36.3. Правила застосування кванторів

1. Однойменні квантори можна переставляти місцями

х у Р(х, у) = у х Р(х, у)

х у Р(х, у) = у х Р(х, у)

2. Різнойменні квантори в загальному випадку переставляти не можна

х у Р(х, у)  у х Р(х, у)

3. Між кванторами спільності  і існування  мають місце співвідношення, що узагальнюють закони деМоргана.

(х Р(х)) = х(Р(х))

(х Р(х)) = х (Р(х))

Вираження, які можна утворювати застосуванням до предикатів зв'язувань і кванторів, являють собою формули логіки предикатів. Під логічними зв'язуваннями розуміються слова «не», «і», «чи», «якщо..., то...», «якщо і тільки якщо...». Оскількі предикати - це двозначні логічні функції, то кожному з цих зв'язувань відповідає своя логічна операція - заперечення, кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації, еквівалентності відповідно.

Визначення. Предикатною формулою є: a) деяка елементарна формула; b) кожен з виразів АВ та хM(A(x)), якщо А і В формули та х – предметна змінна ( - зв'язка послідовності висловлень); c) деякій вираз, коли це випливає з правил a), b).

У математиці предикати і формули логіки предикатів широко використовуються для символізації запису властивостей, визначень, відношень. Переклад пропозицій з якої-небудь розмовної мови на символічну мову логіки предикатів є нетривіальним через відсутність «механічних» правил. Цей переклад заснований не стільки на формі звичайних пропозицій, скільки на виявленні їхнього зв'язку значень.

Приклад. Нехай Р(х₁, х₂) - бінарне відношення , визначене на множині Х. При розгляді його як двомісного предиката можна записати властивості відношень:

а) рефлективність: х Р(х, х) чи х (хх)

б) симетричність: х₁ х₂(Р(х₁, х₂)Р(х₂, х₁₎)

чи х₁ х₂((х₁х₂)(х₂х₁))

в) транзитивність: х₁ х₂ х₃((Р(х₁, х₂)Р(х₂, х₃))Р(х₁, х₃))

чи х₁ х₂ х₃(((х₁ х₂)(х₂ х₃))(х₁ х₃)).

Формули логіки предикатів, у яких заперечення відносяться тільки до елементарних предикатів чи висловлень, причому з логічних операцій містяться тільки операції булевого базису {, , }, називаються приведеними чи майже нормальними формами.

Приклад. х₁ х₂(Р(х₁, х₂)Р(х₂, х₁)) - неприведена формула; (х Р(х)) - не приведена формула; х (Р(х, х)) - приведена формула; х₁ х₂ (Р(х₁, х₂)Р(х₂, х₁))  ( Р(х₁, х₂)Р(х₂, х₁)) – не- приведена формула.

За допомогою предикатів можна здійснити запис функцій.

Приклад. Для n-входового кон'юнктора (схеми, що реалізує кон'юнкцію від n змінних) y=(x₁, x₂,…,x_i,…,x_n) запис за допомогою предикатів виглядає

х_і P(x_i)  P(y).

Для n-входового диз'юнктора (схеми, що реалізує диз'юнкцію від n змінних) y=(x₁, x₂,…,x_i,…,x_n) запис за допомогою предикатів виглядає

х_і P(x_i)  P(y).

Для функції y = x₁ x₂  x₂ x₄ запис за допомогою предикатів, хоч і трохи громіздко, але виглядає

 (x₁, x₂) (((P(x₁) і P(x₂)) чи (P(x₂) і P(x₄)))  P(y).

Для n-входової схеми нерівнозначності (схеми, що реалізує складення по модулю “2” від n змінних) y=(x₁, x₂,…,x_i,…,x_n) запис за допомогою предикатів такий:

((х_і1, х_і2, ..., х_і2k+1) P(x_im))&((х_j1, х_j2, ..., х_j2r) P(x_jt))P(y), де m<2k+1<n та t<2r<n.

Контрольні запитання

1. Що є предикатом, чи є предикат булевою функцією, від кількох аргументів може бути предикат?

2. Що є предметними змінними та предметними постійними, яка між ними різниця?

3. Що є термом, які три правила формально визначають терм?

4. Які операції використовують у логіці предикатів, як виконати перехід від неформального словесного опису к предикатній формулі?

5. Яка різниця між кванторами спільності та існування?

6. Що є зв'язаними та вільними змінними?

7. Що мають на увазі, коли кажуть, що квантори зв'язують перемінну, скільки може бути таких зв'язувань?

8. Чи можна застосовувати до предиката декількох кванторів?

9. Які базові правила перетворень можна застосувати до кванторів?

10. Що є предикатною формулою, які три правила формально визначають формулу?

11. Що є приведеною або майже нормальною формою для предикатів?