- •Одеса Наука і техніка 2006
- •Розділ 1. Теорія множин і алгебраїчних систем
- •1.1. Основні поняття і завдання множин
- •1.2. Операції над множинами. Формули. Тотожності
- •1.3. Доведення тотожностей. Булева алгебра множин
- •1.4. Узагальнення операцій. Подвійність
- •Спісок літератури: Основна
- •2.1. Рівняння
- •2.2. Покриття і розбивки
- •2.3. Потужність множин. Зчисленні і континуальні множини
- •Список літератури Основна
- •3.1. Упорядковані множини
- •3.2. Графіки
- •Список літератури Основна
- •4.1. Відповідності
- •4.2. Образи і прообрази
- •4.3. Відображення і діаграми
- •Список літератури Основна
- •5.1. Основні поняття відношень
- •5.2. Множинні операції відношень
- •Список літератури Основна
- •6.1. Перестановка, ототожнення, приписування фіктивної координати
- •6.2. Згортка де Моргана, суперпозиція
- •Список літератури Основна
- •7.1. Успадковані властивості відношень
- •7.2. Спеціальні властивості відношень
- •Список літератури Основна
- •8.1. Еквівалентність
- •8.2. Порядок
- •8.3. Толерантність
- •8.4. Квазіпорядок
- •Список літератури Основна
- •9.1. Замикання відношень
- •9.2. Спеціальні функції
- •9.2.1. Підстановки
- •9.2.2. Послідовності
- •9.2.3. Функціонали
- •9.2.4. Функції, що зберігають алгебраїчні властивості
- •9.3. Операції
- •9.3.1. Загальні визначення операцій
- •9.3.2. Властивості операцій
- •Список літератури Основна
- •10.1 Композиція об'єктів
- •10.2. Внутрішній закон композиції
- •11.1 Алгебраїчні системи (моделі)
- •11.2. Групи підстановок і кільце множин
- •Розділ II. Комбінаторика
- •12.1. Вибірка елементів
- •12.2. Правило суми і добутку
- •12.3. Перестановки
- •12.4. Сполучення
- •12.5. Рекурентні співвідношення
- •12.6. Біном Ньютона
- •Список літератури Основна
- •13.1. Поліноміальні твірні функції
- •13.2. Експонентні твірні функції
- •13.3. Принцип включення і виключення
- •13.4. Розбивки
- •Список літератури Основна
- •Розділ III. Графи
- •14.1. Основні визначення
- •14.2. Способи представлення графів
- •Список літератури Основна
- •15.1. Основні визначення (продовження)
- •15.2. Зважені (відзначені) графи
- •Список літератури Основна
- •16.1. Операції над графуми
- •16.2. Властивості базових операцій над графами
- •Список літератури Основна
- •17.1. Чисельні характеристики графів
- •17.1.1. Ступінь вершин
- •17.1.2. Цикломатичне число
- •17.1.3. Хроматичне число
- •17.1.4. Множина внутрішньої стійкості
- •17.1.5. Множина зовнішньої стійкості
- •17.2. Представлення графів у пам'яті еом
- •Список літератури Основна
- •Розділ IV. Скінченні автомати
- •18.1. Абстрактний автомат
- •18.2. Способи завдання автоматів
- •18.2.1. Табличний спосіб
- •18.2.2. Графічний спосіб
- •18.3. Розширення функцій і
- •Список літератури Основна
- •19.1. Синхронні й асинхронні автомати
- •19.2. Асинхронні автомати, що тактуються
- •19.3. Перетворення автоматів Мілі і Мура
- •19.3.1. Перетворення автомата Мура в автомат Мілі
- •19.3.2. Перетворення автомата Мілі в автомат Мура
- •19.4. Сполучена модель автоматів – с-автомат
- •Список літератури Основна
- •20.1. Композиція автоматів
- •20.1.1. Рівнобіжне з'єднання
- •20.1.2. Послідовне з'єднання двох автоматів
- •20.1.3. З'єднання зі зворотним зв'язком
- •20.2. З'єднання автоматів з вихідною функцією
- •Список літератури Основна
- •21.1. Мережі автоматів
- •21.2. Еквівалентні автомати мережі
- •Список літератури Основна
- •Розділ V. Булева алгебра
- •22.1. Логічні функції
- •22.2. Булеві функції
- •22.3. Логічні формули
- •Список літератури Основна
