29.3. Спрощення днф за матричною формою Закревського

Перший крок побудови максимальних інтервалів для заданого елемента матричної форми заснований на використанні симетрії матриці в коді Грея. Із цією метою виділяються осі симетрії й зони їхньої дії.

Визначення. Віссю симетрії за змінною x_i називається лінія зміни значення цієї змінної за матричною формою. Для деяких змінних у матричній формі присутня кілька осей симетрії.

Приклад. У матричній формі виділені осі симетрії всіх змінних і показані для виділених елементів симетричні їм елементи.

Таблиця 29.5

					x3	x3
			x2	x2			x2	x2
		x1	x1	x1	x1	x1	x1	x1	x1
	x4|
x5|	x4|			
x5|	x4|
	x4|								

Осі симетрії уявляють подумки. Кожна вісь симетрії має зону своєї дії, якщо вісь одна, зона її дії вся матриця, якщо осей дві, зона їхньої дії по половині матриці й т.д.

Лема. Елементи матричної форми, які відповідають наборам, що склеюються, розташовані симетрично щодо осі симетрії змінної, за якою набори склеюються, і в зоні її дії.

Властивість симетрії дозволяє дати нове визначення інтервалу.

Визначення. Інтервал – це сукупність 2^k елементів матричної форми, симетрично розташованих по k осях внутрішніх змінних у зоні їхньої дії.

Інтервал належить функції, якщо на всіх його елементах функція дорівнює одиниці для ДНФ (нулю для КНФ) або не визначена (для часткових функцій). Інтервал називається максимальним, якщо він належить функції, але при симетруванні його по кожній з осей зовнішніх змінних відбувається поглинання елементів, на яких функція дорівнює нулю для ДНФ (одиниці для КНФ).

Приклад. Максимальні інтервали з виділенням осей внутрішніх змінних, по яких елементи інтервалів становлять симетричну фігуру (табл. 29.6).

Таблиця 29.6

					x3	x3
			x2	x2			x2	x2
		x1	x1	x1	x1	x1	x1	x1	x1
	x4|						
x5|	x4|						
x5|	x4|
	x4|								

Сукупність 2² елементів (табл. 29.7) не є інтервалом, тому що ця фігура не симетрична щодо осей симетрії елементів у зоні їхньої дії. Елементи, позначені «а», симетричні по осі х₃, тому інші елементи, позначені «в», щоб формувати інтервал, повинні бути симетричні по цій же осі, але це не так. Елементи, позначені «в», симетричні по осі х₂, тому елементи, позначені «а», повинні мати в інтервалі симетричні елементи по осі х₂, але це також не так.

Таблиця 29.7

					x3	x3
			x2	x2			x2	x2
		x1	x1	x1	x1	x1	x1	x1	x1
	x4|
x5|	x4|				а	а	в	в
x5|	x4|
	x4|

На другому кроці виконується побудова максимальних інтервалів. Визначаються безлічі X^m_пвп потенційно внутрішніх змінних для виділеного елемента m з безлічі М – змінних, по осях симетрії яких для вихідної точки симетрично розташовані сусідні точки або невизначені елементи (~). Потенційно внутрішні змінні так називаються, тому що вихідна точка може склеїтися, утворивши інтервал з кожним зі своїх сусідів, і тоді відповідна змінна стане внутрішньої. Не завжди все потенційно внутрішні змінні можуть одночасно бути внутрішніми в одному інтервалі.

Приклад.

У клітках матриці показане число сусідів для всіх точок. Безлічі Х_пвп для: 11000 – х₁, х₃, х₄, х_5, 00010 – х₁, х₂, х₃, 10110 – х₁, х₃, 10001 – х₂, х₃, 11001 – х₁, х₂, х₃, х₄, х₅. Для точки 11000 чотири змінних потенційно внутрішні, але максимальні інтервали покриваючі цю точку, мають кожний внутрішніми тільки деяку підмножину цих змінних: для інтервалу ~1~0~ - x₁, x₃, x₅,для інтервалу ~10~0 – х₁, х₄, для інтервалу 110~~ - х₄, х₅.

Таблиця 29.8

						x3	x3	x3	x3
				x2	x2	x2	x2
			x1	x1			x1	x1
				4	4	3	3
	x4|	3	3	4	3			2	2
x5|	x4|			3			2
x5|			2	5	3	3	5	2

Для визначення максимальних інтервалів, що містять задану точку, знаходять максимально сумісні підмножини змінних множин Х_пвп цієї точки. У цьому пошуку використовується алгоритм граничного перебору на опуклій безлічі трансформуванням процедури перевірки сумісності змінних: змінні сумісні, якщо симетричний для них інтервал належить функції.

Контрольні запитання

1. Що таке послідовний позиційний код і код Грея?

2. Як будується матрична двовимірна форма?

3. Що розуміється під інтервалом?

4. Що називають зовнішніми й внутрішніми змінними?

5. Як являють інтервал у матричній формі?

6. Як визначаються осі й скільки їх може бути ?

7. Які кроки є в спрощенні ДНФ за матричною формою Закревського?

8. Що називають максимальним інтервалом?

Список літератури

Основна

1. Закревский А.Д. Логический синтез каскадных схем. – М.: Наука, 1991. – С.100-123.

Додаткова

2. Новоселов В.Г., Скатков А.В. Прикладная математика для инженеров-системотехников. Дискретная математика в задачах и примерах. – К.: Учебно-методический кабинет высшего образования, 1992. - С.146-183.

Для практичних занять

3. Методичні вказівки й завдання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915 / О.М. Мартинюк. - Одеса: ОНПУ, 2001. – С.38-40.

Лекція 30. Алгоритм побудови максимальних інтервалів

Вступ

Лекція має на меті дати формулювання алгоритму побудови всіх максимальних інтервалів і методу Блейка. Розглянуто кроки процедури для заданої точки. Наведено конкретний алгоритм побудови інтервалів для ДНФ. Показано застосування узагальненого склеювання в методі Блейка. Звернено увагу на самоперевірку й точність алгоритму Закревского.

У лекції присутні три підрозділи:

1. Формулювання алгоритму побудови максимальних інтервалів для точки

2. Алгоритм для ДНФ

3. Метод Блейка