матриці суміжності та інцидентності графа.

3. Для заданих матриць (табл. 4.1., 4.2.) суміжності графа G₃ виконати наступні дії:

Таблиця 4.1

	x1	x2	x3	x4	x5	x6
X1	1	1	1
X2	1		1	1
X3	1	1		1
X4		1	1		2	2
X5				2	1
X6				2		1

Таблиця 4.2

	x1	x2	x3	x4	x5
X1				1	1
X2	1		1
X3		1		1
X4	1				1
X5		1

1. побудувати графи, що відповідають заданим матрицям суміжності;

2. визначити їхній тип, записати за допомогою формул логіки предикатів вираження для ступенів вершин;

3. побудувати матрицю інцидентності.

1. Для заданого відношення  = (M, P), де М = (1, 2, 3, 4) і Р = М²\E_m, побудувати орграф і записати матрицю інцидентності.

2. По матриці інцидентності графа побудувати матрицю суміжності і графічне представлення графа.

3. Для заданого графа G₄ (рис. 4.3.) виконати наступні дії:

   1. знайти маршрут довжини 5 і 8 між вершинами х₁ і х₄;

   2. визначити всі ланцюги і всі прості ланцюги між вершинами х₁ і х₄;

   3. визначити всі прості цикли;

   4. визначити ейлерові і гамільтонові цикли і побудувати відповідні матриці суміжності.

Рис. 4.3. Граф G₄

7. За допомогою формул логіки предикатів записати умову, при якій граф є двочастковим, показати, що будь-яке дерево можна представити у виді двочасткового графа.

8. Дається множина фактор-безлічей, визначити тип графа і ступені його вершин, а також побудувати графічне представлення.

F_G = ({x₂, x₃, x₄}, {x₄, x₅}, {x₄}, {}, {x₃, x₄, x₅}).

9. Дається множина прообразів вершин відповідності Г^-1 графа, визначити тип графа, ступені вершин, побудувати графічне представлення.

P = ({x₅}, {x₁, x₂}, {x₂}, {x₁, x₂}, {x₄}, {x₃, x₄})

10. Побудувати подграф G' графа G, заданого матрицею інцидентності (табл. 4.3., у вершини х₁ петля v1):

Таблиця 4.3

	v1	V2	v3	V4	v5	v6	v7	V8
x1		1	1
x2			1	1	1
x3		1		1		1	1
x4					1	1		1
x5							1	1

1. на безлічі ребер;

2. на безлічі вершин X’ = {x₁, x₃, x₄}.

1. Показати, що для довільного простого графа G = (Х, Г), що містить n вершин, справедлива рівність 2|Г| = _і=1ⁿ(хі). Перевірити, чи виконується дана рівність для мульти і псевдо графів.

2. Визначити умови існування і привести приклад графа, що містить:

   1. ейлерів цикл;

   2. гамільтонов цикл;

   3. гамільтонов цикл, але не ейлерів цикл;

   4. ейлерів цикл, але не гамільтонов цикл.

2. Теоретико-множинні операції над графами

Задачі

1. Графи G і H задані множинами фактор-безлічей F_G = ({x₂}, {x₂, x₃}, {}) і F_H = ({x₂}, {x₁}), необхідно визначити:

   1. GH, GH;

   2. G, H;

   3. G\H, H\G;

   4. GH, GH.

2. Графи G, H і P задані множинами фактор-безлічей F_G = ({x₂, x₃}, {x₃}, {}), F_H = ({x₁}, {x₁, x₂}) і P = ({x₁}, {x₂}, {x₃}), необхідно визначити:

   1. G\H, H\G;

   2. G\PH;

   3. (PH)\(GH);

   4. (PH)(G\H).

3. Для графів G і H, заданих множинами фактор-безлічей F_G = ({x₁, x₂}, {x₂}) і F_H = ({y₁}, {y₁, y₂}), побудувати граф, рівний:

   1. декартовому добутку;

   2. композиції.

4. Для графів G, H і P, заданих матрицями суміжності (відповідно табл. 4.4., 4.5. і 4.6.), побудувати матрицю суміжності графа, рівного:

   1. GH, GH;

   2. G, H;

   3. G\H, H\G, G\P, P\H;

   4. (G\P)(GH);

   5. (GH)(PG).

