Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Diskretnaya_matematika_1.doc
Скачиваний:
197
Добавлен:
10.02.2016
Размер:
11.37 Mб
Скачать

12.4. Сполучення

Визначимо число r-сполучень з n різних елементів.

r-сполучення з n різних елементів: З кожного такого сполучення можна утворити r! перестановок, тому число r-сполучень з n різних елементів буде в r! раз менше числа r-перестановок з n елементів:

C(n, r) = ==

Приклад. З чотирьох різних об'єктів, що позначаються 1, 2, 3, 4, можна скласти таки шість сполучень по два елементи (n=4, r=2): 12, 13, 14, 23, 24, 34.

Число r-сполучень з n різних елементів позначається через чи. Заміна r на n-r дозволяє одержати C(n,r) = C(n, n-r) чи.

Формулу для числа r-сполучень з необмеженими повтореннями з n елементів можна одержати в такому способі.

r-сполучення з необмеженими повтореннями з n елементів. Кожному сполученню ставиться у відповідність перестановка, у якій всі елементи даного сполучення закодовані одиницями, причому всі різні класи елементів розділяються нулем навіть і у випадку, якщо елементи яких-небудь класів не ввійшли в сполучення.

Приклад. Для сполучення abbce з елементів множині {a,b,c,d,e} перестановка буде 101101001, для сполучення bbbee – перестановка 011100011 і т.д.

Очевидно, перестановка для r-сполучення з n елементів з повтореннями містить r одиниць і n-1 нулів. Шукане число r-сполучень збігається з числом перестановок з обмеженими повтореннями з r+n-1 елементів і специфікацією {r,n-1} відповідно до формули перестановок з r-повтореннями з n різних елементів, що наведена вище. Отже

F(n, r) = == C(r+n-1, r).

Приклад. Число сполучень з повтореннями по 2 з 4 елементів, що позначаються 1, 2, 3, 4, дорівнює C(5,2)=10, що утворюються такими вибірками: 11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 33, 34, 44.

Розглянутий спосіб заснований на заміні однієї множині іншою множиною, елементи яких знаходяться у взаємно однозначній відповідності, і, отже, їхнє число в цих множинах однаково.

12.5. Рекурентні співвідношення

Підрахунок числа перестановок і співвідношень можна визначити за допомогою рекурентних співвідношень, що важливі у комбінаториці.

Рекурентні співвідношення. Множину r-перестановок з n різних елементів можна розбити на два класи так, що перестановки одного з них не містять деякого фіксованого елемента вихідної множині, а всі перестановки іншого класу обов'язково містять цей елемент. Очевидно, перший клас складається з P(n-1, r)-перестановок, а другий – з r(n-1, r-1), тому що фіксований елемент може займати одне з r положень у кожній з P(n-1, r-1) підстановок. Звідси випливає рекурентна формула

P(n, r) = P(n-1, r) + r(n-1, r-1)

Символ P(k, 0), що не має комбінаторного змісту, прийнято вважати дорівнюючим одиниці. P(k, 1) = k для будь-якого цілого додатнього k і P(k, s) = 0 при k < s. Ці співвідношення служать граничними умовами для одержання рекурентного співвідношення. Якщо покласти r = n, маємо: P(n, n) = P(n-1, n) + n(n-1, n-1) = n(n-1, n-1) = n(n-1) P(n-2, n-2) = ... = = n(n-1) ... 21 = n!

Приклад. Рекурентне співвідношення для числа r-сполучень з n різних елементів має вигляд

С(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r), nr,

де другий доданок враховує сполучення, що не містять фіксованого елемента, а перший – усі сполучення з цим елементів. Граничні умови для цього співвідношення C(n, 0) = C(1, 1) = 1 і C(k, s) = 0 при k < s.

Приклад. Якщо розбивати множину r-сполучень з повтореннями з n елементів на дві непересічних підмножини, одна з яких містить всі такі сполучення, що не містять фіксованого елемента, а інша – такі сполучення, що містять цей елемент, одержуємо рекурентне співвідношення

F(n, r) = f(n-1, r) + f(n, r-1)

При цьому n і r безпосередньо не зв'язані між собою і допускаються як nr, так і nr. Граничні умови в цьому випадку наступні

f(n, 1) = n; f(n, o) = f(1, r) = 1.

Застосування рекурентних співвідношень разом із граничними умовами дозволяє обчислити число відповідних вибірок елементів з даної множині. За допомогою цих співвідношень можна вивести формули, отримані раніше для перестановок і сполучень.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]