- •Одеса Наука і техніка 2006
- •Розділ 1. Теорія множин і алгебраїчних систем
- •1.1. Основні поняття і завдання множин
- •1.2. Операції над множинами. Формули. Тотожності
- •1.3. Доведення тотожностей. Булева алгебра множин
- •1.4. Узагальнення операцій. Подвійність
- •Спісок літератури: Основна
- •2.1. Рівняння
- •2.2. Покриття і розбивки
- •2.3. Потужність множин. Зчисленні і континуальні множини
- •Список літератури Основна
- •3.1. Упорядковані множини
- •3.2. Графіки
- •Список літератури Основна
- •4.1. Відповідності
- •4.2. Образи і прообрази
- •4.3. Відображення і діаграми
- •Список літератури Основна
- •5.1. Основні поняття відношень
- •5.2. Множинні операції відношень
- •Список літератури Основна
- •6.1. Перестановка, ототожнення, приписування фіктивної координати
- •6.2. Згортка де Моргана, суперпозиція
- •Список літератури Основна
- •7.1. Успадковані властивості відношень
- •7.2. Спеціальні властивості відношень
- •Список літератури Основна
- •8.1. Еквівалентність
- •8.2. Порядок
- •8.3. Толерантність
- •8.4. Квазіпорядок
- •Список літератури Основна
- •9.1. Замикання відношень
- •9.2. Спеціальні функції
- •9.2.1. Підстановки
- •9.2.2. Послідовності
- •9.2.3. Функціонали
- •9.2.4. Функції, що зберігають алгебраїчні властивості
- •9.3. Операції
- •9.3.1. Загальні визначення операцій
- •9.3.2. Властивості операцій
- •Список літератури Основна
- •10.1 Композиція об'єктів
- •10.2. Внутрішній закон композиції
- •11.1 Алгебраїчні системи (моделі)
- •11.2. Групи підстановок і кільце множин
- •Розділ II. Комбінаторика
- •12.1. Вибірка елементів
- •12.2. Правило суми і добутку
- •12.3. Перестановки
- •12.4. Сполучення
- •12.5. Рекурентні співвідношення
- •12.6. Біном Ньютона
- •Список літератури Основна
- •13.1. Поліноміальні твірні функції
- •13.2. Експонентні твірні функції
- •13.3. Принцип включення і виключення
- •13.4. Розбивки
- •Список літератури Основна
- •Розділ III. Графи
- •14.1. Основні визначення
- •14.2. Способи представлення графів
- •Список літератури Основна
- •15.1. Основні визначення (продовження)
- •15.2. Зважені (відзначені) графи
- •Список літератури Основна
- •16.1. Операції над графуми
- •16.2. Властивості базових операцій над графами
- •Список літератури Основна
- •17.1. Чисельні характеристики графів
- •17.1.1. Ступінь вершин
- •17.1.2. Цикломатичне число
- •17.1.3. Хроматичне число
- •17.1.4. Множина внутрішньої стійкості
- •17.1.5. Множина зовнішньої стійкості
- •17.2. Представлення графів у пам'яті еом
- •Список літератури Основна
- •Розділ IV. Скінченні автомати
- •18.1. Абстрактний автомат
- •18.2. Способи завдання автоматів
- •18.2.1. Табличний спосіб
- •18.2.2. Графічний спосіб
- •18.3. Розширення функцій і
- •Список літератури Основна
- •19.1. Синхронні й асинхронні автомати
- •19.2. Асинхронні автомати, що тактуються
- •19.3. Перетворення автоматів Мілі і Мура
- •19.3.1. Перетворення автомата Мура в автомат Мілі
- •19.3.2. Перетворення автомата Мілі в автомат Мура
- •19.4. Сполучена модель автоматів – с-автомат
- •Список літератури Основна
- •20.1. Композиція автоматів
- •20.1.1. Рівнобіжне з'єднання
- •20.1.2. Послідовне з'єднання двох автоматів
- •20.1.3. З'єднання зі зворотним зв'язком
- •20.2. З'єднання автоматів з вихідною функцією
- •Список літератури Основна
- •21.1. Мережі автоматів
- •21.2. Еквівалентні автомати мережі
- •Список літератури Основна
- •Розділ V. Булева алгебра
- •22.1. Логічні функції
- •22.2. Булеві функції
