9.3. Операції

9.3.1. Загальні визначення операцій

Деякі функції використовують при введенні позначень.

Визначення. Операцією над множиною S називається функція f: SⁿS, де n і є два важливих моменти операції: а) однозначність f(1)1 б) замкнутість на S.

Операція SⁿS має порядок n. Якщо n=1, то операція одномісна (унарна, монадічна), якщо n=2, то операція двомісна (бінарна, діадічна). Компоненти s₁, s₂,…,s_i,…,s_n з набору (вектора) (s₁, s₂,…,s_i,…,s_n)Sⁿ називають операндами, самі символи операцій називають операторами. Інший підхід, наприклад, у програмуванні, розуміє під операторами операнди, зв'язані символами операцій у формули.

Приклад. Бінарною операцією є додавання, або добуток на множині дійсних чисел D, унарною операцією є ступень на множині D. N-арною операцією є додавання виразів звичайної мови з інших виразів.

У випадку одномісних операцій символ оператора ставлять звичайно перед, або після операнда, у випадку двомісних операцій можливі три способи: а) infix (інфікс) - оператор розміщується між операндами б) prefix (префікс) - оператор розміщується перед операндами в) postfix (постфікс) - оператор розміщується після операндов.

Приклад. a+b - infix ;

+ab - prefix ;

ab+ - postfix

Форми prefix і postfix не вимагають дужок при визначенні порядку обчислень складних виражень, що робить їх зручними для автоматичної обробки.

Приклад. a+bc+(d+e(f+g)) - infix;

++abc+de+fg - prefix;

abc+defg+++ - postfix

а) (((a+(bc))+(d+(e(f+g)))) - infix:

Рис. 9.1. Інфіксна форма запісу

б) ++abc+de+fg - prefix:

Рис. 9.2. Префіксна форма запісу

в) abc+defg+++ - postfix:

Рис. 9.3. Постфіксна форма запісу

Нехай  позначається як адитивна операція (типу додавання), а  - як мультиплікативна операція (типу множення).

9.3.2. Властивості операцій

1. ab=ba; ab=ba комутативність.

2. a(bc)=(ab)c; a(bc)=(ab)c асоціативність.

3. а(bc)=(ab)(ac); a(bc)=(ab)(ac) дистрибутивність.

4. аа=а; аа=а ідемпотентність.

5. Якщо для всіх елементів а існує b такий, що а) ba=a (ba=a), то b – ліва одиниця (лівий нуль); б) ab=a (ab=a), то b – права одиниця (правий нуль); в) одночасно ab=a (ab=a) і ba=a (ba=a), то b – двостороння одиниця (нуль) по операції  ().

6. Якщо е – одиниця (нуль) і ху=е (ху=е), то х – лівий обернений елемент до у, у – правий обернений елемент до х, якщо ху=е (ху=е) і вх=е (ух=е), то х и у – обернені елементи по відношенню друг до друга.

Лема. Нехай  () – мультиплікативна (адитивна) операція на множини А і існує одиниця (нуль) стосовно операцій  (). Одиничний (нульовий) елемент тільки один.

Лема. Нехай  () – асоціативна операція на множини А и е – одиниця (нуль) стосовно  (). Тоді, якщо а і є обернений елемент, то обернений елемент тільки один стосовно операцій  ().

Приклад.   , С 

 і  – комутативність

СС={1, 2, 3 ,4, 5} і СС={3} – асоциативність;

CC={1, 2 ,3, 4} і CC={1, 3, 4} – дистрибутивність;

={1, 2, 3, 4} і ={1, 2, 3, 4} – ідемпотентність

={1, 2, 3, 4} і ={1, 2, 3, 4} – двосторонній нуль

U={1, 2, 3, 4} і U={1, 2, 3, 4} – двостороння одиниця;

=U і =, отже  і  – обернені елементи по відношенню один до одного.

Контрольні запитання

1. Як визначають транзитивне і рефлексивне замикання?

2. У чому суть методу Варшалла?

3. Яка підмножина А множини А називається замкнутою щодо відповідності ?

4. Що є підстановкою, циклом? Які елементи є стаціонарними?

5. Що таке послідовність і у чому її різниця з функціоналом?

6. Як функції можуть зберегти алгебраїчні властивості?

7. Як визначається операція?

8. Що є одномісною, двомісною, n-місною операціями?

9. У чому різниця інфіксної, префіксної і постфіксної форм запису операцій?

10. Чому потрібні декілька форм?

11. Які властивості мають операції?

12. Що є ліва, права, двостороння одиниця, або нуль?

13. Що таке обернений елемент?