- •Одеса Наука і техніка 2006
- •Розділ 1. Теорія множин і алгебраїчних систем
- •1.1. Основні поняття і завдання множин
- •1.2. Операції над множинами. Формули. Тотожності
- •1.3. Доведення тотожностей. Булева алгебра множин
- •1.4. Узагальнення операцій. Подвійність
- •Спісок літератури: Основна
- •2.1. Рівняння
- •2.2. Покриття і розбивки
- •2.3. Потужність множин. Зчисленні і континуальні множини
- •Список літератури Основна
- •3.1. Упорядковані множини
- •3.2. Графіки
- •Список літератури Основна
- •4.1. Відповідності
- •4.2. Образи і прообрази
- •4.3. Відображення і діаграми
- •Список літератури Основна
- •5.1. Основні поняття відношень
- •5.2. Множинні операції відношень
- •Список літератури Основна
- •6.1. Перестановка, ототожнення, приписування фіктивної координати
- •6.2. Згортка де Моргана, суперпозиція
- •Список літератури Основна
- •7.1. Успадковані властивості відношень
- •7.2. Спеціальні властивості відношень
- •Список літератури Основна
- •8.1. Еквівалентність
- •8.2. Порядок
- •8.3. Толерантність
- •8.4. Квазіпорядок
- •Список літератури Основна
- •9.1. Замикання відношень
- •9.2. Спеціальні функції
- •9.2.1. Підстановки
- •9.2.2. Послідовності
- •9.2.3. Функціонали
- •9.2.4. Функції, що зберігають алгебраїчні властивості
- •9.3. Операції
- •9.3.1. Загальні визначення операцій
- •9.3.2. Властивості операцій
- •Список літератури Основна
- •10.1 Композиція об'єктів
- •10.2. Внутрішній закон композиції
- •11.1 Алгебраїчні системи (моделі)
- •11.2. Групи підстановок і кільце множин
- •Розділ II. Комбінаторика
- •12.1. Вибірка елементів
- •12.2. Правило суми і добутку
- •12.3. Перестановки
- •12.4. Сполучення
- •12.5. Рекурентні співвідношення
- •12.6. Біном Ньютона
- •Список літератури Основна
- •13.1. Поліноміальні твірні функції
- •13.2. Експонентні твірні функції
- •13.3. Принцип включення і виключення
- •13.4. Розбивки
- •Список літератури Основна
- •Розділ III. Графи
- •14.1. Основні визначення
- •14.2. Способи представлення графів
- •Список літератури Основна
- •15.1. Основні визначення (продовження)
- •15.2. Зважені (відзначені) графи
- •Список літератури Основна
- •16.1. Операції над графуми
- •16.2. Властивості базових операцій над графами
- •Список літератури Основна
- •17.1. Чисельні характеристики графів
- •17.1.1. Ступінь вершин
- •17.1.2. Цикломатичне число
- •17.1.3. Хроматичне число
- •17.1.4. Множина внутрішньої стійкості
- •17.1.5. Множина зовнішньої стійкості
- •17.2. Представлення графів у пам'яті еом
- •Список літератури Основна
- •Розділ IV. Скінченні автомати
- •18.1. Абстрактний автомат
- •18.2. Способи завдання автоматів
- •18.2.1. Табличний спосіб
- •18.2.2. Графічний спосіб
- •18.3. Розширення функцій і
- •Список літератури Основна
- •19.1. Синхронні й асинхронні автомати
- •19.2. Асинхронні автомати, що тактуються
- •19.3. Перетворення автоматів Мілі і Мура
- •19.3.1. Перетворення автомата Мура в автомат Мілі
- •19.3.2. Перетворення автомата Мілі в автомат Мура
- •19.4. Сполучена модель автоматів – с-автомат
- •Список літератури Основна
- •20.1. Композиція автоматів
- •20.1.1. Рівнобіжне з'єднання
- •20.1.2. Послідовне з'єднання двох автоматів
- •20.1.3. З'єднання зі зворотним зв'язком
- •20.2. З'єднання автоматів з вихідною функцією
- •Список літератури Основна
- •21.1. Мережі автоматів
- •21.2. Еквівалентні автомати мережі
- •Список літератури Основна
- •Розділ V. Булева алгебра
- •22.1. Логічні функції
- •22.2. Булеві функції
- •22.3. Логічні формули
- •Список літератури Основна
- •23.1. Способи завдання булевих функцій
- •23.1.1. Табличний спосіб
- •23.1.2. Аналітичний спосіб Нормальні форми
- •23.1.3. Геометричний спосіб
- •23.1.4. Чисельний спосіб
