Список літератури Основна

1. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2001. - С.23, 24.

2. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. – М.: Энергоатомиздат, 1987. - С.28-34.

3. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. – К.: Техника, 1975. - С.89-91.

Додаткова

4. Глушков В.М., Цейтлин Г.Е., Ющенко Е.Л. Алгебра, языки, программирование. – К.:Наук. думка, 1989. - С.22-35.

Для практичних занять

5. Методичні вказівки і завдання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915 / О.М. Мартинюк. – Одеса: ОНПУ, 2001. – С.6-7.

Лекція 3. Упорядковані множини. Графіки

Вступ

Лекція має за мету висвітлити початкові поняття з теорії упорядкованих множин і графіків. Розглянути визначення упорядкованих множин і графіків, операції декартового (прямого) добутку, декартового ступеня, проекції, інверсії, композиції. Звернено повагу до властивостей функціональності та інверсії графіків, а також на властивості розглянутих операцій.

Лекція містить два підрозділи:

1. Упорядковані множини

2. Графіки

3.1. Упорядковані множини

Усяку множину можна упорядкувати, якщо кожному елементу ії поставити у відповідність деяке натуральне число від 1 до n, де n - потужність множини. Таке число буде номером елемента.

Визначення. Упорядкованою множиною чи кортежем називається послідовність елементів множини, в якій кожен елемент займає визначене місце, елементи кортежу називаються його компонентами, число компонентів кортежу - n - його довжина

Приклад. А=1, 2, 3; B=2, 1, 2; C=(a, d, d)

Загальне позначення кортежу − пари кутових <...>, чи круглих (...) дужок, усередині яких задаються в упорядкованому вигляді компоненти кортежу. Конкретні кортежі, як і множини, позначаються великими латинськими літерами А₀, В₄, С_j, ..., компоненти кортежів позначаються рядковими латинськими літерами a, b₄, c_j, ... .

Кортежі вважаються рівними, якщо в них збігаються компоненти і порядок їхнього проходження − А=В, інакше кортежі не рівні − АВ.

Компонентами кортежу можуть бути елементи множин, множини, інші кортежі. Ще одна назва кортежів - вектори чи n-ки (двійки, трійки,...).

Визначення. Прямим чи декартовим добутком множин А і В називається множина АхВ, що складається зі всіх упорядкованих пар, перший компонент яких належить множині А, а другий компонент належить множині В.

А×В={<a, b>A×В|аА і bB

Приклад. А=а, b =1, 2 ×В=а, 1, а,2, b, 1,b.

Очевидно, що якщо n, а m, то хВnm.

Визначення. Прямим декартовим добутком множин А₁, А₂, ..., А_n називається множина А₁×А₂×...×А_n, із усіх n-к, перший компонент яких належить множині А₁, другий компонент належить множині А₂, ..., n-а компонента належить множині А_n:

×А_і=А₁×А₂× ... ×А_n=а₁, а₂, ..., а_nA₁×А₂×...×А_n| a₁A₁, a₂_, ..., a_n_n

Визначення. Прямий декартовий добуток множин А₁×А₂× ... ×А_n при рівних множинах А₁=А₂= ... =А_n=A називається прямим n-м декартовим ступенем множини А і позначається Аⁿ:

Аⁿ=A×А× ... ×А = {<a₁, a₂, ..., a_n>Aⁿ|a₁, a₂,..., a_nA}

При n=0 і n=1 по визначенню вважається А⁰={ і А¹=А. Важливою підмножиною декартова добутку А×А є множина _А=а, а|аА, називана діагоналлю, що позначається також як E_A.

До кортежів чи множини кортежів однакової довжини застосовується унарна операція проекції.

Визначення. Проекцією кортежу А на і-ю вісь називається і-я компонента кортежу А, що позначається як пр_іА.

Проектування звичайне ведеться на сукупність упорядкованих по зростанню осей.

Приклад. А=1, 2, 3, 3, 4 пр₂А=2 пр₄А=3 пр_1,4А=1, 3.

Визначення. Проекцією множини М кортежів довжини n називається множина проекцій усіх кортежей з М

Приклад. М=1, 2, 2, 3, а, b, c, d, a, 2, 4, c, пр₁М=1, а пр₁₃М=1, 2, а, з, а, 4

Прямі декартові добуток і ступінь мають такими властивостями:

1. А×ВВ×А

2. А×(В×С)(А×В) ×СА×В×С

3. (АВ)×С=(А×С)(В×С)

4. (АВ)×С=(А×С)(В×С)

5. (А\В)×С=(А×С)\(В×С)

6. А×А× ... ×А=Аⁿ.

7. А^l×А^мА^lm.

8. А^l×А^мА^м×Аа^l.

9. А×=×А=.