27.3. Алгебраїчний метод одержання мінімального покриття (алгоритм Петрика)

Вибір мінімального покриття на заключному етапі формалізується за допомогою алгебраїчного методу, що запропонований Петриком. Вихідна форма для алгоритму – таблиця покрить. Прості імпліканти позначаються Якіми-небудь символами, наприклад, літерами латинського алфавіту. У кожнім стовпці таблиці записується диз'юнкція простих імплікант, що покривають відповідний 0-куб. Покриттю функції відповідає кон'юнкція всіх записаних диз'юнкцій векторів.

Якщо спростити отримане вираження за допомогою тотожностей булевої алгебри, одержуємо деяку ДНФ, кожен член якої відповідає деякому тупиковому покриттю. Вибір тих з них, що містять мінімальну кількість букв або мінімальну ціну за Квайном, дає можливість знайти мінімальні покриття.

Приклад. З попередньої таблиці і ряду спрощень при розкритті дужок випливає таке:

Множина ТДНФ: (АВ)(АС)(ВD)(CE)(DF)(EF)=…=

=ADEABEFBCDEBCEFACDFABCFBCDFBCF...

Підкреслені кон'юнкції, що мають найменшу ціну і відповідають доповненням ядра до МДНФ. Тому що ядро (множина екстремалей) порожнє, самі підкреслені кон'юнкції й утворюють множину МДНФ.

Алгебраїчні перетворення спрощуються, якщо виходити зі скороченої таблиці покрить, що одержана після виділення екстремалей та знищення рядків екстремалей і стовпців усіх покритих екстремалями конституент, це буде проілюстровано у наступному прикладі лекції 28.

Результатом перетворень є множини простих імплікант, що доповнюють сукупність екстремалей до тупикових покрить. Мінімальне з цих доповнень разом з ядром утворить мінімальне покриття функції.

Контрольні запитання

1. Що є комплексом кубів К(у) та як його побудувати?

2. Які змінні називаються зв'язаними, а Які вільними, як позначають у кубі зв'язані та вільні змінні?

3. Чи є комплекс кубів мінімальним покриттям?

4. Що є тупиковим покриттям, а що мінімальним?

5. Чи можна використовувати комплекс кубів для КНФ?

6. Що є ціною за Квайном та як вона обчислюється?

7. Які кроки звичайно використовує задача мінімізації?

8. Що є скороченим покриттям, що є простими імплікантами?

9. Що є екстремаллю, або істотною імплікантою та ядром покриття?

10. Які кроки треба виконати при переході від скороченого покриття до мінімального?

11. Що є методом Квайна та яку роль відіграє у ньому таблиця покриття?

12. Як одержують скорочену таблицю покриття?

13. У чому сутність алгоритму Петрика?

14. Яка сама модифікація Квайна-МакКласкі виконується для зменшення порівнянь?

Список літератури Основна

1. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. – К.: Техника, 1975. - С.550-564.

2. Новоселов В.Г., Скатков А.В. Прикладная математика для инженеров-системотехников. Дискретная математика в задачах и примерах. – К.: Учебно-методический кабинет высшего образования, 1992. - С.146-161.

3. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высш.шк., 1986. - С.50-55.

Додаткова

4. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 1979. - С.215-235.

5. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2001. - С.91-92.

Для практичних занять

6. Методичні вказівки і завдання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915 / О.М. Мартинюк. – Одеса: ОНПУ, 2001. – С.38.

7. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. – М.: Наука, 1973. - С.38-50.

Лекція 28. Аналітична мінімізація. Додаткові методи

Вступ

Лекція має за мету навести додаткові методи аналітичної мінімізації скрізь визначених і часткових булевих функцій. Розглянути модифікований метод Квайна-МакКласкі, таблична і аналітична мінімізація частково визначених функцій. Основну увагу звернено до скорочення дій з комплексом кубів, використання у різних методах мінімізації наборів, на яких функція не визначена.

У лекції присутні два підрозділи:

1. Модифікований метод Квайна-МакКласкі.

2. Мінімізація частково визначених функцій.