25.1. Алгебра Жегалкіна

Алгебра Жегалкіна задана на всій множини булевих функцій на основі двох операції: нерівнозначності  і кон'юнкції .

Визначення. Алгебра Жегалкіна – цє система А=(В,  , 1), де основна множина В – цє множина усіх булевих функцій, сигнатура алгебри –  , додатково алгебру поповнює константа одиниці.

Тип алгебри Жегалкіна - (2, 2), тобто вона не є булевої алгеброю.

В алгебрі Жегалкіна виконуються такі тотожності:

1. ху=ух; ху=ух комутативність.

2. х(уz)=(xy)z; x(yz)=(xy)z асоціативність.

3. x(yz)=(xy)(xz) дистрибутивність кон'юнкції.

4. x0=x; x0=0; x1=x; x1=x властивості границь.

5. хх=0; хх=х приведення і ідемпотентність.

6. xx=1; xx=0 доповнення.

7. x(xy)=xy; x(xy)=x(xy) поглинання.

8. x(yz)=ху; x(xy)=ху Блейка-Порецького.

9. (xy)(xy)=0; (xy)(xy)=x склеювання.

10. (xy)=xy=xy; (xy)=(xy)1 де Моргана.

11. xy=(xy)(xy); xy=(xy)(xy) переклад у булев базис.

12. xy=xy.

13. xy=xy(xy) переклад у базис Жегалкіна;

14. xy=0x=y.

15. xy=zxz=y або zy=x.

Тотожності 4, 6, 13 дозволяють перейти від будь-якої формули булевої алгебри до відповідної їй формули алгебри Жегалкіна, а за допомогою тотожностей 4, 6, 11 можна здійснити зворотний перехід від алгебри Жегалкіна до булевої алгебри.

Приклад. x(xy) = x((1x)y) = x((1x)y(1x)y))= x(1 xyy(xy)) = x(xx)(xyx) = xx(xy) = xy;

1xy=xy=(xy)(xy).

Система операцій алгебри Жегалкіна   разом з константою «1» утворює так звану послаблено функціонально повну систему.

25.2. Типи булевих функцій

Визначення. У булевої алгебрі з множини булевих функцій від n змінних f(x₁, x₂,..., x_n) потужності 2^{2^n} виділяються п'ять типів булевих функцій (п’ять класів попередньо повних функцій):

1. Функції, що зберігають константу «0», тобто функції, що на нульових наборах аргументів приймають нульові значення:

f(x₁, x₂,..., x_n)f(0, 0,..., 0)=0.

Приклад. f(x₁, x₂)=x₁x₂f(0, 0)=0.

2. Функції, що зберігають константу «1», тобто функції, що на одиничних наборах аргументів приймають одиничні значення:

f(x₁, x₂,..., x_n)f(1, 1,..., 1)=1.

Приклад. f(x₁, x₂)=x₁x₂ f(1, 1)=1.

2. Самоподвійні функції, що приймають протилежні значення на будь-яких двох протилежних наборах:

Приклад. f(x)=xf(0)=1, f(1)=0.

2. Лінійні функції, що являються в алгебрі Жегалкіна канонічним багаточленом, що не утримує добутків змінних:

f(x₁, x₂,..., x_n)=a₀ a₁x₁a₂x₂...a_nx_n,

де а₀, а₁, а₂,..., а_n – константи, що приймають значення 0 чи 1

Приклад. f(x)=1 x₁ x₂.

2. Монотонні функції, що для будь-яких двох упорядкованих наборів аргументів x₁₁, x₁₂,..., x_1n і x₂₁, x₂₂,..., x_2n, де x₁₁, x₁₂,..., x_1n  x₂₁, x₂₂,.., x_2n, приймають також упорядковані значення, тобто f(x₁₁, x₁₂,..., x_1n) f(x₂₁, x₂₂,..., x_2n).

Приклад. f₁(x₁, x₂)=x₁x₂, f₂(x₁, x₂)=x₁x₂, f₃(x₁, x₂)=x₂

<x₁, x₂> f₁: f₂: f₃:

<0, 0> 0 0 0

<0, 1> 1 0 1

<1, 0> 1 0 0

<1, 1> 1 1 1

Крім ціх п’яти типів, викреслюють тип сіметричних функцій.

Визначення. Булева функція симетрична по змінним x_i, x_j, якщо f(…, x_i,…,x_j,…) = f(…, x_j,…,x_i,…). Булева функція симетрична, якщо вона симетрична по усім парам змінних.

Приклад. Функція f = x₁x₂x₃  x₁x₂x₃ симетрична по змінних x₁ і x₃. Функція f = x₁x₂  x₁x₃  x₂x₃ симетрична.