- •23.2. Приведення формул булевої алгебри до досконалої форми
- •Список літератури Основна
- •24.1. Булева алгебра
- •24.2. Спрощення запису формул
- •24.3. Подвійність формул булевої алгебри
- •24.4. Булева алгебра множин
- •Список літератури Основна
- •25.1. Алгебра Жегалкіна
- •25.2. Типи булевих функцій
- •25.3. Функціональна повнота
- •25.4. Логічні (перемикальні) схеми
- •25.5. Канонічна задача синтезу логічних схем
- •Список літератури Основна
- •26.1. Графічний метод мінімізації булевих функцій
- •26.2. Табличний метод мінімізації
- •Список літератури Основна
- •27.1. Аналітичні методи мінімізації
- •27.1.1. Комплекс кубів
- •27.1.2. Постановка задачі
- •27.2. Метод Квайна
- •27.3. Алгебраїчний метод одержання мінімального покриття (алгоритм Петрика)
- •Список літератури Основна
- •28.1. Метод Квайна-МакКласкі
- •28.2. Мінімізація частково визначених функцій
- •Список літератури Основна
- •29.1 Основні визначення
- •29.2 Інтервальне представлення в матричній формі
- •29.3. Спрощення днф за матричною формою Закревського
- •30.1. Формулювання алгоритму побудови максимальних інтервалів для точки
- •30.2. Алгоритм для днф
- •30.3. Метод Блейка
- •31.1. Основні визначення
- •32.2. Використання системи булевих функцій для синтезу кс
- •31.3 Точний метод мінімізації систем булевих функцій Барті-Полянського
- •31.4. Інтуїтивний метод спрощення системи днф за матричною формою
- •32.1. Інтервальне представлення в еом
- •32.2. Основні операції над інтервальним представленням
- •33.1. Використання операцій інтервального представлення
- •33.2. Метричні властивості диз'юнктивної нормальної форми
- •34.1 Булеві рівняння
- •34.2. Булеві нерівності
- •34.3. Спільні системи нерівностей і рівнянь
- •35.1. Властивості булевой різниці
- •35.2. Методи знаходження булевой різниці
- •35.3. Подвійна булева різниця
- •35.4. Булеві похідні й диференціали
- •36.1. Висловлення предикатів
- •36.2. Логіка предикатів
- •36.3. Правила застосування кванторів
- •Список літератури Основна
- •Список літератури
- •Вступ 3
- •1. Теорія множин і алгебраїчних систем 4
- •2. Комбінаторика 65 Лекція 12. Комбінаторика. Базові методи 65
- •3. Графи 78
- •4. Скінченні автомати 101
- •5. Булева алгебра 123 Лекція 22. Булеві функції 123
32.1. Інтервальне представлення в еом
ЕОМ обробляє інформацію в цифровій формі, тому векторне інтервальне представлення систем булевих функцій найбільше природно для проектування дискретних систем. Системи булевих функцій задають списками наборів із приписаними їм ярликами. Алфавіт АW = {0, 1, ~} опису наборів відомий, при описі ярликів використовується алфавіт А = {0, 1, х, ~}. 0, 1, х - функція приймає на елементах інтервалу значення 0, 1, х відповідно, «~» означає, що дана функція не входить у ярлик інтервалу, тобто інтервал не використовується для опису даної функції. Існує кілька інтерпретацій вихідного завдання векторного інтервального представлення систем булевих функцій.
32.1.1. Системи повністю визначених булевих функцій
Алфавіт визначений як AA = {1, ~}. У цьому випадку вважається, що на всіх елементах булева простору, що не належить інтервалам, для яких визначене в завданні одиничне значення кожної функції, вона приймає нульове значення.
Приклад
x1 x2 x3 f1 f2
1 0 ~ 1 1
1 ~ 1 1 ~
0 1 ~ ~ 1
~ 0 0 1 1
Це відповідає такому завданню булевих функцій f1, f2 на наборах булева простору
x1 x2 x3 f1 x1 x2 x3
0 0 0 1 1 0 ~
0 0 1 0 1 ~ 1
0 1 0 0 ~ 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
x1 x2 x3 f2 x1 x2 x3
0 0 0 1 1 0 ~
0 0 1 0 0 1 ~
0 1 0 1 ~ 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
Можна задати алфавіт AA = {0, ~}, тоді на наборах, не визначених в інтервальному ппредставленні нулем, фіксується одиничне значення.