- •22.3. Логічні формули
- •Список літератури Основна
- •23.1. Способи завдання булевих функцій
- •23.1.1. Табличний спосіб
- •23.1.2. Аналітичний спосіб Нормальні форми
- •23.1.3. Геометричний спосіб
- •23.1.4. Чисельний спосіб
- •23.2. Приведення формул булевої алгебри до досконалої форми
- •Список літератури Основна
- •24.1. Булева алгебра
- •24.2. Спрощення запису формул
- •24.3. Подвійність формул булевої алгебри
- •24.4. Булева алгебра множин
- •Список літератури Основна
- •25.1. Алгебра Жегалкіна
- •25.2. Типи булевих функцій
- •25.3. Функціональна повнота
- •25.4. Логічні (перемикальні) схеми
- •25.5. Канонічна задача синтезу логічних схем
- •Список літератури Основна
- •26.1. Графічний метод мінімізації булевих функцій
- •26.2. Табличний метод мінімізації
- •Список літератури Основна
- •27.1. Аналітичні методи мінімізації
- •27.1.1. Комплекс кубів
- •27.1.2. Постановка задачі
- •27.2. Метод Квайна
- •27.3. Алгебраїчний метод одержання мінімального покриття (алгоритм Петрика)
- •Список літератури Основна
- •28.1. Метод Квайна-МакКласкі
- •28.2. Мінімізація частково визначених функцій
- •Список літератури Основна
- •29.1 Основні визначення
- •29.2 Інтервальне представлення в матричній формі
- •29.3. Спрощення днф за матричною формою Закревського
- •30.1. Формулювання алгоритму побудови максимальних інтервалів для точки
- •30.2. Алгоритм для днф
- •30.3. Метод Блейка
- •31.1. Основні визначення
- •32.2. Використання системи булевих функцій для синтезу кс
- •31.3 Точний метод мінімізації систем булевих функцій Барті-Полянського
- •31.4. Інтуїтивний метод спрощення системи днф за матричною формою
- •32.1. Інтервальне представлення в еом
- •32.2. Основні операції над інтервальним представленням
- •33.1. Використання операцій інтервального представлення
- •33.2. Метричні властивості диз'юнктивної нормальної форми
- •34.1 Булеві рівняння
- •34.2. Булеві нерівності
- •34.3. Спільні системи нерівностей і рівнянь
- •35.1. Властивості булевой різниці
- •35.2. Методи знаходження булевой різниці
- •35.3. Подвійна булева різниця
- •35.4. Булеві похідні й диференціали
- •36.1. Висловлення предикатів
- •36.2. Логіка предикатів
- •36.3. Правила застосування кванторів
- •Список літератури Основна
- •Список літератури
- •Вступ 3
- •1. Теорія множин і алгебраїчних систем 4
- •2. Комбінаторика 65 Лекція 12. Комбінаторика. Базові методи 65
- •3. Графи 78
- •4. Скінченні автомати 101
- •5. Булева алгебра 123 Лекція 22. Булеві функції 123
34.3. Спільні системи нерівностей і рівнянь
Можна розглянути як самий загальний випадок спільну систему з m булевих нерівностей й n булевих рівнянь:
f1(x1, x2, …, xk) g1(x1, x2, …, xk);
… … …
fm(x1, x2, …, xk) gm(x1, x2, …, xk);
fm+1(x1, x2, …, xk) = gm+1(x1, x2, …, xk);
… … …
fm+n(x1, x2, …, xk) = gm+n(x1, x2, …, xk)
Спочатку доцільно замінити всі m булевих нерівностей еквівалентними їм однорідними рівняннями
f1(x1, x2, …, xk) g1(x1, x2, …, xk) = 0
..... … …
fm(x1, x2, …, xk) gm(x1, x2, …, xk) = 0.
Далі можна зробити однорідними n булевих рівнянь, що залишилися
fm+1(x1, x2, …, xk) g m+1(x1, x2, …, xk) = 0
..... … …
fm+n(x1, x2, …, xk) g m+n(x1, x2, …, xk) = 0.
Після цього можна об'єднати всі рівняння, що вийшли, в одне єдине еквівалентне рівняння. У результаті буде отримане
f1(x1, x2, …, xk) g1(x1, x2, …, xk) … fm(x1, x2, …, xk) gm(x1, x2, …, xk) (fm+n(x1, x2, …, xk) gm+n(x1, x2, …, xk)) … fm+n(x1, x2, …, xk) g m+n(x1, x2, …, xk) = 0.
