24.2. Спрощення запису формул

З таблиці булевих функцій від двох змінних можна побачити, що між функціями є залежність у_і=y_15-i , де 0  і  15. На підставі цього можна записати співвідношення

для констант: 0=1 і 1=0;

для БФ від однієї змінної: х= (х);

для БФ від двох змінних: х₁х₂=(х₁х₂); х₁х₂=(х₁+х₂); х₁х₂=(х₁х₂); х₁х₂=(х₁х₂); х₁х₂=(х₁+х₂); х₁х₂=х₁+х₂); х₁+х₂=(х₁х₂); х₁х₂=(х₁х₂); х₁х₂=(х₁х₂); х₁+х₂=(х₁х₂).

З наведених залежностей випливає, що будь-яка функція двох змінних, включаючи і константи, виражається в аналітичному вигляді через сукупність із шести функцій, що містить заперечення і будь-які функції із зазначених пар {у₀, у₁₅, {y₁, y₁₄}, {y₂, y₁₃}, {y₄, y₁₁}, {y₆, y₉, y₇, y₈} і що є надлишковою.

Легко довести, що

(х₁х₂)=х₁х₂;

(х₁х₂)=(х₁х₂)(х₁х₂) .

Сукупність можна скоротити до чотирьох функцій: “константи 0”, заперечення х, диз'юнкції x₁x₂ і кон’юнкції х₁х₂. Ці чотири функції також можуть бути скорочені – із законів де-Моргана і інволютивності (подвійного заперечення).

Таким чином, виконуються тотожності:

х₁х₂=(х₁х₂);

х₁х₁=0;

(х₁х₁)=0;

х₁х₂=(х₁х₂).

Звідси випливає, що булеві функції виконуються через заперечення і кон’юнкцію чи заперечення і диз'юнкцію.

Якщо в булевій формулі змінні зв'язані тільки одним типом операції (диз'юнкції чи кон'юнкції), то дужки не ставляться.

Приклад. (х₁х₂)(х₃х₄)=х₁х₂х₃х₄

Дужки, у яких береться загальна операція інверсії (заперечення), можна також опускати, тому що для операцій заперечення, кон'юнкції і диз'юнкції пріоритет зменьшується ліворуч праворуч перерахування заперечення, кон'юнкції, диз'юнкції.

Приклад. (ху)z=xyz=(x y) z=x y z.

24.3. Подвійність формул булевої алгебри

У булевій алгебрі має місце принцип подвійності. Взаємно подвійними операціями є диз'юнкція і кон'юнкція. Заміняючи в деякій формулі кожну операцію на подвійну їй, одержуємо подвійну формулу.

Приклад. Формула (х₁х₂)(х₃х₄) Подвійна формула (х₁х₂)(х₃х₄).

Визначення. Таблиця істинності подвійної функції f^ виходить заміною значень змінних і значень самої функції f у таблиці істинності вихідної функції f на протилежні, тобто 01, 10.

Приклад. х₁ х₂ f=x₁x₂ x₁ x₂ f^ =x₁x₂

0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 0 0

1 0 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0

Залишається тільки перевернути отриману таблицю для зростання значень аргументів зверху вниз.

X₁ x₂ f^ =x₁x₂

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Формула чи функція, рівносильна своїй подвійній функції, називається самоподвійною.

Приклад. у₁=х₁х₂х₁х₃х₂х₃ та y₂=(х₁х₂)(х₁х₃)(х₂х₃) – подвійні і рівносильні функції, тобто y=у₁=у₂ – самоподвійна функція.

Теорема. Якщо формули f₁ чи f₂ рівносильні, то і подвійні їм формули f₁^ і f₂^ також рівносильні, і навпаки.

f₁=f₂f₁^=f₂^

Приклад. х(ху)=х  х(ху)=х х(ху)=ху  х(ху)=ху.

Теорема. (принцип подвійності): Якщо в булевій формулі f замінити кон'юнкції на диз’юнкції, «0» на «1», «1» на «0», то одержимо формулу f^, подвійну вихідної.

Приведення булевих формул до досконалой нормальної форми також засновано на використанні тотожностей булевої алгебри, зокрема використанні подвійних формул.