25.3. Функціональна повнота

Визначення. Система булевих функцій називається функціонально повною, якщо суперпозиція цих функцій дозволяє одержати будь-яку функцію з множини булевих функцій.

Приклад. Система функцій {, ,  } є функціонально повною, але система функцій {, } не функціонально повна.

Якщо у функціонально повній системі є функції константи «0» чи константи «1», то вона послаблено функціонально повна. Функціонально повна система функцій утворює базис у логічному просторі.

Приклад. Система функцій {, }, що поповнена константою одиниці, тобто {{, } 1}, послаблено функціонально повна.

Визначення. Система булевих функцій називається мінімально повним базисом, якщо видалення з неї будь-якої функції перетворює цю систему в неповну.

Приклад. Мінімально повний базис є {,  }, але система {, ,  } не є мінімально повним базисом.

Визначення. Усяка сукупність функцій алгебри логіки, замкнута щодо суперпозиції, тобто така, що будь-яка суперпозиція функцій із сукупності знову породжує функцію, що належить ції же сукупності, називається функціонально замкнутим класом.

Функціонально замкнуті класи, відмінні від порожнього класу і сукупності всіх можливих булевих функцій, називаються власними функціонально замкнутими класами. Власний функціонально замкнутий клас називається передповним, якщо він не міститься ні в якому функціонально замкнутому класі, що є відмінним від даного класу і класу всіх можливих булевих функцій.

Приклад. Система функцій, що зберегають одиницю, є функціонально замкнутим класом, система функцій, що монотонно убивають, не є функціонально замкнутим класом. Перша система є поперед повною.

Теорема про функціональну повноту (критерій Поста): Для того, щоб система булевих функцій була повною, необхідно і досить, щоб вона включала хоча б одну функцію, що не зберігає константу «0», хоча б одну функцію, що не зберігає константу «1», хоча б одну функцію, що несамоподвійна, хоча б одну функцію, що нелінійна, і хоча б одну функцію, що немонотонна.

Та сама функція може представляти у функціонально повній системі одне чи кілька необхідних властивостей, якщо вона має ці властивості.

Приклад. Властивості елементарних булевих функцій.

Таблиця 25.1.

Булева функція	Фор-мула	Незбер. ”0”	Незбер. ”1”	Несамо-двоїста	Нелі-нійна	Немо-нотонна
Константа “0”	0		+	+
Константа “1”	1	+		+
Заперечення	 x	+	+			+
Кон'юнкція	x1x2			+	+
Диз'юнкція	x1x2			+	+
Сума за модулем “2”	x1x2		+	+		+
Штрих Шеффера	x1x2	+	+	+	+	+
Стрілка Пірса	x1x2	+	+	+	+	+

З таблиці видно, що системи функцій {кон'юнкція, заперечення}, {диз'юнкція, заперечення}, {штрих Шеффера}, {стрілка Пірса} задовольняють теоремі Поста. Система функцій    утворює так званий булевий базис.