29.2 Інтервальне представлення в матричній формі

Інтервал у булевому просторі визначається як упорядкована сукупність наборів, задана мінімальним «Мін» і максимальним «Макс» наборами. [«Мін», «Макс»] – безліч наборів К, для яких «Мін»К«Макс». Тут  - відношення порядку на безлічі векторів, для якого «Мін»  «Макс», якщо для кожного компонента «Мін»_i  «Макс»_i.

Приклад. Інтервал [0010, 0110] - це два набори 0010 й 0110, інтервал [0010, 1011] - це чотири набори 0010, 0011, 1010, 1011.

Змінні, що приймають однакові значення в «Мін», «Макс» наборах, мають однакове значення у всіх наборах до інтервалу, їх називають зовнішніми змінними. Інші змінні називають внутрішніми змінними, вони в кожному наборі інтервалу мають свій набір значень, що приймає в наборах інтервалу всі 2^k значень, де k – число внутрішніх змінних.

Визначення. Інтервал – це сукупність 2^k наборів, в яких n-k зовнішніх змінних приймають однакові для всіх наборів значення, k внутрішніх змінних – всі можливі набори значень змінних.

Приклад. x1 x2 x3 x4 0 0 1 0 Всі змінні зовнішні. 0 0 1 0 Змінна x2 – внутрішня 0 1 1 0 інші зовнішні. 0 0 1 0 Змінні х1 і х4 – внутрішні, 0 0 1 1 змінні х2 і х3 – зовнішні, 1 0 1 0 вони приймають на всіх чотирьох 1 0 1 1 наборах х2=0, х3=1.

Аналогічно операції склеювання кон’юнкцій можна проводити операцію склеювання наборів - склеюються два набори, якщо множини їх змінних збігаються, і значення тільки однієї змінної розрізняються. Результат склеювання двох наборів зображується у вигляді набору, у якого замість значення змінної, що розрізняє, проставлена тильда.

Приклад. 0010 й 0011 дають 001~, 0~10 й 0~11 дають 0~1~.

Набори інтервалу склеюються, після всіх склеювань виходить один набір, де зовнішні змінні приймають задані вихідні значення, а внутрішні змінні задані тильдою або рискою.

Приклад. 0010 0011 дають 001~

усе разом дають ~01~

1010 1011 дають 101~.

Тильда означає, що змінна може приймати значення 0 або 1, конкретний набір значень k-внутрішніх змінних визначає один з 2^k внутрішніх наборів інтервалу. Для ДНФ у мінтермі інтервалу відповідає кон’юнкція зовнішніх змінних, зовнішня змінна входить у кон’юнкцію без інверсії, якщо в інтервалі їй відповідає 1, з інверсією, якщо в інтервалі їй відповідає 0. Інтервальне представлення використається й для КНФ, різниця лише у відомому по главі 2 відповідності змінних й їхніх інверсій 0 й 1 у макстермах.

Приклад. Функції f(x1, x2, x3, x4) = x1x2  x1x3  x2x4 x3x4 відповідає сукупність чотирьох інтервалів:

х1 х2 х3 х4 1 0 ~ ~ 1 ~ 1 ~ ~ 1 ~ 1 ~ ~ 0 1

По поданню булевої функції в ДНФ просто одержати її матричне представлення. Всі набори кожного інтервалу, що відповідає кон’юнкції ДНФ, відзначаються на матриці точками. Для цього потрібно виділити стовпці, обумовлені значеннями молодших зовнішніх змінних інтервалу, і стоки, обумовлені значеннями старших зовнішніх змінних. Перетин рядків і стовпців виділить всі елементи інтервалу.

Приклад.

Для функції від чотирьох змінних ДНФ і матриця виглядають у такий спосіб: f(x₁, x₂, x₃, x₄) = x₁x₂  x₁x₃  x₂x₄ x₃x₄

x₁ x₂ x₃ x₄

x₁x₂ ~ 1 0 ~ ~

Таблиця 29.3

				x2	x2
			x1	x1
			
	x3|			
x4|	x3|				
x4|					

Приклад.

Для функції п'яти змінних ДНФ і матриця виглядають так: f(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅) = x₁x₂x₄  x₂x₅ x₃x₄x₅ x₁x₄x₅

Таблиця 29.4

						x3	x3	x3	x3
				x2	x2	x2	x2
			x1	x1			x1	x1
							
	x4|								
x5|	x4|								
x5|									