32.1.2. Системи неповністю визначених булевих функцій
Для таких систем розмаїтість можливих алфавітів більше.
Перший варіант припускає AA = {1, х, ~} на наборах, для яких інтервальним представленням значення функції не задано, фіксується нульове значення функції.
Другий варіант припускає AA = {1, 0, ~}, на наборах, не визначених інтервальним представленням, функція вважається не визначеною (слабко визначенні функції).
Третій варіант припускає AA = {1, 0, х, ~} на наборах, для яких інтервальним представленням значення функцій не задано, фіксується нуль (або одиниця, або не визначено).
32.2. Основні операції над інтервальним представленням
Крім склеювання й поглинання, використаних дотепер для наборів векторного інтервального представлення, є ряд операцій, пов'язаних з інтерпретацією інтервалів, як сукупностей елементів булева простору.
Об'єднання інтервалів полягає в спільному розгляді інтервалів, у складанні списку інтервалів.
Визначення. Операція об'єднання інтервалів, що являють собою булеву функцію, інтерпретується як множина наборів, що покриті у цій сукупності інтервалів.
32.2.1. Дослідження ортогональності інтервалів
Визначення. Інтервали ортогональні, якщо вони не мають загальних елементів.
Набори ортогональних інтервалів розташовані в різних частинах булева простору, тобто повинна існувати хоча б одна зовнішня змінна цих інтервалів, загальна для них обох, що приймає значення нуль на елементах одного й одиницю - на елементах іншого.
Приклад
0 ~ 1 ~ 1
1 ~ 0 0 1
0 ~ 1 ~ 1
1 1 ~ ~ 1
Якщо інтервали не мають загальних зовнішніх змінних або якщо кожна з зовнішніх змінних приймає однакові значення для обох інтервалів, то ці інтервали перетинаються й не є ортогональними.
Приклад
1 ~ 0 0 1
1 1 ~ ~ 1
1 ~ 0 0 1
1 1 0 0 ~
Таблиця 32.1
|
|
|
|
|
|
x3 |
x3 |
x3 |
x3 |
|
|
|
|
x2 |
x2 |
x2 |
x2 |
|
|
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
|
|
|
x5| |
x4| |
|
|
|
|
|
|
|
|
x5| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32.2.2. Перетин інтервалів
Якщо інтервали не ортогональні, то їхні загальні елементи обов'язково утворюють інтервал.
Визначення. Операція перетинання неортогональних інтервалів, що являють собою булеву функцію, - це виділення інтервалу, утвореного всіма загальними елементами цих інтервалів.
У векторному представленні відбувається об'єднання множини зовнішніх змінних неортогональних інтервалів, що перетинаються.
Приклад
1 1 0 0 ~
1 1 ~ ~ 1
1 1 0 0 1
0 ~ 1 ~ 1
~ ~ 1 1 ~
0 ~ 1 1 1
32.2.3. Симетрування інтервалів
В алгоритмі побудови максимальних інтервалів для заданого елемента матричної форми використовувалася операція симетрування інтервалу по осі зовняшної змінної. У векторному представленні симетрування інтервалу по осі зовнішній змінної зводиться до інвертування значення цієї змінної.
Приклад
0 1 ~ ~ по х2 0 0 ~ ~ 0 ~ 1 0 по х4 0 ~ 1 1
32.2.4. Склеювання й поглинання інтервалів
Обидві ці операції розглядалися у методі Квайна, нагадаємо їх.
Приклад
Склеювання:
0 ~ 1 0 ~
0 ~ 1 1 ~
0 ~ 1 ~ ~
Поглинання:
0 ~ 1 0 ~
0 1 1 0 ~
0 ~ 1 0 ~
32.2.5. Поглинання інтервалу об'єднанням інтервалу
Якщо всі набори інтервалу покриваються інтервалами заданого об'єднання інтервалів, то цей інтервал поглинається цим об'єднанням. У векторному інтервальному представленні це не очевидно й може бути отримане за рахунок розкладання інтервалу по внутрішніх змінних з перевіркою поглинання отриманих наборів інтервалами об'єднання.
Приклад. Шуканий інтервал 1 ~ 1 ~ і його:
розкладання об'єднання
1 0 1 0 1 0 ~ 0
1 0 1 1 ~ 1 1 0
1 1 1 0 1 1 ~ 1
1 1 1 1 ~ 1 1
Таблиця 32.2
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3| |
|
|
|
|
x4| |
x3| |
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
Показано поглинання наборів об'єднанням, таким чином вихідний інтервал поглинається заданим об'єднанням.
