1.3. Доведення тотожностей. Булева алгебра множин

Для доведення тотожностей використовується універсальний метод, в основу якого покладене визначення рівності (еквівалентності) двох множин. Кожне з доведень складається з послідовності тверджень вигляду “якщо Р, то Q”, записується як “PQ” і що читаються як “з  випливає Q” Отже, якщо існує послідовність тверджень Р, Р₁, Р₂, Р₃, ..., Р_n, Q така, що з Р випливає Р₁, з Р₁ випливає Р₂,…з Р_n випливає Q, то існує доведення, що “з Р випливає Q” тобто Q.

Приклад. D=С = (С)=E

а) Доведемо, що D Якщо dD, то d і dC), чи отже, (d і d), чи (d і dC). Це значить, що d чи dC), тобто d()(AC), що записується як dE. Тобто, DE.

б) Доведемо, що ЕD. Якщо еE то е(( чи С)), отже е і е) чи е і еC. Це значить, що е і еC) тобто еD. Тобто, ЕD. Отже, D=Е.

Для доведення тотожностей можуть бути використані доведені раніше тотожності.

Приклад. ;   U  U  = U  .

Для кожної множини М, булеан У(М) замкнутий щодо операцій ,\,-,, тобто для всяких М₁, М₂ множини, одержувані в результаті виконання операцій М₁₂, ₁₂, ₁\₂, ₂\_1, ₁-₂, ₁,₂ є елементами булеана В(М).

Булеан (М) разом з (булевими) операціями на ньому утворюють так звану (булеву) алгебру множин. Кожна підмножина M’ булеана В(М) замкнута відносно (булевих) операцій, містить як множини, що є підмножинами кожної множини з M’, так і множини, що містять як підмножини кожну множину з M’. Таким чином, M’ з (булевими) операціями також виявляється (булевою) алгеброю.

1.4. Узагальнення операцій. Подвійність

Завдякі властивості асоціативності об'єднання, Перетин і симетрична різниця довільних сімей множин можуть бути записані без пріоритетних дужок.

1. М₁₂М_n{М_і| і  n}={m| існує і, де 1іn, таке, що m_і.

2. М₁₂_n=_і| і  nm| для кожного і., де іn, виконане m_і.

3. М₁₂_n_і| і  n m| існує і єдино і, де 1іn, таке, що m_і.

Ці визначення узагальнюються на випадок, коли множини М_і задані як елементи деякої сім'ї множин М и потрібно виконання деякої додаткової умови В:

_і|_і і М_і задовольняє умову В.

Приклад. _і|_і і _і₀ множина усіх від'ємних цілих чисел.

Замість _і|і використовується запис _і . Аналогічно - для  і 

Перші вісім тотожностей представлені парами подвійних (дуальних) співвідношень, одне з яких виходить заміною в іншому символів “” на “” і “” на “”, а також  на U і U на  Відповідні пари символів   і  U називаються подвійними (дуальними).

Принцип подвійності: При заміні в будь-якій теоремі (тотожності, формулі) вхідних у неї символів дуальними одержимо новий вираз, що також є теоремою (тотожністю, формулою).

Тотожності 9, 11 не змінюються при заміні символів дуальними і називаються самоподвійними. Принцип подвійності поширюється на “\”  а також на вираження, що включають знаки “” і ”” які при переході до дуальних виражень заміняються на знаки відповідно “” і “”

Різні вираження алгебри множин можна спрощувати чи перетворювати до зручного вигляду за допомогою тотожних перетворень, тобто послідовності застосувань відповідних властивостей (тотожностей) операцій над множинами.

Контрольні запитання

1. Що є множина, фактор-множина, порожня множина і універсум?

2. Які способи завдання множин існують?

3. Які операції діють над множинами?

4. Як можуть співвідноситися дві множини?

5. Які тотожності для операцій над множинами існують?

6. Які способи доведення тотожностей існують?

7. Для яких операцій можливе узагальнення і яке саме?

8. У чому полягає принцип подвійності?