34.2. Булеві нерівності

Визначення. Нехай f(x₁, x₂, …, x_k) і g(x₁, x₂, …, x_k) — дві булеві функції від k змінних, представлені за допомогою двох булевих форм. Тоді

f(x₁, x₂, …, x_k)  g (x₁, x₂, …, x_k)

є самою загальною формою булевої нерівності. Розв’язаннями є всі такі вектори наборів з = (x₁, x₂, …, x_k)  B^k, для яких справедливо f(с) ( g (с).

У цьому випадку повинне виконуватися

f(с) = g (с) = 0 або f(с) = 0, g(с) = 1 або f(с) = g (с) = 1.

Приклад. Розв’язанням булевої нерівності x₁  x₂  x₁  x₂ буде набір c = (x₁,= 1, x₂ = 1), на якому x₁  x₂ =0, x₁  x₂ = 1.

Для булевих нерівностей само, як і для рівнянь, досить розглядати стандартні форми f(x₁, x₂, …, x_k) = 0 і відповідно f(x₁, x₂, …, x_k) = 1, оскільки

f(x₁, x₂, …, x_k)  g(x₁, x₂, …, x_k)   f(x₁, x₂, …, x_k)g(x₁, x₂, …, x_k) = 0.

Ці рівняння еквівалентні один одному в тому розумінні, що вони мають однакові множини розв’язань. Відразу виключається провідна до протиріччя комбінація f = 1, g = 0.

Якщо прийняти g(x₁, x₂, …, x_k) = 1, тобто g(x₁, x₂, …, x_k) = 0 як частка випадку, то із цього треба

f(x₁, x₂, …, x_k) = 0,

або

f(x₁, x₂, …, x_k) = 1;

якщо прийняти g(x₁, x₂, …, x_k) = 0, то треба

f(x₁, x₂, …, x_k) = 0...

Нехай задана система m булевих нерівностей

f₁(x₁, x₂, …, x_k)  g₁(x₁, x₂, …, x_k);

… … …

f_m(x₁, x₂, …, x_k)  g_m(x₁, x₂, …, x_k).

Тоді вектор з = (x₁, x₂, …, x_k)  B^k є розв’язанням цієї системи, тільки якщо він задовольняє кожну її нерівність.

Ця система булевих нерівностей може бути замінена еквівалентним їй рівнянням за допомогою диз'юнктивного об'єднання

(f₁(x₁, x₂, …, x_k) g₁(x₁, x₂, …, x_k))   (f₂(x₁, x₂, …, x_k) g₂(x₁, x₂, …, x_k))  … … …  (f_n(x₁, x₂, …, x_k) g_n(x₁, x₂, …, x_k)) = 0...

Це рівняння рівносильне вихідній системі булевих нерівностей, оскільки диз'юнкція дорівнює 0 тільки тоді, коли кожна зустрічна змінна (тут рівняння, еквівалентне кожной булевой нерівності) приймає значення 0.

Приклад. Нехай задана система двох нерівностей

x₁  x₂  x₁ / x_2`

x₁  x₂  x₁ x₂.

Тоді при диз'юнктивному об'єднанні всіх еквівалентних рівнянь вийде

((x₁  x₂)(x₁ / x₂))  ((x₁  x₂) (x₁ x₂)) = 0.

Приведення до булевого базису дасть

((x₁  x₂)(x₁ x₂))  (((x₁  x₂)  (x₁  x₂))(x₁  x₂)) = 0.

Після перетворень вийде

((x₁  x₂)(x₁  x₂))  (((x₁  x₂)  (x₁ x₂))(x₁ x₂)) = = (x₁  x₂)  (x₁ x₂) = 0.

Диз'юнкція дорівнює 0 при нульових аргументах, отже, пари з₁ = (x₁ = 0, x₂ = 0) і з₂ = (x₁ = 0, x₂ = 1) будуть розв’язаннями системи двох нерівностей.

Якщо еквівалентні рівняння всіх булевих нерівностей, що входять у систему, об'єднати конъюнктивно, то вийде рівняння

(f₁(x₁, x₂, …, x_k)g₁(x₁, x₂, …, x_k))  (f₂(x₁, x₂, …, x_k)g₂(x₁, x₂, …, x_k))  … … … (f_n(x₁, x₂, …, x_k)g_n(x₁, x₂, …, x_k)) = 1

рівносильне вихідній системі булевих нерівностей, оскільки кон’юнкція дорівнює 1 тоді і тільки тоді, коли кожна зустрічна змінна (у загальному рівнянні - інверсія еквівалентного рівняння кожної булевої нерівності) приймає значення 1.

Приклад. Нехай задана система двох нерівностей

x₁  x₂  x₁ / x₂

x₁  x₂  x₁  x₂

Тоді при кон’юнктивному об'єднанні всіх еквівалентних рівнянь вийде

 ((x₁  x₂)(x₁ / x₂))   ((x₁  x₂) (x₁  x₂)) = 1.

Приведення до булевого базису дасть

 (((x₁x₂)(x₁x₂))(x₁ x₂))((x₁ x₂)((x₁ x₂)(x₁ x₂)))=1.

Після перетворень вийде

(x₁ x₂)  ((x₁  x₂)  (x₁ x₂)) = (x₁  x₂)  (x₁ x₂) = 1.

Кон’юнкція дорівнює 1 при одиничних аргументах, отже, пари з₁ = (x₁ = 0, x₂ = 1) і з₂ = (x₁ = 1, x₂ = 0) будуть розв’язаннями системи двох нерівностей.