- •23.1. Способи завдання булевих функцій
- •23.1.1. Табличний спосіб
- •23.1.2. Аналітичний спосіб Нормальні форми
- •23.1.3. Геометричний спосіб
- •23.1.4. Чисельний спосіб
- •23.2. Приведення формул булевої алгебри до досконалої форми
- •Список літератури Основна
- •24.1. Булева алгебра
- •24.2. Спрощення запису формул
- •24.3. Подвійність формул булевої алгебри
- •24.4. Булева алгебра множин
- •Список літератури Основна
- •25.1. Алгебра Жегалкіна
- •25.2. Типи булевих функцій
- •25.3. Функціональна повнота
- •25.4. Логічні (перемикальні) схеми
- •25.5. Канонічна задача синтезу логічних схем
- •Список літератури Основна
- •26.1. Графічний метод мінімізації булевих функцій
- •26.2. Табличний метод мінімізації
- •Список літератури Основна
- •27.1. Аналітичні методи мінімізації
- •27.1.1. Комплекс кубів
- •27.1.2. Постановка задачі
- •27.2. Метод Квайна
- •27.3. Алгебраїчний метод одержання мінімального покриття (алгоритм Петрика)
- •Список літератури Основна
- •28.1. Метод Квайна-МакКласкі
- •28.2. Мінімізація частково визначених функцій
- •Список літератури Основна
- •29.1 Основні визначення
- •29.2 Інтервальне представлення в матричній формі
- •29.3. Спрощення днф за матричною формою Закревського
- •30.1. Формулювання алгоритму побудови максимальних інтервалів для точки
- •30.2. Алгоритм для днф
- •30.3. Метод Блейка
- •31.1. Основні визначення
- •32.2. Використання системи булевих функцій для синтезу кс
- •31.3 Точний метод мінімізації систем булевих функцій Барті-Полянського
- •31.4. Інтуїтивний метод спрощення системи днф за матричною формою
- •32.1. Інтервальне представлення в еом
- •32.2. Основні операції над інтервальним представленням
- •33.1. Використання операцій інтервального представлення
- •33.2. Метричні властивості диз'юнктивної нормальної форми
- •34.1 Булеві рівняння
- •34.2. Булеві нерівності
- •34.3. Спільні системи нерівностей і рівнянь
- •35.1. Властивості булевой різниці
- •35.2. Методи знаходження булевой різниці
- •35.3. Подвійна булева різниця
- •35.4. Булеві похідні й диференціали
- •36.1. Висловлення предикатів
- •36.2. Логіка предикатів
- •36.3. Правила застосування кванторів
- •Список літератури Основна
- •Список літератури
- •Вступ 3
- •1. Теорія множин і алгебраїчних систем 4
- •2. Комбінаторика 65 Лекція 12. Комбінаторика. Базові методи 65
- •3. Графи 78
- •4. Скінченні автомати 101
- •5. Булева алгебра 123 Лекція 22. Булеві функції 123
Список літератури Основна
Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2001. - С.47-49.
Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990. - С.64-68.
Глушков В.М., Цейтлин Г.Е., Ющенко Е.Л. Алгебра, языки, программирование. – К.:Наукова думка, 1989. - С.56-64.
Додаткова
Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. – К.: Техника, 1975. - С.137-145.
Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. – М.: Энергоатом-издат, 1987. - С.62, 63.
Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высш.шк., 1986. - С.13-20.
Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976. - С.16-25.
Для практичних занять
Методичні вказівки і завдання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915 / О.М. Мартинюк. – Одеса: ОНПУ, 2001. – С.18-21.
Лекція 10. Закони композиції
Вступ
Лекція має за мету навести загальні поняття композиції об'єктів. Розглянуто закони композиції, у тому числі внутрішні й зовнішні, визначений групоід, спеціальні елементи, адитивні й мультиплікативні позначення. Звернено увагу на властивості внутрішнього закону композиції.
