8.2. Порядок

Визначення. Бінарне відношення _А на деякій множини А, що задовольняє властивості рефлективності, транзитивності і антисиметричності, є відношенням несуворого порядку (_А).

Множина А з визначеним на ньому відношенням несуворого порядку  називається несуворо впорядкованою. Елементи a, b такі, що ab чи ab, називаються порівнянними елементами несуворо упорядкованої множині, у несуворо впорядковану множину можуть входити і непорівнянні елементи.

Несуворо упорядкована множина, у якой кожна пара елементів порівнянна, називається зовсім чи лінійно упорядкованою чи множиною ланцюгом. У цьому випадку має місце лінійний несуворий порядок. Таким чином, відношення несуворого порядку лінійно тоді і тільки тоді, коли воно зв’язано, у противному випадку відношення несуворого порядку називається нелінійним.

Відношення  на множині А дозволяє визначити відношення  як таке, що для а, b ab тоді і тільки тоді, коли аb і аb. Відношення  на множині А називається відношенням суворого порядку і має властивості антирефлексивності, сильної антисиметричності, транзитивності. Відношення  на множині А дозволяє у свою чергу однозначно визначити відношення  на даній множині _ і  \ _. Для суворого порядку також вводяться поняття суворо впорядкованої множини, порівнянних елементів, лінійного суворого порядку (властивість зв’язності) і часткового суворого порядку.

Приклад. Відношення несуворого порядку бути дільником на множини 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

а) Таблиця 8.2.

	1	2	3	4	5	6	7
1	1
2	1	1
3	1		1
4	1	1		1
5	1				1
6	1	1	1			1
7	1						1

б)

Рис. 8.2. Відношення несуворого порядку

Нехай Р(А²) - множина усіх бінарних відношень, визначених на деякій множині А. Нехай  - бінарне відношення на множині Р(А²) таке, що для відношень ,Р(А²) справедливо  тоді і тільки тоді, коли з аb випливає аb, де а,b, тобто для всіх графіків _А і _А виконується включення __. Таким чином, множина Р(А²) є частково упорядкованою щодо відношення  .

Нехай Т(А²)² - сукупність усіх відношень еквівалентності на множині А. Визначена часткова упорядкованість  на множині Р(А²) індукує часткову упорядкованість на множині Т(А²), в такому разі якщо характеризувати відношення еквівалентності відповідними їм розбивками множини А, то  означає, що розбивка А=S_a(a більш дрібна, ніж розбивка А=S_a(a, тобто для кожного суміжного класу S_a( існує розбивка R(S_a())=S_a(|a S_a(. У цьому випадку розбивка А зветься підрозбивкою розбивки А.

Нехай F(А)=А* - множина усіх слів (векторів) скінченної довжини в алфавіті (множині) А и на множини А задане відношення часткового (суворого) порядку.

Лема. Для двох векторів В,СF(A) вектор В несуворо передує вектору С тоді і тільки тоді, коли довжина вектора В дорівнює довжині вектора С, тобто С= і кожен компонент b_i вектора В – не суворо передує відповідному компоненту с_і вектора С. Вектор В суворо передує вектору С, якщо і тільки якщо одночасно з виконанням відношення несуворого передування існує принаймні один компонент b_i вектора В, що є суворо попереднім компоненту c_i вектора С.

Приклад. А={1, 2, 3}, А³ - множина векторів довжини 3.

<1, 2, 3>  <1, 2, 3> <1, 2, 3><1, 3, 3> <1, 2, 3>  <2, 2, 3> <1, 2, 3>_>|^< <2, 1, 3>.

Лема. Відношення несуворого (суворого) передування на множині векторів є відношення несуворого (суворого) порядку на множині векторів скінченної довжини.

Нехай F(A)=А* - множина усіх слів (векторів) скінченної довжини в алфавіті (множині) А и на множині А задане відношення лінійного суворого порядку. У цьому випадку можна ввести лексіграфічний порядок на множині F(A), який може визначатися як .

Для двох векторів В, СF(A) вектор В лексіграфично передує вектору С (ВС) тоді і тільки тоді, коли виконується одне з двох умов: а) існує таке і, де 1 і min (, C, що для всіх 1jі виконується b_j=c_j, але b_ic_i б) для всіх і, де 1іmіn (, C), b_i=c_i, але С.

Приклад. Слова лісліто борборовик, впорядковані в словнику.