Спісок літератури: Основна

1. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2001.- С.19-26.

2. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. – М.: Энергоатом-издат, 1987. - С.24-44.

Додаткова

3. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. – К.: Техника, 1975. - С.86-97.

4. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высшая школа, 1986 - С.6-10.

Для практичних занять

5. Методичні вказівки і завдання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів заочної форми навчання фахів 6.0804, 6.0915 / О.М. Мартинюк. – Одеса: ОНПУ, 2001. – С.4-6.

Лекція 2. Рівняння. Покриття і розбивки. Потужність

Вступ

Лекція має за мету поширити використання теорії множин. Розглянуто розв’язання рівнянь, що містять фіксовані підмножини і підмножини, що полягають визначенню, покриття і розбивки не порожньої множини, а також скінченні і нескінчені множини. Звернуто повагу до базового алгоритму розв’язання рівнянь, понять блоків, або класів, потужності множин і кардинальних чисел.

Лекція містить три підрозділи:

1. Рівняння

2. Покриття і розбивки

3. Потужність множин. Зчисленні і континуальні множини.

2.1. Рівняння

Алгебра множин поряд з тотожностями розглядає і рівняння, що містять фіксовані підмножини універсуму і підмножини універсуму, що підлягають визначенню. Потрібно визначити, при яких умовах рівняння має розв’язання і яке саме. Розв’язання рівнянь з однією обумовленою підмножиною ґрунтується на таких тотожних перетвореннях:

1. Відповідно до тотожності 18 рівність перетвориться в симетричну різницю його лівої і правої частин, що прирівнюється (.

2. Отримане рівняння перетвориться до вигляду (MX)(NX)= де М и N деякі множини, що не містять Х.

3. Тому що об'єднання множин порожньо, якщо кожне з поєднуваних множин порожнє, перетворене в п.2 рівняння можна замінити системою двох рівнянь М і =

4. Відповідно до тотожності 17 пари рівнянь п.3 мають сенс тоді і тільки тоді, коли  і . Значить умова існування розв’язання - , а розв’язання рівняння - будь-яка множина Х така, що .

Приклад. С=D: 1. (CD.

2. CD)(XC)D)=... =(D)((CD))=. 3. D і (CD)=. 4. Умова (CD)D чи CD; розв’язання (CD)D.

2.2. Покриття і розбивки

Визначення. Покриттям непорожньої множини М називається множина Р його власних підмножин, об'єднання яких дорівнює М:

Р=_і| і    _і, _і   _і  

Визначення. Розбивкою непорожньої множини М називається множина R його власних попарно непересічних підмножин, об'єднання яких дорівнює М:

R={М_і|і    _і  _і  _і  

Підмножини множини М, що входять у покриття Р (розбивка R), тобто М₁, М₂, М₃,..., М_, називаються класами чи блоками покриття Р (розбивки R) і позначаються додатковими фігурними дужками: Р={{a, c}, {b, d, e}}, іноді – надкресленням без фігурних дужок.

Розбивка множини називається елементною, якщо кожен її клас - одноелементна множина, розбивка називається цілою, якщо складається з єдиного класу, що дорівнює вихідній множині. Елементна і ціла розбивки множин називаються тривіальними, інші, якщо існують, - нетривіальними.

Приклад. М={a, b, c, d, e, f}

P={{a, b, c,}, {b, d, e, f}, {e, f, a}}

R₁={{a, b}}, {c}, {d, e, f}}

R₂={{a}, {b}, {c}, {d}, {e}, {f}}

R₄={a, b, c, d, e, f}