13.3. Принцип включення і виключення

Дотепер мова йшла про підрахунок числа підмножин, що утворяться шляхом вибірки об'єктів з деякої множині відповідно до умов, що визначають їхню кількість, упорядкованість і повторюваність. Не менше значення мають задачі перерахування, зв'язані з властивостями об'єктів.

Нехай є N об'єктів і деяка сукупність властивостей . Позначимо черезN, N, Nі т.д. кількість об'єктів, що мають відповідно властивостями і т.д. Очевидно, таких чисел буде стільки, скільки підмножин можна утворити з елементів множиніН, тобто (деякі числа можуть дорівнювати нулю). Якщо бажають підкреслити, що враховуються об'єкти, що не мають властивістю , то пишуть. Наприклад,Nозначає число об'єктів, що мають властивостійі не мають властивість.

Формула включення і виключення. Число об'єктів, що не мають жодним із властивостей множини Н, визначається формулою включення і виключення:

Дійсно, при відниманні з N об'єктів із властивостями (і = 1, 2, ..., п) об'єкти, що мають дві властивості і (і j), віднімаються двічі, і тому потрібно додати N, де — попарні сполучення елементів з Н. Але при цьому двічі враховуються ті об'єкти, що мають три властивості і, отже, їх необхідно виключити, тобто відняти суму всіх N, де — сполучення з n властивостей по трьох. Цей процес включення і виключення продовжується до останнього члена , що визначає число об'єктів із усіма п властивостями, знак якого залежить від парності п. Наведена формула відома також під назвами: символічний метод, принцип перехресної класифікації, метод решета, формула обернення.

Якщо записати і розглянути послідовність символівяк алгебраїчний добуток, то формулу включення і виключення можна представити в символічному вигляді.

Приклад. Для n = 3 мається

причому приймається, що N(1) = N.

ЗавдЯкі такій формалізації можна записати формулу для числа об'єктів, що мають і не мають деякі властивості:

.

Приклад. Нехай задані властивості шарів: -сталева, -чорна, — сферична, причому N () = 13; N() = 10; N() =14;N== 4; N= 5; N = 3 і N= 1. Якщо є усього N = 38 шарів, то число таких з них, що не мають жодної із зазначених властивостей, буде N =38 — (13 + 10 + + 14) + (4 + 5 + 3) — 1 = 12. Число сталевих, але не чорних і не сферичних шарів дорівнює:

+

+

Принцип включення і виключення наочно ілюструється діаграмою Венна, що для розглянутого прикладу показана на рис. 13.1.

Рис. 13.1. Діаграма Венна для множин, що характеризуються трьома властивостями

13.4. Розбивки

Розбивки. Набір цілих позитивних чисел називається розбивкою числа п, якщо п = .Числа(і = 1, 2, ..., k) називають частинами, а їхню суму п — характеристикою розбивки. При підрахунку числа можливих розбивок можуть враховуватися додаткові умови — тип розбивки, величини і загальне число частин, число повторень.

Приклад. Для числа 4 є 5 розбивок без обмежень. (4, 31, 22, 211, 1111) і вісім розбивок з урахуванням порядку частин (4,31, 13, 22, 211, 121, 112, 1111). Число 8 розбивається на три частини п'ятьма способами: 611, 521, 431, 422, 332.

Якщо прийняти як твірну функцію для розбивки числа п без обмежень р(п) багаточлен p(x) = p(0) + p(1) + p(2)то внесок частини величини k визначається множником () і, отже

р (х) = (1+х+

З цього співвідношення виходять твірні функції при обмеженнях, що накладаються на чисельні значення частин. Якщо всі частини розбивки не перевершують числа k, то

Для розбивок, усі частини яких різні, є і (х)=(1+х)(1+x²)(1+х³)... , а розбивки на непарні частини перелічуються функцією

Приклад. Число способів розміну 8 копійок монетами достоїнством у 1, 2, 3 і 5 копійок. Для цього випадку p(х)=(1+х+х²+...)* *(1+х²+х⁴+...)(1+х³+х⁶+...)(1+х⁵+x¹⁰+...). Коефіцієнт при x⁸ дорівнює 13, що і дає шукані розбивки: 53, 521, 51³, З²1², 3²2, 32²1, 321³, 31⁵, 2⁴, 2³1², 2²1⁴, 21⁶,1⁸ (запис аq означає, що а входить у розбивку q раз). Якщо задати, щоб усі частини були різними, то і(х)=(1+x)(l+х²)(1+х³)(1+х⁵), відкіля знаходимо і(8) = 2 (відповідні розбивки 53 і 521).

Число розбивок п об'єктів на k частин можна визначити за допомогою рекурентної формули

р(п, k) = р(п - k, k) + р(п - k, k - 1) + ...+р(п - k, 1)

при граничних умовах р(n, k) = 0, для n < k і p(k, k) = р(n, 1) = 1.

Приклад. Якщо n = 7 і k = 3, маємо p(7,3) = p(4,3) + р(4,2) + р(4,1); р(4,2) = р(2,2) + p (2,1) = 1 + 1 = 2; р(4,3) = p(1,3) + р(1,2)+ +p(1,1) = 1; р(7,3) = 1 +2+ 1 = 4. Отже, маємо чотири розбивки числа 7 на три частини - 511, 421, 331, 322.

Контрольні запитання

1. Що називають поліноміальною твірною функцією?

2. Що є більш загальним – біном Ньютона чи енумератор?

3. Що таке експоненціальна твірна функція?

4. Що проголошує принцип включення і виключення?

5. Яка формула включення і виключення?

6. Яка різниця між символічним методом, принципом перехресної класифікації, методом решета, формулою обернення?

7. Що можуть дати діаграми Венна для принципу включення і виключення? Як ще графічно проілюструвати принцип включення і виключення?

8. Що є розбивкою?

9. Як зв’язати розбивки з рекурентними співвідношеннями?