- •Одеса Наука і техніка 2006
- •Розділ 1. Теорія множин і алгебраїчних систем
- •1.1. Основні поняття і завдання множин
- •1.2. Операції над множинами. Формули. Тотожності
- •1.3. Доведення тотожностей. Булева алгебра множин
- •1.4. Узагальнення операцій. Подвійність
- •Спісок літератури: Основна
- •2.1. Рівняння
- •2.2. Покриття і розбивки
- •2.3. Потужність множин. Зчисленні і континуальні множини
- •Список літератури Основна
- •3.1. Упорядковані множини
- •3.2. Графіки
- •Список літератури Основна
- •4.1. Відповідності
- •4.2. Образи і прообрази
- •4.3. Відображення і діаграми
- •Список літератури Основна
- •5.1. Основні поняття відношень
- •5.2. Множинні операції відношень
- •Список літератури Основна
- •6.1. Перестановка, ототожнення, приписування фіктивної координати
- •6.2. Згортка де Моргана, суперпозиція
- •Список літератури Основна
- •7.1. Успадковані властивості відношень
- •7.2. Спеціальні властивості відношень
- •Список літератури Основна
- •8.1. Еквівалентність
- •8.2. Порядок
- •8.3. Толерантність
- •8.4. Квазіпорядок
- •Список літератури Основна
- •9.1. Замикання відношень
- •9.2. Спеціальні функції
- •9.2.1. Підстановки
- •9.2.2. Послідовності
- •9.2.3. Функціонали
- •9.2.4. Функції, що зберігають алгебраїчні властивості
- •9.3. Операції
- •9.3.1. Загальні визначення операцій
- •9.3.2. Властивості операцій
- •Список літератури Основна
- •10.1 Композиція об'єктів
- •10.2. Внутрішній закон композиції
- •11.1 Алгебраїчні системи (моделі)
- •11.2. Групи підстановок і кільце множин
- •Розділ II. Комбінаторика
- •12.1. Вибірка елементів
- •12.2. Правило суми і добутку
- •12.3. Перестановки
- •12.4. Сполучення
- •12.5. Рекурентні співвідношення
- •12.6. Біном Ньютона
- •Список літератури Основна
- •13.1. Поліноміальні твірні функції
- •13.2. Експонентні твірні функції
- •13.3. Принцип включення і виключення
- •13.4. Розбивки
- •Список літератури Основна
- •Розділ III. Графи
- •14.1. Основні визначення
- •14.2. Способи представлення графів
- •Список літератури Основна
- •15.1. Основні визначення (продовження)
- •15.2. Зважені (відзначені) графи
- •Список літератури Основна
- •16.1. Операції над графуми
- •16.2. Властивості базових операцій над графами
- •Список літератури Основна
- •17.1. Чисельні характеристики графів
- •17.1.1. Ступінь вершин
- •17.1.2. Цикломатичне число
- •17.1.3. Хроматичне число
- •17.1.4. Множина внутрішньої стійкості
- •17.1.5. Множина зовнішньої стійкості
- •17.2. Представлення графів у пам'яті еом
- •Список літератури Основна
- •Розділ IV. Скінченні автомати
- •18.1. Абстрактний автомат
- •18.2. Способи завдання автоматів
- •18.2.1. Табличний спосіб
- •18.2.2. Графічний спосіб
- •18.3. Розширення функцій і
- •Список літератури Основна
- •19.1. Синхронні й асинхронні автомати
- •19.2. Асинхронні автомати, що тактуються
- •19.3. Перетворення автоматів Мілі і Мура
- •19.3.1. Перетворення автомата Мура в автомат Мілі
- •19.3.2. Перетворення автомата Мілі в автомат Мура
- •19.4. Сполучена модель автоматів – с-автомат
- •Список літератури Основна
- •20.1. Композиція автоматів
- •20.1.1. Рівнобіжне з'єднання
- •20.1.2. Послідовне з'єднання двох автоматів
- •20.1.3. З'єднання зі зворотним зв'язком
