6.1. Перестановка, ототожнення, приписування фіктивної координати

Крім множинних операцій, у теорії n-відношень використовуються спеціальні операції перестановки й ототожнення координат (стовпців), приписування фіктивної координати, а також згортки де-Моргана. Нехай ⁿ – відношення на множинах А₁, А₂, … , А_n, k=(1, 2, …, n) – набір координат (номерів) стовпців у матриці графіка ⁿ_{1, … , An}, k=(і₁, і₂, … , i_n) – набір, отриманий з k у результаті деякої перестановки елементів.

Визначення. Операція _к’(ⁿ) перестановки координат породжує ставлення n-відношення ⁿ на множинах Аi₁, A_i2, …, A_in, графік якого ⁿ_{Ai, … , Ain} виходить із графіка ⁿ_1,…,An, перестановкою його стовпців відповідно до набору k.

Визначення. Нехай k₀=(2, 3, …, n, 1). Перестановка _k(ⁿ) називається циклом і позначається (ⁿ).

Визначення. Нехай k_=(2, 1, 3, … , n). Перестановка _k1(ⁿ) називається транспозицією і позначається (ⁿ).

За допомогою циклу n транспозиції можна виразити будь-яку перестановку (ⁿ).

Нехайk=(n, n-1, …, 2, 1).

Визначення. Відношення (ⁿ)^-1=_k(_n) над множинами A_n, A_n-1,…, A₂, A₁, отримане з відношення ⁿ у результаті перестановки, що відповідає наборуk називається оберненим.

Очевидно, =(a_n, a_n-1, …, a₂, a₁)ⁿ)^-1_{An, …, A1}, тоді і тільки тоді, коли ^-1=(a₁, a_2,,…, a_n)ⁿ_{1, An}

Приклад. Для бінарних відношень  справедливо ^---1=, ^--1=, ^--1=,^--1= (Операція перестановки).

Операція перестановки для бінарних відношень є інверсією.

Для обернання n-відношень виконуються рівності (при ⁿⁿ)

1. ((ⁿ)^-1)^-1=ⁿ

2. (ⁿ)^-1ⁿ)^-1

3. (_iⁿ)^-1=(_iⁿ)^-1

4. (_iⁿ)^-1=(_iⁿ)^-1

5. (ⁿ)^-1=((ⁿ)^-1)

З рівностей випливає, що для Ф^-1₁ⁿ, ₂ⁿ,..., _ⁿ)=((₁ⁿ)^-1, (₂ⁿ)^-1,..., (_kⁿ)^-1), де Ф – формула, побудована з відношень ₁ⁿ, ..., _ⁿ за допомогою операцій , , . Крім того, справедлива рівність

6. (ⁿ^m)^1 = (^m)^1(ⁿ)^1.

Нехай ⁿ – відношення на множинах А₁, …, А_n і j₁, j₂, …, j_l - деяка підмножина множини номерів 1, 2, …, n}.

Визначення. Операція ототожнення координат ⁿ) породжує відношення  ^n-l+l= _{j1,j2 . , jl}(ⁿ) на множинах A₁,…, A_j2-1, A_j2+1, …, A_j3-1, A_j3+1, …, A_jl-1, A_jl+1, …, A_n, графік якого виходить із графіка ⁿ_1,…An у результаті виділення множини векторів =а₁^і, a₂ⁱ, …, a_nⁱ)| a_j1ⁱ=a_j2ⁱ=…=a_jl ⁱ}ⁿ_{1,…, An} з наступним викреслюванням у кожнім векторі  елементів a_j2ⁱ, a_j3ⁱ, …, a_jl ⁱ.

Тобто у відношенні ⁿ виділяються усі вектори, в яких збігаються компоненти, розташовані в стовпцях з координатами j₁, …, j_, з наступним виключенням стовпців-копій, що мають координати j₂, j₃, …, j_.

Приклад. Для відношення ⁵_{А1,А2,А3,А4,А5} з попереднього приклада ₂₄^ ^, де  ⁴:

 ⁴_{А1,А2,А1,А3}= 0, a, 0, b

1, b, 1, c

1, b, 1, d

Для відношення  ⁴ ₁₃ ⁴⁾=³, де ³:

³_А1,А2,А3 = 0, a, b

1, b, c

1, b, d

Якщо l=2, j₁=1, j₂=2, то ототожнення ₁₂(ⁿ) позначається ⁿ). За допомогою (ⁿ) і перестановки координат можна зробити будь-яке ототожнення координат.

Визначення. Відношення ⁿ на множині А називається діагоналлю, якщо для будь-якого а виконується (a, …, a)ⁿ.

Приклад. Бінарне відношення рівності на множині  - діагональ. Якщо _1,2,…nⁿ)- відношення на множини А, то _1,2,…n(ⁿ)ⁿ. Крім того, для будь-якого відношення ⁿⁿ виконується (ⁿ)^—1=ⁿ.

Визначення. Операція приписування фіктивної координати (ⁿ) породжує відношення ⁿ⁺¹=ⁿ) над множинами A, A₁, A₂, ..., A_n таке, що при справедливості ⁿ(а₁ ^j, a₂ ^j, ..., a_n ^j) виконується  ⁿ⁺¹(a, a₁ ^j, a₂ ^j, ..., a_n ^j) для будь-якого а.

Операція приписування відношенню ⁿ фіктивної координати по множині А полягає в утворенні відношення ⁿ⁺¹=(ⁿ) із графіком, одержуваним таким чином: для кожного вектора =(a₁ⁱ, a₂ⁱ, …, a_nⁱ)ⁿ_1,…,An будуються вектори (а, а₁^і, a₂ⁱ, …, a_nⁱ) ⁿ⁺¹_A,A1,…,An, отримані приписуванням до вектора  ліворуч по черзі всіх елементів множини А.

Приклад. Для ³ на множини А= із графіком

³_А= 1, 0, 0

0, 1, 0

0, 0, 1

у результаті приписування фіктивної (на множині А) координати

⁴_А= 0, 1, 0, 0

0, 0, 1, 0

0, 0, 0, 1

1, 1, 0, 0

1, 0, 1, 0

1, 0, 0, 1

Операція , зокрема, вирівнює арності у відношеннях.