Розділ V. Булева алгебра

Лекція 22. Булеві функції

Вступ

Лекція має за мету навести базові поняття булевих функцій. Розглянути логічні, однорідні функції, тривіальні булеві функції від одного та двох аргументів. Звернено увагу на булеві формули, що будуються за допомогою суперпозиції, а також на рівнопотужність формул.

У лекції присутні три підрозділи:

6. Логічні функції

7. Булеві функції

8. Логічні формули

22.1. Логічні функції

Відмінна риса логічних функцій полягає в тому, що вони приймають значення в скінченних множинах, тобто область значень логічної функції - завжди кінцева множина.

Якщо область значень логічної функції містить k різних елементів, то функція називається k-значною.

Логічні функції можуть залежати від однієї, двох і більше числа змінних (аргументів) x₁, x₂,..., x_n, що на відміну від самої функції можуть приймати значення елементів як скінченних, так і нескінченних множин. У теоретико-множинному змісті логічна функція від n змінних y=f(x₁, x₂,..., x_n) являє собою відображення множини наборів слів (n-мірних кортежів, векторів) вигляду x₁, x₂,..., x_n, що є областю її визначення, на множину її значень =y₁, y₂,..., y_k.

Якщо аргументи приймають значення з тієї ж множині, що і сама функція, то її називають однорідною.

22.2. Булеві функції

Найбільш простим і найбільш важливим класом однорідних логічних функцій є клас двозначних булевих функцій.

Визначення. Булевою функцією називається однорідна логічна функція, що приймає значення з двоелементної булевої множини В=0, 1, або В=кривда, істина.

Тому що булева функція - однорідна, то будь-Якій її аргумент приймає значення з В=0, 1 чи В=хибність, істина, область визначення булевої функції від n змінних (аргументів) - це множина слів довжини n. Загальне число всіляких двійкових наборів довжини n дорівнює 2ⁿ . Число всіляких булевих функцій від n аргументів дорівнює 2^{2^n} (2^n – це два у степені n) . Будь-яка булева функція може бути задана таблицею істинності (відповідності), у лівій частині якої перераховані всі 2ⁿ наборів значень змінних, а в правій частині - значення функції на цих наборах.

Приклад. а) n=3, число наборів - 2³=8, число функцій - 2^{2^n}= 2⁸=256

б) n=5, число наборів - 2⁵= 32, число функцій - 2³²- 410⁹.

Булеві функції від однієї і двох змінних докладно досліджені.

Булеві функції однієї змінної

n=1, число наборів - 2¹=2, число функцій - 2²=4

Таблиця 22.1

х	Y0	Y1	Y2	Y3
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Y₀ і Y₃ - функції-константи (Y₀ - константа , Y_ - константа 1), що приймають постійні значення на всіх наборах аргументів. Функція ₁ повторює значення аргументу. Функції ₀, ₁, ₃ - тривіальні функції. Єдина нетривіальна функція - ₂, називається запереченням, чи інверсією, тобто y_=x і читається як у₂ дорівнює не x.

Булеві функції двох змінних

n=2, число наборів 2²=4, число функцій - 2⁴=16

Таблиця 22.2

Х1х2	у0 0	у1 	у2 	у3 х1	у4 	у5 х2	y6 	у7 	y8 	у9 	у10 х2	у11 	у12 х1	у13 	у14 	У15 
00	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
01	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
10	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
11	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

З наведених функцій шість функцій не залежать від х₁, чи х₂, чи обох разом. Це у₀=0 - константа нуля, у₁₅=1 - константа одиниці, функції повторення у₃=х₁ і у₅=х₂, а також функції заперечення у₁₀=х₂ і у₁₂=х₁. Інші булеві функції залежать від двох змінних. Частина з них має свої специфічні назви і широко використовуються в булевої алгебрі.

1. Булева функція кон’юнкції (логічного множення)

у₁=х₁х₂, чи у₁=х₁&х₂, чи у=х₁х₂, чи у=х₁х₂, чи у=х₁ і х₂.

Дану функцію називають логічним множенням, тому що її таблиця істинності збігається з таблицею множення для чисел  і , тобто дорівнює одиниці тільки при одиничних аргументах.

2. Булева функція диз'юнкції (логічного додавання)

у₇=х₁х₂, чи у₇=х₁х₂, чи у₇=х₁, чи х₂

Дана функція дорівнює одиниці, якщо хоча б один з аргументів дорівнює одиниці.

3. Булева функція додавання за модулем (нерівнозначності)

у₆ =х₁ х₂, чи у₆=(х₁ і х₂), чи (х₁ і х₂)

Дана функція дорівнює одиниці на незбіжних наборах х₁ і х₂.

4. Булева функція еквівалентності (рівнозначності)

у₉ =х₁х₂, чи у₉=х₁х₂, чи у₉=(х₁ і х₂),чи (х₂ і х₁).

Дана функція дорівнює одиниці на збіжних наборах х₁ і х₂.

5. Булева функція імплікації (логічного проходження)

у₁₃=х₁х₂ читається, «якщо х₁, то х₂ », чи у₁₃= х₁, чи х₂.

Дана функція дорівнює одиниці при х₁, дорівнюючому нулю і функція повторює значення х₂ при х₁, дорівнюючому одиниці, у₁₁=х₂х₁, читається «якщо х₂, то х₁» .

6.Булева функція заперечення (заборони) імплікації

у₂=(х₁х₂), чи у₂=х₁ іх₂.

В іншій інтерпретації цієї функції у₂=(х₁х₂), при цьому ліва і права стрілки розуміються однаково, тобто х₁х₂ = x₂x₁.

Дана функція дорівнює одиниці тільки при х₁ дорівнюючому 1 і х₂ дорівнюючому 0. Аналогічно, у₄=х₂х₁ у першій інтерпретації дорівнює одиниці тільки при х₂ дорівнюючому 1 і x₁ дорівнюючому 0.

7. Булева функція «стрілка Пірса» (заперечення диз'юнкції)

у₈=х₁х₂, чи у₈= х₁ і х₂.

Дана функція приймає одиничне значення тільки при нульових значеннях х₁ і х₂. У цьому зв'язку у₈ є запереченням диз'юнкції, у₈ =у₇ .

8. Булева функція «штрих Шеффера» (заперечення кон'юнкції)

у₁₄=х₁х₂ чи у₁₄= х₁ чи х₂.

Дана функція приймає одиничне значення, якщо хоча б х₁ чи х₂ дорівнює нулю. У цьому зв'язку у₁₄ є запереченням кон'юнкції, у₁₄=у₁.