- •20.2. З'єднання автоматів з вихідною функцією
- •Список літератури Основна
- •21.1. Мережі автоматів
- •21.2. Еквівалентні автомати мережі
- •Список літератури Основна
- •Розділ V. Булева алгебра
- •22.1. Логічні функції
- •22.2. Булеві функції
- •22.3. Логічні формули
- •Список літератури Основна
- •23.1. Способи завдання булевих функцій
- •23.1.1. Табличний спосіб
- •23.1.2. Аналітичний спосіб Нормальні форми
- •23.1.3. Геометричний спосіб
- •23.1.4. Чисельний спосіб
- •23.2. Приведення формул булевої алгебри до досконалої форми
- •Список літератури Основна
- •24.1. Булева алгебра
- •24.2. Спрощення запису формул
- •24.3. Подвійність формул булевої алгебри
- •24.4. Булева алгебра множин
- •Список літератури Основна
- •25.1. Алгебра Жегалкіна
- •25.2. Типи булевих функцій
- •25.3. Функціональна повнота
- •25.4. Логічні (перемикальні) схеми
- •25.5. Канонічна задача синтезу логічних схем
- •Список літератури Основна
- •26.1. Графічний метод мінімізації булевих функцій
- •26.2. Табличний метод мінімізації
- •Список літератури Основна
- •27.1. Аналітичні методи мінімізації
- •27.1.1. Комплекс кубів
- •27.1.2. Постановка задачі
- •27.2. Метод Квайна
- •27.3. Алгебраїчний метод одержання мінімального покриття (алгоритм Петрика)
- •Список літератури Основна
- •28.1. Метод Квайна-МакКласкі
- •28.2. Мінімізація частково визначених функцій
- •Список літератури Основна
- •29.1 Основні визначення
- •29.2 Інтервальне представлення в матричній формі
- •29.3. Спрощення днф за матричною формою Закревського
- •30.1. Формулювання алгоритму побудови максимальних інтервалів для точки
- •30.2. Алгоритм для днф
- •30.3. Метод Блейка
- •31.1. Основні визначення
- •32.2. Використання системи булевих функцій для синтезу кс
- •31.3 Точний метод мінімізації систем булевих функцій Барті-Полянського
- •31.4. Інтуїтивний метод спрощення системи днф за матричною формою
- •32.1. Інтервальне представлення в еом
- •32.2. Основні операції над інтервальним представленням
- •33.1. Використання операцій інтервального представлення
- •33.2. Метричні властивості диз'юнктивної нормальної форми
- •34.1 Булеві рівняння
- •34.2. Булеві нерівності
- •34.3. Спільні системи нерівностей і рівнянь
- •35.1. Властивості булевой різниці
- •35.2. Методи знаходження булевой різниці
- •35.3. Подвійна булева різниця
- •35.4. Булеві похідні й диференціали
- •36.1. Висловлення предикатів
- •36.2. Логіка предикатів
- •36.3. Правила застосування кванторів
- •Список літератури Основна
- •Список літератури
- •Вступ 3
- •1. Теорія множин і алгебраїчних систем 4
- •2. Комбінаторика 65 Лекція 12. Комбінаторика. Базові методи 65
- •3. Графи 78
- •4. Скінченні автомати 101
- •5. Булева алгебра 123 Лекція 22. Булеві функції 123
12.4. Сполучення
Визначимо число r-сполучень з n різних елементів.
r-сполучення з n різних елементів: З кожного такого сполучення можна утворити r! перестановок, тому число r-сполучень з n різних елементів буде в r! раз менше числа r-перестановок з n елементів:
C(n, r) = ==
Приклад. З чотирьох різних об'єктів, що позначаються 1, 2, 3, 4, можна скласти таки шість сполучень по два елементи (n=4, r=2): 12, 13, 14, 23, 24, 34.