Операція розкладання при великому числі внутрішніх змінних може привести до громіздкої множини наборів, цю операцію зручніше виконувати вирахуванням кубів.
32.2.6. Розширення інтервалу
Якщо при симетруванні по деякій зовнішньої змінної інтервалу результат поглинається іншими інтервалами об'єднання, то на заданому об'єднанні вихідний інтервал може бути розширений переводом розглянутої зовнішньої змінної у внутрішні. Правомірність розширення інтервалу в заданому об'єднанні перевіряється таким алгоритмом:
Вихідний інтервал симетрується по обраній зовнішній змінній.
Перевіряється, чи поглинається отриманий симетрований інтервал сукупністю інших інтервалів об'єднання.
Якщо результат перевірки позитивний, то інтервал розширюється, якщо ні, то розширення не відбувається.
Приклад. Розширення інтервалу 101~ по змінній х2:
Вихідне об'єднання Симетрований інтервал
1 0 1 ~ 101~ по змінної х2
1 1 ~ 0 1 1 1 ~
~ 1 ~ 1
Розкладання симетрованого інтервалу
1 1 1 0 1 1 ~ 0
1 1 1 1 ~ 1 ~ 1
Результат розширення
1 ~ 1 ~
1 1 ~ 0
~ 1 ~ 1
Таблиця 32.3
|
|
|
|
x2 |
X2 |
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3| |
|
|
|
|
x4| |
x3| |
|
|
|
ё |
x4| |
|
|
|
|
|
Інтервал 11~0 також допускає розширення по змінній х4.
32.2.7. Скорочення інтервалу
Якщо в кожнім об'єднанні при формуванні значення (0 або 1) обраної внутрішньої змінної для деякого вихідного інтервалу сукупність наборів, покритих інтервалами об'єднання, не змінюється, то таке фіксування припустиме й називається операцією скорочення інтервалу.
Приклад
Вихідне об'єднання Симетрований інтервал
1 0 1 ~ 101~ по змінної х2
1 1 ~ 0 1 1 1 ~
~ 1 ~ 1
Досліджуваний інтервал 1~1~ , обрана змінна х2, обране значення 0, що скорочує інтервал 111~.
Результуюче об'єднання
1 0 1 ~
1 1 ~ ~
~ 1 ~ 1
Розкладання результуючого об'єднання
1 1 1 ~ 1 1 ~ ~
1 1 1 1
Таблиця 32.4
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3| |
|
|
|
|
x4| |
x3| |
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
У вихідному інтервалі фіксується значення обраної змінної, інверсне заданому. Якщо отриманий інтервал поглинається сукупністю інших інтервалів об'єднання, то скорочення можна.
32.2.8. Віднімання інтервалу
Операція полягає в представленні покриття наборів зменшуваного інтервалу, не покритих інтервалом, що віднімають. Віднімання ортогонального інтервалу не приводить до зміни зменшуваного, віднімання поглинаючого інтервалу приводить до одержання порожньої різниці. У загальному випадку різниця не може бути покрита одним інтервалом.
Приклад
Таблиця 32.5
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3| |
|
|
|
|
X4| |
x3| |
|
|
|
|
X4| |
|
|
|
|
|
При побудові різниці пересічних інтервалів розглядаються два варіанти операції віднімання:
покриття різниці об'єднанням максимальних інтервалів „\”;
покриття різниці об'єднання ортогональних інтервалів „#”.
Віднімання з одержанням покриття максимальними інтервалами
Якщо інтервали не ортогональні й від’ємник не поглинає зменшуваного, то виходить такий алгоритм:
Виділяється множина Хвнеш зовнішніх змінних інтервалу, що віднімається і не є зовнішніми змінними зменшуваного інтервалу, нехай таких змінних буде k.
Різниця представляється об'єднанням k інтервалів, кожний з яких виходить скороченням зменшуваного інтервалу по одній зі змінних множини Хвнеш зі значенням, інверсним її значенню в інтервалі, що віднімається.
