6.2. Згортка де Моргана, суперпозиція

Одна з важливих операцій над відношеннями – згортка де Моргана.

Нехай ⁿ – відношення на множинах А₁, А₂, … , Аn_-1, A, a ^m відношення на множинах A, A_n, A_n+1, … , A_n+m-2.

Визначення. Операція згортки де Моргана для відношень ⁿ і ^m породжує відношення ^n+m-2=ⁿ^m над множинами А₁, А₂, …, Аn_+m-2, таке, що ^n+m-2(a₁^і, a₂^і,…, a_in+m-2^j) виконується тоді і тільки тоді, коли знайдеться а, для якого виконується ⁿ(a₁^і, a₂^і, …, a_n-1^і, a) і ^m(a, a_n^і, a_n+1^і, …, a_n+m-2^і).

Приклад. ⁿ_1,…,An= 1, 2, … n

2, 3, … n+1

…............................................................

k-2n+2 k-2n+3 … k-n+1

ⁿ_{An, …, A1}= n, n-1, … 1

n+1, n, … 2

….............................................................

k-n+1, k-n, … k-2n+2

 ^2n-2_{A1,…,An-1,An+1,…A1}=1, 2, … n-1, n-1 … 2, 1

2, 3, … n, n … 3 2

…........................................................................

k-2n+2, k-2n+3, … k-n, k-n, … k-2n+3, k-2n+2

Приклад. Графік згортки  бінарних відношень  і  на множинах А=a, b, c} і B={0, 1, 2}=C із графіками

_АВ= а, 0 _BC= 0, 1

b, 1 0, 2

c, 2 1, 2

2, 2

має вигляд ()= a, 1

a, 2

b, 2

c, 2

Операція згортки не комутативна, але асоціативна.

1. ⁿ^m ^mⁿ

2. (ⁿ^m) ^k= ⁿ(^m ^k)

Справедлива рівність

3. (ⁿ^m)^-1=(^m)^-1(ⁿ)^-1

Нехай  - бінарне відношення на множинах А, В,  - бінарне відношення на множинах В, С. Згортка бінарних відношень  і  називається їхньою композицією.

Операція композиції бінарних відношень допускає й інші узагальнення на n-арний випадок.

Приклад. Нехай L₁, L₂, L₃ – алгоритмічні мови, а  і ’ - відношення перекладу відповідно з L₁ на L₂ і з L₂ на L₃. Тоді композиція  відношень  і ’ також є відношенням перекладу з мови L₁ на L₃.

Нехай ₁^m – відношення на множинах А₁,…,А_m-1, B₁; ₂^m на множинах А₁,…,А_m-1, B₂;…;_n-1^m – на множинах А₁,…,А_m-1, B_n-1; ⁿ – на множинах У₁,…,Вn_-1, A_m.

Визначення. Суперпозицією відношень ₁^m,₂^m,…,_n-1^m,ⁿ називається m-відношення ^m=ⁿ(₁^m,₂^m,…,_n-1^m) на множинах А₁,A₂,…,А_m таке, що ^m(а₁^і, a₂^і,…,a_mⁱ) тоді і тільки тоді, коли знайдуться елементи b₁^jB₁, b₂^j B₂,…,b_n-1^jB_n-1, для яких _s^m(а₁^і, a₂^і,…,a_m-1ⁱ,b_s^j при будь-якому s=1, 2,…,n-1, причому, ⁿ(b₁^j, b₂^j, b_n-1^j, a_m^і).

Приклад. ₁³ = 0, 1, 1 ₂³ = 0, 0, 0 ₃³ = 0, 0, 1  ⁴= 0, 0, 0, 0

1, 0, 0 0, 1, 0 0, 1, 1 1, 0, 1, 1

1, 1, 1 1, 1, 1 1, 1, 0 1, 1, 0, 0

1, 1, 1 1, 1, 1, 1

 ³=⁴(₁³,₂³,₃³)= 0, 1, 1

1, 1, 0

1, 1, 1

Окремним випадком суперпозиції для двох відношень є згортка де-Моргана.

Контрольні запитання

1. Що є перестановкою для n-арних відношень і які окремі випадки перестановок існують?

2. Які властивості мають обернення n-арного відношення?

3. Як виконується ототожнення координат n-арного відношення?

4. Що є діагоналлю відношення і для яких відношень діагональ має існувати?

5. Яка операція дозволяє вирівнювати арність у відношеннях?

6. Для яких відношень можна застосувати згортку де Моргана?

7. Які властивості має згортка де Моргана?

8. Що є суперпозицією відношень і у чому полягає різниця між суперпозицією і згорткою де Моргана?