Число r-сполучень з n різних елементів позначається через чи. Заміна r на n-r дозволяє одержати C(n,r) = C(n, n-r) чи.
Формулу для числа r-сполучень з необмеженими повтореннями з n елементів можна одержати в такому способі.
r-сполучення з необмеженими повтореннями з n елементів. Кожному сполученню ставиться у відповідність перестановка, у якій всі елементи даного сполучення закодовані одиницями, причому всі різні класи елементів розділяються нулем навіть і у випадку, якщо елементи яких-небудь класів не ввійшли в сполучення.
Приклад. Для сполучення abbce з елементів множині {a,b,c,d,e} перестановка буде 101101001, для сполучення bbbee – перестановка 011100011 і т.д.
Очевидно, перестановка для r-сполучення з n елементів з повтореннями містить r одиниць і n-1 нулів. Шукане число r-сполучень збігається з числом перестановок з обмеженими повтореннями з r+n-1 елементів і специфікацією {r,n-1} відповідно до формули перестановок з r-повтореннями з n різних елементів, що наведена вище. Отже
F(n, r) = == C(r+n-1, r).
Приклад. Число сполучень з повтореннями по 2 з 4 елементів, що позначаються 1, 2, 3, 4, дорівнює C(5,2)=10, що утворюються такими вибірками: 11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 33, 34, 44.
Розглянутий спосіб заснований на заміні однієї множині іншою множиною, елементи яких знаходяться у взаємно однозначній відповідності, і, отже, їхнє число в цих множинах однаково.
12.5. Рекурентні співвідношення
Підрахунок числа перестановок і співвідношень можна визначити за допомогою рекурентних співвідношень, що важливі у комбінаториці.
Рекурентні співвідношення. Множину r-перестановок з n різних елементів можна розбити на два класи так, що перестановки одного з них не містять деякого фіксованого елемента вихідної множині, а всі перестановки іншого класу обов'язково містять цей елемент. Очевидно, перший клас складається з P(n-1, r)-перестановок, а другий – з r(n-1, r-1), тому що фіксований елемент може займати одне з r положень у кожній з P(n-1, r-1) підстановок. Звідси випливає рекурентна формула
P(n, r) = P(n-1, r) + r(n-1, r-1)
Символ P(k, 0), що не має комбінаторного змісту, прийнято вважати дорівнюючим одиниці. P(k, 1) = k для будь-якого цілого додатнього k і P(k, s) = 0 при k < s. Ці співвідношення служать граничними умовами для одержання рекурентного співвідношення. Якщо покласти r = n, маємо: P(n, n) = P(n-1, n) + n(n-1, n-1) = n(n-1, n-1) = n(n-1) P(n-2, n-2) = ... = = n(n-1) ... 21 = n!
Приклад. Рекурентне співвідношення для числа r-сполучень з n різних елементів має вигляд
С(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r), nr,
де другий доданок враховує сполучення, що не містять фіксованого елемента, а перший – усі сполучення з цим елементів. Граничні умови для цього співвідношення C(n, 0) = C(1, 1) = 1 і C(k, s) = 0 при k < s.
Приклад. Якщо розбивати множину r-сполучень з повтореннями з n елементів на дві непересічних підмножини, одна з яких містить всі такі сполучення, що не містять фіксованого елемента, а інша – такі сполучення, що містять цей елемент, одержуємо рекурентне співвідношення
F(n, r) = f(n-1, r) + f(n, r-1)
При цьому n і r безпосередньо не зв'язані між собою і допускаються як nr, так і nr. Граничні умови в цьому випадку наступні
f(n, 1) = n; f(n, o) = f(1, r) = 1.
Застосування рекурентних співвідношень разом із граничними умовами дозволяє обчислити число відповідних вибірок елементів з даної множині. За допомогою цих співвідношень можна вивести формули, отримані раніше для перестановок і сполучень.