5.2. Множинні операції відношень

Вивчення n-відношень на множинах А₁, А₂, ..., А_n можна зв'язати з вивченням їхніх графіків, тобто підмножин А₁__n. На множини n-відношень поширюються множинні операції “””””\””””” і множинні відношення включення “”, тобто з ⁿ _{A1, A2, ..., An} ⁿ _{A1, A2, ..., An}- включення графіків випливає включення відношень ⁿⁿ.

Визначення. Об'єднання відношень  ⁿ і  ⁿ - це відношення  ⁿ= ⁿ   ⁿ з графіком  ⁿ _{A1, A2, ..., An}= ⁿ _{A1, A2, ..., An}   ⁿ _{A1, A2, ..., An}.

Визначення. Перетин відношень  ⁿ і  ⁿ - це відношення  ⁿ= ⁿ   ⁿ з графіком  ⁿ _{A1, A2, ..., An}= ⁿ _{A1, A2, ..., An}   ⁿ _{A1, A2, ..., An}.

Визначення. Різниця відношень  ⁿ і  ⁿ - то відношення  ⁿ= ⁿ \  ⁿ з графіком  ⁿ _{A1, A2, ..., An}= ⁿ _{A1, A2, ..., An} \  ⁿ _{A1, A2, ..., An.}

Визначення. Симетрична різниця відношень  ⁿ і  ⁿ - це відношення  ⁿ= ⁿ   ⁿ з графіком  ⁿ _{A1, A2, ..., An}= ⁿ _{A1, A2, ..., An}   ⁿ _{A1, A2 ..., An}.

Визначення. Відношення ⁿ називається доповненням відношення ⁿ, якщо    ⁿ _{A1, A2, ..., An} тоді і тільки тоді, коли   ⁿ _{A1, A2, ..., An}

Приклад. Для бінарних відношень   справедливо

_N = _  =_ =_ = _  _ _ =_.

Нехай ⁿ - відношення на множинах А₁, А₂, ..., А_n, а ^m - відношення на множинах Аn₊₁, ..., A_n+m.

Визначення. Декартів добуток відношень  ⁿ і  ^m - це відношення  ^nm= ⁿ ^m, графік якого має вигляд

 ^n+m _{A1, A2, ..., An+m}= ⁿ _{A1, A2, ..., An}   ^m_{An+1, ..., An+m}.

Слід мати на увазі, що в цьому випадку допускається асоціативність декартова добутку.

Приклад. Нехай А₁={0, 1, 2}, A₂={a, b}, A₃={b, c, d} і  ³,  ³ – відношення:

 ²_{A1, A2}= 0 a  ³_{A1, A2, A3}= 0 a b

1 b 1 b c

1 b d

Тоді відношення  ⁵= ² ³ визначається графіком:

⁵_{A1, A2, A3 A4, A5}= 0 a  0 a b = 0 a 0 a b

1 b 1 b c 0 a 1 d c

1 b d 0 a 1 b d

1 b 0 a b

1 b 1 b c

1 b 1 b d

Контрольні запитання

1. Що є n-арне відношення?

2. Як можна зіставити n-арному відношенню унарне відношення?

3. Як можна зіставити бінарної операції тернарне відношення?

4. Які способи завдання відношень існують?

5. Які типові відношення існують?

6. Які множинні операції для відношень?

7. Що є асоціативністю декартова добутку відношень?

Список літератури Основна

1. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2001. - С.33-38.

2. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990. с.35-46.

3. Глушков В.М., Цейтлин Г.Е., Ющенко Е.Л. Алгебра, языки, программирование. – К.:Наук. думка, 1989. - С.35-50.

4. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. – К.: Техника, 1975. - С.97-115.

Додаткова

5. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. – М.: Энергоатомиздат, 1987. - С.62, 63.

6. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976. - С.39-42.

Для практичних занять

7. Методичні вказівки і завдання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915 / О.М. Мартинюк. – Одеса: ОНПУ, 2001. – С.13-14.

Лекція 6. Спеціальні операції над відношеннями

Вступ

Лекція має за мету висвітлити поняття спеціальних операцій для n-арних відношень. Розглянуті операції перестановки і ототожнення координат, приписування фіктивної координати, згортки де Моргана і суперпозиції. Звернено повагу на спеціальні часткові випадки перестановки – цикл, транспозицію, зворотну перестановку, поняття діагоналі, властивості згортки де Моргана, узагальнення між операціями композиції, згортки де Моргана і суперпозиції, що часто використовуються.

У лекції присутні два підрозділи:

1. Перестановка, ототожнення, приписування фіктивної координати

2. Згортка де Моргана, суперпозиція