7.2. Спеціальні властивості відношень

Визначення. n-відношення _Aⁿ на множини А називається:

• рефлексивним, якщо для будь-якого а виконується _Aⁿ(а, а,…,а), тобто _ⁿ_ⁿ;

• антирефлексивним, якщо не існує а, для якого виконується _Aⁿ(а, а,…,а), тобто _ⁿ_ⁿ=;

• іррефлексивним (нерефлексивним), якщо для деяких, але не для всіх а виконується _Aⁿ(а, а,…,а), тобто _ⁿ_ⁿ і _ⁿ_ⁿ.

Приклад. Нехай є множина A = {a, b}. Тернарні відношення 1_A³ = {(a,a,a), (b,b,b), (a,b,b), (b,a,b)}, 2_Aⁿ = {(a,b,b), (b,b,b), (a,b,a), (b,a,b)}, 3_Aⁿ = {(a,b,a), (b,b,b), (a,b,b), (b,a,b)} відповідно рефлексивне, антирефлексивне, іррефлексивне.

Визначення. Бінарне відношення _A на множині А називається:

• рефлексивним, якщо для будь-якого а виконується _A(а, а), тобто _  _;

• антирефлексивним, якщо не існує а, для якого виконується _A(а, а), тобто _  _=;

• іррефлексивним (нерефлексивним), якщо для деяких, але не для всіх а виконується _A(а, а), тобто _  _ і __.

Приклад. Нехай є множина A = {a, b}. Бінарні відношення 1_A = {(a,a), (b,b), (a,b)}, 2_A = {(a,b), (b,a)}, 3_A = {(a,b), (b,b), (b,a)} відповідно рефлексивне, антирефлексивне, іррефлексивне.

Визначення. n-відношення _Aⁿ на множині А називається:

• симетричним, якщо при справедливості _Aⁿ(а₁^і, а₂^і_,…,а_n^і) графік _Aⁿ містить і будь-яку перестановку вектора (а₁^і, а₂^і_,…,а_n^і);

• антисиметричним, якщо для кожного вектора (а₁^і, а₂^і_,…,а_n^і), для якого справедливо _Aⁿ(а₁^і, а₂^і_,…,а_n^і), графік _Aⁿ не містить хоча б одну перестановку вектора (а₁^і, а₂^і_,…,а_n^і);

• асиметричним, якщо воно не є ні симетричним, ні антисиметричним, тобто для деяких векторів виконується властивість симетричності, а для деяких векторів – властивість антисиметричності.

Приклад. Нехай є множина A = {a, b}. Тернарні відношення 1_A³ = ={(a,a,b), (b,b,b), (a,b,a), (b,a,a)}, 2_Aⁿ = {(a,b,b), (b,b,b), (a,b,a)}, 3_Aⁿ = {(a,b,a), (b,b,b), (a,b,b), (b,a,b), (b,b,a)} відповідно симетричне, антисиметричне, асиметричне.

Визначення. Бінарне відношення _A на множині А називається:

• симетричним, якщо при справедливості _A(а₁, а₂) графік _A містить і вектор (а₂, а₁);

• антисиметричним, якщо для кожного вектора (а₁, а₂), для якого справедливо _A(а₁, а₂), графік _A не містить вектор (а₂, а₁);

• асиметричним, якщо воно не є ні симетричним, ні антисиметричним, тобто для деяких векторів виконується властивість симетричності, а для деяких векторів – властивість антисиметричності.

Приклад. Нехай є множина A = {a, b, c}. Бінарні відношення 1_A = ={(a,a), (b,a), (a,b)}, 2_A = {(a,b), (b,b), (c,c)}, 3_A = {(a,b), (b,b), (b,a), (c,a)} відповідно симетричне, антисиметричне, асиметричне.

Визначення. Бінарне відношення _A на множині А називається транзитивним, якщо зі справедливості _A(a, b) і _A(b, с) випливає справедливість _A(а, с) для будь-яких a, b, c, у іншому разі відношення не транзитивне.

Визначення. Бінарне відношення _A на множини А називається зв'язним, якщо для будь-яких a, b справедливо _A(a, b) чи _A(b, а), у іншому разі відношення не зв'язне.

Приклад. Нехай є множина A = {a, b, c, d}. Бінарні відношення 1_A = {(a,c), (b,a), (c,d), (b, c), (b, d), (a, d)}, 2_A = {(a,b), (b,c), (c,d), (a,c)} відповідно транзитивне і нетранзитивне.

Приклад. Нехай є множина A = {a, b, c, d}. Ті сами бінарні відношення з попереднього прикладу 1_A = {(a,c), (b,a), (c,d), (b, c), (b, d), (a, d)}, 2_A = {(a,b), (b,c), (c,d), (a,c)} відповідно зв’язне і незв'язне.

Якщо відношення _Aⁿ задовольняє кожної з перерахованих властивостей, то обернене відношення (_Aⁿ)^-1 задовольняє цю же властивість.

Контрольні запитання

1. Що є проекцією, перерізом, об’єднанням і фактор-множиною для n-арних відношень?

2. Які n-арні відношення є функціональними, ін’єктивними?

3. Які n-арні відношення є скрізь визначеними, сюр’єктивними?

4. Яка функція називається зв'язаною з n-арним відношенням ⁿ?

5. У чому різниця між відображенням множини А в множину В і відображенням множини А на множину В?

6. Що є образ і прообраз для відношення, чи можливе узагальнення образа і прообраза на n-арні відношення?

7. У чому різниця між рефлексивним, антирефлексивним і іррефлексивним бінарними (n-арними) відношеннями?

8. Що є симетричним, антисиметричним і асиметричним бінарним (n-арним) відношенням?

9. Що означає транзитивність і нетранзитивність для бінарних відношень?

10. Яка різниця між зв’язністю і лінійністю для бінарних відношень?