У лекції присутні два підрозділи:
Композиція об'єктів
Внутрішній закон композиції
10.1 Композиція об'єктів
10.1.1. Основні визначення
Велике значення мають відношення, що ставлять у відповідність парі яких-небудь об'єктів (а, b) третій об'єкт с. Прикладами таких відношень є дії над числами. У загальному випадку відношення може являти собою деяку операцію не тільки між числами, але й між об'єктами будь-якої природи. При цьому запис а Т b = с, або a b = с, означає, що а в композиції з b дає с. Символ Т (або ) позначає операцію, об'єкти а й b називають операндами, а об'єкт с – результатом операції, або композицією об'єктів а й b.
Нехай множини операндов позначені відповідно через А и В (аА і bВ), а множина результатів операції - через C (cC). Тому що множина всіх пар (а, b) є прямим добутком АВ, то операцію визначають як відображення множини АВ у С, тобто АВС, і часто називають законом композиції.
Любой закон композиції АВС над скінченними множинами можна задавати прямокутною матрицею (таблицею Кели). Рядки таблиці відповідають елементам множини А, стовпці - елементами множини В. На перерізанні рядка й стовпця, що відповідає парі (а, b), розташовується елемент с = а Т b.
Приклад. Таблиці додавання й множення однорозрядних чисел є прикладами таблиць Кели.
У загальному випадку таблиця для бінарної операції має вигляд
Таблиця 10.1
T |
b1 |
b2 |
b3 |
b4 |
… |
a1 |
c11 |
c12 |
c13 |
c14 |
… |
a2 |
c21 |
c22 |
c23 |
c24 |
… |
a3 |
c31 |
c32 |
c33 |
c34 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
10.1.2. Закони композиції на множині
Множини А, В, С, що беруть участь в операції АВС, не обов'язково повинні бути різними. Якщо В = С = S, то говорять, що закон композиції визначений на множині S.
Розрізняють внутрішній закон композиції SSS і зовнішній закон композиції й SS, де і S - різні множини. У випадку внутрішнього закону говорять, що множина утворить групоїд щодо операції Т. У випадку зовнішнього закону композиції елементи називають операторами, a - множиною операторів на множині S.
Приклад. Внутрішній закон композиції являють додавання а+b = с і множення ab = с на множині дійсних чисел, а також геометричне підсумовування векторів на площині.
Приклад. Множення вектора на скаляр може бути прикладом зовнішнього закону композиції на множині векторів, причому операторами є скаляри, що як елементи належать множині дійсних чисел.
Приклад. Нехай S – множина диференційовних функцій f(xl, х2, ..., хn) і — множина операторів диференціювання /хi (i = 1, 2, ..., n). Тоді парі (/хi, fI) можна поставити у відповідність частинну похідну f/хi, тобто визначити зовнішній закон композиції на множині диференційовних функцій.
Далі будуть розглядатися в основному тільки внутрішні закони композиції.
10.1.3. Матриця й граф групоїда
Скінченний групоїд S щодо закону Т визначається квадратною матрицею n-ro порядку (n - число елементів групоїда).
Приклад. Скінченний групоїд, заданий матрицею 4-го порядку
Таблиця 10.2
T |
a |
b |
c |
d |
a |
b |
c |
a |
b |
b |
a |
b |
c |
a |
c |
b |
a |
d |
d |
d |
d |
b |
d |
b |
Побудова графу групоїда заснована на представленні бінарного співвідношення а Т b = с (рис. 10.1,а), де дуги графу зображують елементи а, b, с S, причому операнди утворюють деякій шлях, а дуга результату операції замикає цей шлях. Якщо a Т b = а, то b зображується петлею в скінченній вершині дуги а. При побудові графу спочатку наносять дуги для всіх елементів групоіда як вихідні з однієї вершини, а потім послідовно зображують всі бінарні співвідношення.
Приклад. На рис. 10.1,б представлений граф групоіда, що заданий наведеною вище матрицею. Дуги а, b, с, d, що виходять із однієї вершини, відповідають елементам групоіда. Тому що а Т а = b, а Т b = с, а T с = a і a T d = b, то з кінця дуги а проводять дуги а, b, с, d відповідно до скінченних вершин дуг b, с, а, b. Дві паралельні дуги а й d, спрямовані до скінченної вершини дуги b, умовно зображують однією дугою a, d. Дуга с починається й кінчається в скінченній вершині дуги а, тобто утворить петлю. Аналогічно зображують на графі й інші співвідношення, обумовлені матрицею групоїда.
Рис. 10.1. Граф операції; частина а — операнди a, b і результат операції с; частина б — граф групїда