Використовуючи заперечення й закон де-Моргана, можна праву частину замінити на 1
(f1(x1, x2, …, xk) g1(x1, x2, …, xk)) … (fm(x1, x2, …, xk) gm(x1, x2, …, xk)) ( (fm+n(x1, x2, …, xk) gm+n(x1, x2, …, xk)) … (fm+n(x1, x2, …, xk) g m+n(x1, x2, …, xk)) = 1.
Фактичне визначення розв’язань рівняння хоча в принципі й просто (досить обчислити його на всіх наборах с = (x1, x2, …, xk) Bk), однак для великого числа змінних є трудомісткою задачею, виконання якої вимагає великої уваги. Однак саме у двійкових системах розв’язання систем булевих рівнянь і нерівностей є однією з основних задач, що зустрічаються постійно, як у аналізі, так і у синтезі логічних схем, програм і алгоритмів.
Приклад. Для розглянутих вище систем трьох рівнянь і двох нерівностей моживе спільне розв’язання
x1 x2 = 0
x1 x2 = 0
x1 x2 = 0
x1 x2 x1 / x2
x1 x2 x1 x2
Тоді при диз'юнктивному об'єднанні всіх лівих частин й еквівалентних рівнянь вийде
(x1 x2) (x1 x2) (x1 x2) ((x1 x2)(x1 / x2)) ((x1 x2) (x1 x2)) = 0.
Приведення до булевого базису дасть
(x1 x2) (x1 x2) ((x1 x2) (x1 x2)) ((x1 x2)(x1 x2)) (((x1 x2) (x1 x2))(x1 x2)) = 0.
Після перетворень вийде
(x1 x2) (x1 x2) (x1 x2) ((x1 x2)(x1 x2)) (((x1 x2) (x1 x2))(x1 x2)) = x1 x2 (x1 x2) (x1 x2) = x1 x2 = 0.
Диз'юнкція дорівнює 0 при нульових аргументах, тобто при x1 = 0 і x2 = 0. Отже, пари з = (x1 = 0, x2 = 0) і будуть розв’язанням системи трьох рівнянь і двох нерівностей.
На закінчення можна сформулювати проблему можливості розв'язання.
Визначення. Булева функція f(x1 ... хk, y1(x1, x2, …, xk), ....., уm(x1, x2, …, xk)) називається розв'язною по у1, ..., уm, якщо є булеві функції у1(x1, x2, …, xk), ....., уm(x1, x2, …, xk), такі, що
f(x1 ... хk, y1(x1, x2, …, xk), ....., уm(x1, x2, …, xk)) = 0
Проблема полягає в знаходженні таких векторів змінних (в1, ... уm), які можуть бути представлені у вигляді булевих функцій уже існуючих змінних x1, ..., хk, що задовольняють останньєму рівнянню.
Контрольні запитання
Що називають булевым рівнянням?
Яка властивість й як використовується при розв’язанні булевых рівнянь?Як використовується ця властивість?
Що є розв’язанням системи булевых рівнянь?
Як можна одержати еквівалентне рівняння для системи булевых рівнянь?
Що називають булевою нерівністю?
Яка властивість використовується при розв’язання булевых нерівностей? Як використається ця властивість?
Як можна одержати еквівалентне рівняння для системи булевых нерівностей?
Які форми можливі для еквівалентних рівнянь?
Як визначена спільна система булевых рівнянь і нерівностей?
Як виходить еквівалентне рівняння для спільної системи булевых рівнянь і нерівностей?
Як формулюється проблема можнасті розв'язання?
Список літератури
Основна
Бохман Д., Постхоф Х. Двоичные динамические системы. – М.: Энергоатомиздат, 1986. - С.60-61.
Для практичних занять
Методичні вказівки і завдання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915 / О.М. Мартинюк. – Одеса: ОНПУ, 2004. - ч.2. – С.75-76.
Лекція 35. Булеві різниця, похідні й диференціали
Вступ
Лекція має за мету надати основні поняття булевих різниці, похідних й диференціалів. Розглянуто визначення булевих різниці, приватної й повної похідній, визначення орієнтованих булевих похідних і диференціалів, а також їх властивості і вирази, що дозволяють представити динаміку булевих функцій виходів логічних схем.
У лекції є чотири підрозділи:
Властивості булевой різниці
Методи знаходження булевой різниці
Двійна булева різниця
Булеві диференціали і похідні