Таблиця 4.4

	x1	x2	x3
x1		1	1
x2
x3	1	1	1

Таблиця 4.5

	x1	x2	x3	X4
x1	1		1
x2				1
x3	1
x4		1

Таблиця 4.6

	X1	x2	x3	x4
x1	1	1
x2			1
x3	1	1		1
x4		1	1

5. Для графів G і H, заданих матрицями інцидентності (відповідно табл. 4.7. і 4.8., дуги, що з'єднують однойменні вершини в різних графах, мають однакове позначення), побудувати матрицю інцидентності результуючого графа, рівного:

   1. GH, GH;

   2. G, H;

   3. G\H, H\G;

   4. (GH), (GH).

Таблиця 4.7

	v1	v2	v3	v4	v5	V6
X1	1	-1			-1	1
X2	-1	1	1	1
X3			-1	-1	1	-1

Таблиця 4.8

	v1	v2	V3
x1	1		1
x2	-1	-1
x3		1	-1

6. Для графів G і H, заданих матрицями суміжності (відповідно табл. 4.9. і 4.10.), побудувати матрицю суміжності результуючого графа, який дорівнює:

   1. декартовому добутку;

   2. композиції.

Таблиця 4.9

	x1	x2	X3
x1	1		1
x2		1
x3		1

Таблиця 4.10

	x1	x2	X3
x1		1
x2		1	1
x3	1

1. Для графів G і H задачі 6, заданих матрицями суміжності і (відповідно табл. 4.9. і 4.10.), розробити блок-схеми і написати програми виконання операцій:

   1. GH, GH;

   2. G, H;

   3. G\H, H\G;

   4. (GH);

   5. (GH)(GH).

2. Для графів G і H, заданих множинами фактор-безлічей F_G = ({x₁, x₂}, {x₂}) і F_H = ({y₁}, {y₁, y₂}), розробити блок-схеми і написати програми виконання операцій:

   1. декартового добутку;

   2. композиції.

3. Чисельні характеристики графів

Задачі

1. Визначити формулу, за якою через число вершин обчислюється ступінь вершини повного графа.

2. Визначити формулу, за якою через число ребер обчислюється ступінь вершини повного графа.

3. Визначити мінімальний ступінь вершини потужнозв’язаного орієнтованого графа.

4. Визначити максимальний ступінь вершини однорідного слабозв’язаного орієнтованого графа.

5. Визначити цикломатичне число для графів, заданих матрицями суміжності (табл. 4.11., 4.12., 4.13.):

Таблиця 4.11

	x1	x2	x3	x4
x1		3
x2	3
x3				2
x4			2

Таблиця 4.12

	x1	x2	x3	x4
x1		3	1
x2	3			1
x3	1			1
x4		1	1	1

Таблиця 4.13

	x1	x2	x3	x4
x1		2		1
x2	2			1
x3				1
x4	1	1	1	1

1. Визначити формулу, за якою обчислюється цикломатичне число повного графа як (G) = f(n), де n – число вершин графа.

2. Визначити хроматичне число графів, заданих множинами фактор-безлічей:

   1. F_G1 = ({x₂, x₃}, {x₁, x₄}, {x₁, x₄, x₅}, {x₂, x₃, x₅}, {x₃, x₄});

   2. F_G2 = ({x₁, x₄}, {x₃, x₄}, {x₁, x₂, x₅}, {x₃, x₄});

   3. F_G3 = ({x₂, x₃}, {x₁, x₃, x₄}, {x₁, x₂, x₅}, {x₂, x₅, x₆}, {x₃, x₄, x₆}, {x₄, x₅}).

3. Визначити хроматичне число графів G1, G2, G3 (рис. 4.4.):

Рис. 4.4. Графи G1, G2, G3

1. Записати можливі безлічі внутрішньої стійкості для графів, приведених у задачі 7, визначити їхнє число внутрішньої стійкості.

2. Знайти залежності, по яких визначається число внутрішньої стійкості повних графів, однорідних графів, нуль-графів, дерев.

3. Записати можливі безлічі зовнішньої стійкості для графів, приведених у задачі 7, визначити їхнэ число зовнішньої стійкості.

4. Знайти залежності, по яких визначається число зовнішньої стійкості повних графів, однорідних графів, нуль-графів, дерев.