Розділ 1. Теорія множин і алгебраїчних систем

Лекція 1. Основні поняття теорії множин

Вступ

Лекція має за мету навести початкові поняття з теорії множин. Розглянуто основні визначення множин та п’яти операцій, існуючі базові вісімнадцять тотожностей і засоби їх доведення. Звернено повагу до узагальнення властивостей множин та операцій і принципу подвійності.

Лекція містить чотири підрозділи:

1. Основні поняття і завдання множин

2. Операції над множинами. Формули. Тотожності

3. Доведення тотожностей. Булева алгебра множин

4. Узагальнення операцій. Подвійність

1.1. Основні поняття і завдання множин

Визначення. Під множиною розуміється об'єднання визначених, відмінних один від одного об'єктів (реальних чи уявлюваних), що називають елементами множини в їхній сутності.

Приклад. А={ 1,2,а,b} - коректно, В={ а,b,c,b} - некоректно.

Загальне позначення множин - фігурні дужки {...}, усередині яких задаються елементи множин. Конкретні множини позначаються великими літерами А, В₄, С_і, ..., елементи множин позначаються рядковими латинськими літерами a, b₄, сі ... .

Запис mM означає висловлення «m є елементом множини М» чи «m належить множині М». Запис mM означає заперечення висловлення mM.

Запис М₁М₂ означає висловлення «кожен елемент множини М₁ є елементом множини М₂», чи «M₁ є підмножиною множини М₂, а М₂ – надмножиною множини М₁», чи «M₁ міститьться в М₂».

Запис М₁М₂ - заперечення висловлення М₁М₂.

Запис М₁=М₂ означає висловлення «M₁M₂ і М₂М₁» чи «множини М₁ і М₂ рівні (еквівалентні)».

Запис М₁М₂ - заперечення висловлення М₁М₂.

Запис М₁М₂ еквівалентний висловленню «M₁M₂ і М₁М₂» чи «M₁ є власною підмножиною множини М₂». Невласні множини в цьому випадку - сама множина М₂ і множина  - єдина множина, що не містить елементів - порожнє М.

Можна вважати, що всі розглянуті множини є підмножинами деякого універсуму U (для цілих чисел - нескінченність).

Визначення. Множина, елементами якої є всі підмножини множини М, називається множиною підмножин, чи множиною-ступенем, чи булеаном множини М і позначається як Р(М) чи В(М).

Приклад. М={1,2,3}, P(M)={, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}.

Запис М означає число елементів множини М, Р(М)= 2^М.

Завдання множин здійснюється трьома основними способами:

1. Приклад:Перерахування всіх елементів, що входять у множину.

Приклад. А={а₁, а₂, а₃ }, B={1, 2, b, c}, C={а_і}₁ ³

2. Завданням характеристичної властивості, що виділяє елементи даної множини серед елементів, що зазначені іншим множинам.

Приклад. N={n|n і n}, М={mM|m=n² і n}

3. Описом процедури, що породжує, із зазначенням множин, що пробігають параметри цієї процедури.

Приклад. М={n²|n C ={8х₁+14х₂+32х₃|х₁, х₂, х₃.

З визначення рівності множин і способів завдання їх випливає, що порядок елементів у множинах несуттєвий.

Для інтерпретації множин і операцій над ними використовуються геометричні фігури - кола Ейлера і діаграми Венна (рис. 1.1.).

Рис. 1.1. Кола Ейлера

1.2. Операції над множинами. Формули. Тотожності

Нові множини породжуються в результаті застосування операцій до існуючих множин.

Об'єднанням множин М₁ і М₂ називається множина М₁₂={m|m₁ чи m₂}.

Перетином множин М₁ і М₂ називається множина М₁₂={m|m₁ і m₂}.

Множини М₁ і М₂ називаються диз'юнктними, якщо М₁ ₂=.

Різниця множин М₁ і М₂ - це множина М₁\М₂={m|m₁ і m₂}.

Симетричною різницею множин М₁ і М₂ називається множина М₁-М₂= {m|m₁\M₂ чи mМ₂\М₁}.

Якщо М₁₂, то різниця М₂\М₁ називається доповненням множини М₁ у множині М₂. Зокрема, М = U\M - доповнення множини М в універсумі чи просто доповнення множини М. Інше позначення доповнення множини - М.

Приклад.   З    \З  \ \ .

Теорема. Будь-які дві множини А і В можуть знаходитися в одному з п'яти станів: 1)А=В; 2)АВ; 3)АВ; 4)АВ=; 5)А\В  і В\А і АВ

Завдання нових множин за допомогою ідентифікаторів, операцій і дужок, тобто завдання за допомогою формул називається аналітичним.

Для операцій над множинами справедливі закони (тотожності):

1.   ; комутативність

2. ЗЗ; ЗC; асоціативність

3. CC CC

дистрибутивність

4.  UU  U U U= властивості границь

5. =U = доповнення

6.   ідемпотентність

7.   поглинання

8.   (AC)(BC)=(AC)(BC)(AB); (AC)(BC)=(AC)(BC)(AB) Блейка-Порецького

9. ; (=B склеювання

10.  () деМоргана

11. Якщо А=U і = то A=

12.   інволютивність

13. A\B=

14.  комутативність

15. CC асоціативність

16.  UUА= властивості границь

17. AB, якщо і тільки якщо А=B і A=A і =

18. A=B, якщо і тільки якщо AB=.