28.2. Мінімізація частково визначених функцій

Визначення. Частково визначеною функцією називається функція, визначена не на всіх наборах значень змінних.

Частково визначені функції зустрічаються, коли деякі з наборів, що використовують при мінімізації, не застосовуються, якщо додатково визначають функцію на байдужих наборах для економічної реалізації.

Нехай дана частково визначена функція y=f(x₁, x₂,..., x_n). Тоді y¹=f¹(x₁, x₂,..., x_n) - функція, додатково визначена на всіх байдужних наборах одиницями; y⁰=f⁰(x₁, x₂,..., x_n)- функція, додатково визначена на всіх байдужих наборах нулями.

Задача довизначення даної функції для ДНФ зводиться до вибору зі скороченого покриття функції у¹ (для КНФ - до вибору зі скороченого покриття функції у⁰) мінімальної кількості кубів максимальної розмірності, сукупність яких покривала б усі вершини функції у. Така сукупність кубів і утворює мінімальне покриття булевої функції у.

Приклад. Задані функція у=¹(5, 6, 7, 13) і її невизначені набори (0, 4, 8, 15). Карта Карно дає представлення про мінімізацію

Таблиця 28.3

У x1,x2 x3x4	00	01	11	10
00	0	1		0
01		1	1
11		1	1
10		1

З карти Карно з урахуванням байдужих наборів випливає формула y=x₁x₂x₂x₄. Комплекс кубів Квайна (підкреслені невизначені куби) і таблиця покрить (табл. 18.4) мають вигляд:

К₀= 0000 К₁= 000 К₂= 01

0100 000 11

1000 010

0101 010 К₃=

0110 011

0111 101

1101 011

1111 011

111

111

Таблиця 28.4

	0101	0110	0111	1101
01xx					A
x1x1					B
	AB	A	AB	B

З таблиці покрить випливає існування двох екстремалей 01xx і x1x1, що утворюють ядро і покривають усі конституенти 1 функції, отже, МДНФ має вигляд y_min=x₁ x₂  x₂ x₄.

Приклад. Мінімізацію той самої часткової функції можна виконати для КНФ: у=⁰(1, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 14) і її невизначені набори (0, 4, 8, 15).

Модифікований комплекс кубів для методу Квайна-МакКласкі (підкреслені невизначені куби) і таблиця покрить (табл. 18.5) мають вигляд

К₀= 0000 К₀= 0000 К₁= 000 К₂= 00 К₃= 0 К₄= 

0100 ---- 000 00

1000 0100 000 00

0001 1000 000 00

0010 0001 ---- ----

0011 0010 100 10

1001 ---- 100 10

1010 0011 100 01

1011 1001 100 01

1100 1010 001 ----

1110 1100 001 11.

1111 ---- 001

1011 010

1110 ----

---- 011

1111 101

101

110

110

----

111

111

Скорочена форма комплекса, містить чотири куби 0, 00, 10, 11, а таблиця покрить Квайна має вигляд

Таблиця 28.5

	0001	0010	0011	1001	1010	1011	1100	1110
0									A
00									B
10									С
11									D
	A	A	A	А	АСD	АD	BС	CD

З таблиці покрить випливає існування екстремалі 0, що утворює ядро, останні два стовпця покриває 10, отже y_min=x₁x₄  x₂. Тобто МКНФ краще, ніж МДНФ.

Контрольні запитання

1. Що змінює модифікація методу Квайна-МакКласкі у методі Квайна?

2. Як у методі Квайна-МакКласкі розбити множини кубів на класи?

3. Що є частково визначеною функціей?

4. Як загально сформулювати задачу довизначення часткової функції?

5. Як виконується використання не визначених наборів у карті Карно для мінімізації ДНФ і КНФ?

6. Як виконується використання не визначених наборів у методах мінімізації Квайна і Квайна-МакКласкі для ДНФ і КНФ?

7. Якщо зробити довизначення у однієї функції для ДНФ і для КНФ, чи будуть отримані після мінімізації формули еквівалентними?