20.1.2. Послідовне з'єднання двох автоматів

Автомати A₁ = (S_1, X_1, Y_1, _1, _1, {s₀₁}), A₂ = (S_2, X_2, Y_2, _2, _2, {s₀₂}) задані шістками. Вихід першого автомата з'єднаний безпосередньо з входом другого автомата, тобто Y₁ = X₂.

Рис. 20.2. Послідовне з'єднання автоматів

Визначення. Результуючим автоматом послідовного з'єднання двох автоматів A₁ і A₂ називається автомат A = (S_, X_, Y_, _, _, {S₀}), у якого

1. S = S₁ S₂, тобто S = {sS| s= < s_1, s₂> & s₁, S₁ & s₂  S₂ }.

2. X = X₁.

3. Y₁ = X₂.

4. Y = Y₂.

5. : SXS і визначається в такий спосіб:

(SX) = (SX) = ((S₁X₁), (₂(S₂X₂)) чи (SX) = {s = (s^’_, x)(SX)| s' = <s₁^’_, s₂^’ > & s= <s_1, s₂> & x  X & s₁ = = (s₁^’_, x) & s₂ = ₂(s₂^’, ₁(s₁^’, x)} .

6.  : SXY і визначається так:

(SX) = (SX) = ₂(S₂₁(S₁X )) чи (SX) = {y= =(s^’, x)Y| s' = <s₁^’, s₂^’> & xX & y = ₂(s₂^’, ₁(s₁^’, x))} .

7. s₀ = <s₀₁, s₀₂>.

Приклад. Задані автомати Мілі A₁ і A₂ з попереднього прикладу.

Функція переходів результуючого автомата :SXS

Таблиця 20.6

S/S1S2 X	s1	s2	s3	s4	s5	s6
	s11s21	s11s22	s12s21	s12s22	s13s21	s13s22
x1	s1/s11s21	s2/s11s22	s2/s11s22	s1/s11s21	s4/s12s22	s3/s12s21
x2	s5/s13s21	s6/s13s22	s5/s13s21	s6/s13s22	s3/s12s21	s4/s12s22

Функція виходів результуючого автомата :SXY

Таблиця 20.7

S/S1S2 X	s1	s2	s3	s4	s5	s6
	s11s21	s11s22	s12s21	s12s22	s13s21	s13s22
x1	y1/y11y21	y2/y11y22	y2/y12y21	y3/y12y22	y2/y12y21	y3/y12y22
x2	y1/y11y21	y2/y11y22	y1/y11y21	y2/y11y22	y1/y11y21	y2/y11y22

Початкові стани для A₁ і A₂ - s₀₁ = s₁₁ і s₀₂ = s_21, для А початковий стан – s₁ = <s₁₁, s₂₁>

20.1.3. З'єднання зі зворотним зв'язком

Задано автомати A₁ = (S_1, X_1, Y_1, _1, _1, {s₀₁}) і A₂ = (S_2, X_2, Y_2, _2, _2, {s₀₂}) і КС (автомат з одним станом) A₃ = ({X₃X₄}_, {s₀₃}, Y_3, ₃).

У випадку з'єднання зі зворотним зв'язком принаймні один з автоматів A₁ чи A₂ повинен бути автоматом Мура, інакше стабільність системи не гарантується, тому що інакше буде Y(t) = f_c(S(t)(X(t)Y(t))), що приводить до виникнення генерації.

Рис. 20.3. З'єднання автоматів зі зворотним зв'язком

Визначення. Нехай A₂ – автомат Мура. Результуючим автоматом з'єднання двох автоматів зі зворотним зв'язком називається автомат A = (S_, X_, Y_, _, _, {s₀}), у якого

1. S = S₁S₂

2. X = pr₁X₃

3. Y₂ = pr₂X₃

4. Y = Y₁ = X₂

5. Y₃ = X₁

6. : SXS і визначається в такий спосіб:

(SX) = (₁(S₁X₁), (₂(S₂X₂)) чи (SX) = {s=(s^’_, x) (SX)| s'= <s₁^’_, s₂^’ > & s= <s_1, s₂> & xX & s₁ = =₁(s₁^’, ₃(x, ₂(s₂^’))) & s₂=₂(s₂^’, ₁(s₁^’, ₃(x, ₂(s₂^’))))}

7. : SXY і визначається так:

(SX)=₁(S₁₃(X₂(S₂))) чи (SX)={y=(s^’, x)(S, X)| s'=<s₁^’_, s₂^’> & xX & y=₁(s₁^’, ₃(x, ₂(s₂^’)))}

8. s₀ = <s_01, s₀₂ >.

Приклад. Задані два автомати A₁ – Мілі. A₁ = (S_1, X_1, Y_1, _1, _1, {S₀₁}), A₂ – Мура A₂ = (S_2, X_2, Y_2, _2, _2, {S₀₂}).

Функція переходів-виходів автомата Мілі ₁:S₁XS₁; ₁:S₁XY₁:

Таблиця 20.8

X1\S1	s11	s12	s13
x11	s13/y11	s12/y12	s13/y11
x12	s12/y13	s11/y11	s11/y12

Функція переходів-виходів автомата Мура ₂:S₂XS₂ ; ₂:S₂Y₂:

Таблиця 20.9

S2/Y2 X2	s21	s22
	y21	y22
x21	s21	s22
x22	s22	s22
x23	s21	s21

КС – автомат без пам'яті A₃ перетворить ₃ :XY₂Y₃=X₁ (табл. 26.10). A₃=(S₃ = {s₀₃}, {XY₂}, Y₃=X₁, ₃(S₃{XY₂})={s₀}, ₃(S₃{X Y₂}), {s₀₃})

Таблиця 20.10

Y2\X	x1	x2	x3
Y21	x11	x11	x11
Y22	x12	s12	x11

Автомат А має X={x_1,x_2,x₃}, Y={y_1,y_2,y₃}, S=S₁S₂={<s_11,s₂₁>, <s_11,s₂₂>, <s_12,s₂₁>, <s_12,s₂₂>, <s_13,s₂₁>, <s_13,s₂₁>}={s₁,s₂,s₃,s₄,s₅,s₆}.

Функція переходів :SXS

Таблиця 20.11

S/S1S2 X	s1	s2	s3	s4	s5	s6
	<s11,s21>	< s11,s22>	<s12,s21>	<s12,s22>	<s13,s21>	<s13,s22>
x1	s5/s13s21	s3/s12s21	s4/s12s22	s4/s12s22	s5/s13s21	s2/s11s22
x2	s5/s13s21	s3/s12s21	s4/s12s22	s2/s11s22	s5/s13s21	s2/s11s22
x3	s5/s13s21	s6/s13s22	s5/s13s12	s6/s13s22	s5/s13s21	s6/s13s21

Функція виходів :SXY

Таблиця 20.12

S/S1S2 X	s1	s2	s3	s4	s5	s6
	<s11s21>	< s11s22>	<s12 21>	<s12 s22>	<s13 s21>	<s13 s22>
x1	y1/y11y21	y3/y13y22	y2/y12y21	y1/y11y22	y1/y11y21	y2/y12y22
x2	y1/y11y21	y3/y13y22	y2/y12y21	y1/y11y22	y1/y11y21	y2/y12y22
x3	y1/y11y21	y1/y11y22	y2/y12y21	y2/y12y22	y1/y11y21	y1/y11y22

Початковий стан для А s₀=<s_01, s₀₂>.