Приклад. Об'єднання різниці
1~~~ \ ~110 = 1 0 ~ ~
1 ~ 0 ~
1 ~ ~ 1
Таблиця 32.6
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X3| |
|
|
|
|
x4| |
X3| |
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
Віднімання з одержанням покриття ортогональними інтервалами
Якщо аналогічно інтервали не ортогональні й від’ємник не поглинає зменшуваного, то виходить такий алгоритм:
Виділяється множина Хвнеш зовнішніх змінних інтервалу, що віднімається і не є зовнішніми змінними зменшуваного інтервалу, k = |Хвнеш|.
Різниця представляється об'єднанням k інтервалів, одержуваних у такій послідовності:
а) зменшуваний інтервал розглядається як поточний інтервал;
б) вибирається чергова змінна із множини Хвнеш і поточний інтервал скорочується по ній зі значенням цієї змінної, взятому з інтервалу, що віднімається, той інтервал симетрується по розглянутій змінній й у такий спосіб виходить черговий інтервал результату;
в) якщо ще не всі змінні множини Хвнеш розглянуті, виконується п. б).
Приклад. Об'єднання різниці
1~~~ # ~110 = 1 0 ~ ~
1 1 0 ~
1 1 1 1
Поточний інтервал
1 1 ~ ~
1 1 1 ~
1 1 1 0
Таблиця 32.7
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X3| |
|
|
|
|
x4| |
X3| |
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
Таблиця 32.8
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3| |
|
|
|
|
x4| |
x3| |
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
Різні послідовності розгляду змінних множини Хвнеш приводять і к різним результатам – для послідовності х2х3х4 результат представлений у табл. 32.7, для послідовності х4х3х2 – у табл. 32.8.
32.2.9. Побудова мінімального покриваючого інтервалу для заданого об'єднання інтервалів
Мінімальний покриваючий інтервал містить всі набори заданого об'єднання інтервалів і має можна менше число внутрішніх змінних. Мінімальний покриваючий інтервал може містити набори, що не належать покриваючим інтервалам (табл. 32.9, 32.11). У побудови мінімального покриваючого інтервалу інтервал сукупності поширюють по зовнішніх змінних, що мають інше значення в інших інтервалах.
Приклад
а) 1 ~ 0 1
1 1 ~ ~
1 ~ ~ ~
Таблиця 32.9
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3| |
|
|
|
|
x4| |
x3| |
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
б) 1 0 ~ 0
1 0 1 ~
1 0 0 1
1 0 ~ ~
Таблиця 32.10
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3| |
|
|
|
|
x4| |
x3| |
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
в) 1 0 1 ~
1 0 0 1
0 0 0 1
~ 0 ~ ~
Таблиця 32.11
|
|
|
|
x2 |
x2 |
|
|
|
x1 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3| |
|
|
|
|
x4| |
x3| |
|
|
|
|
x4| |
|
|
|
|
|
Контрольні запитання
Як описують системи булевих функцій?
Які алфавіти використовуються для опису систем повністю визначених булевих функцій?
Які алфавіти використовуються для опису систем не повністю визначених булевих функцій?
Як інтерпретується операція об'єднання інтервалів?
Які інтервали називають ортогональними?
Що є перетином неортогональних інтервалів?
Які особливості симетрування інтервалу у векторному представленні на відміну від матричного представлення?
Що розуміється під склеюванням і поглинанням інтервалів?
Як виконується поглинання інтервалу об'єднанням інтервалів?
Як виконується розширення інтервалу у вихідному об'єднанні?
Як перевіряється розширення інтервалу у вихідному об'єднанні?
Як виконати скорочення інтервалу?
Які варіанти віднімання інтервалу можливі?
Як виконується кожний з варіантів вирахування інтервалу?
Як побудувати мінімальний покриваючий інтервал для заданого об'єднання інтервалів?
Список літератури
Основна
Новоселов В.Г., Скатков А.В. Прикладная математика для инженеров-системотехников. Дискретная математика в задачах и примерах. – К.: Учебно-методический кабинет высшего образования, 1992. - С.184-190.
Для практических занятий
Методичні вказівки і завдання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915 / О.М. Мартинюк. – Одеса: ОНПУ, 2004. - ч.2. – С.75-76.
Лекція 33. Використання інтервальних операцій
Вступ
Лекція має за мету показати можнасті використання операцій при перетвореннях інтервального представлення. Розглянуто перевірку покриття інтервалу об'єднанням інтервалів, розширення інтервалу в об'єднанні до максимального, перевірку інтервалу на ядерність і надмірності інтервалу в об'єднанні. Звернено увагу на метричні властивості.
У лекції присутні два підрозділи:
Використання операцій інтервального представлення
Метричні властивості диз'юнктивної нормальної форми