35.1. Властивості булевой різниці

Нехай задані вектор значень аргументів X = (х₁, x₂,..., х_i,...,x_n) і булева функція y = F(Х) = F(х₁, x₂,..., х_i,...,x_n), визначена на наборах змінних х₁, x₂,..., х_i,...,x_n. Якщо одна зі змінних х_i поміняє своє значення на інверсне х_i, то вихідне значення функції буде визначатися значенням y = F(х₁, x₂,..., х_i,...,x_n). Важливо знати, при яких умовах ці два значення функції збігаються й відрізняються, що й дозволяє зробити булева різниця.

Визначення. Булевой різницями функції F(х₁,x₂,...,х_i,...,x_n) щодо змінної х_i (d/dх_i – булева похідна, оператор різниці) називається вираження виду

d(x)/dх_i з= F(x₁, х₂,..., х_i,...,x_n)  F(x₁, x₂ ,..., х_i,...,х_n)

Булева різниці використає властивості операції додавання по модулі 2 алгебри Жегалкина, на їхній основі визначаються тотожності булевой різниці.

Тотожності булевой різниці

1. d(Х)/dх_i = dF(Х)/dх_i

2. d(Х)/dх_i = d(Х)/dх_i

3. d(d(Х)/dх_j)/dх_i = d(d(Х)/dх_i)/dх_j

4. d(F(Х)G(X))/dх_i = F(Х)(d(Х)/dх_i)  G(Х)(d(Х)/dх_i)   (d(Х)/dх_i)(d(Х)/dх_i)

5. d(F(Х)+G(X))/dх_i = F(Х)(d(Х)/dх_i) G(Х)(d(Х)/dх_i)   (d(Х)/dх_i)(d(Х)/dх_i)

6. d(F(Х)G(X))/dх_i = (d(Х)/dх_i)  (d(Х)/dх_i)

Ці тотожності використаються при обчисленнях і перетвореннях булевой різниці. Найбільш важливою властивістю булевої різниці є її рівність 1, якщо значення функції на виході не збігаються для двох векторів значень аргументів (х₁, x₂,..., х_i,...,x_n) і (х₁, x₂,..., х_i,...,x_n) і рівність 0, якщо значення функції для цих двох векторів збігаються.

Безпосереднє відношення до завдань аналізу булевих функцій і логічних схем має визначення незалежності від змінної.

Визначення. Булева різниці функції F(Х) не залежить від змінної х_i, якщо значення F(Х) не змінюється при зміні значення х_i на інверсне, тобто якщо F(х₁, x₂,..., х_i,...,x_n) = F(х₁, x₂,..., х_i,...,x_n).

Нехай F(Х) не залежить від перемикання х_i тоді й тільки тоді, коли значення F(Х) не залежить від перемикання х_i при фіксованих значеннях інших змінних. Властивість означає, що зміна х_i не впливає на F(Х).

Використовуючи булеву різницю, можна виразити визначення незалежності теоремою, що випливає із другого визначення й властивості F(F = 0.

Теорема. Щоб F(Х) не залежала від змінної х_iе, необхідно й досить виконання умови d(Х)/dх_i = 0.

На додаток до наведеного вище тотожностям на підставі теореми можна досить просто одержати нові закони.

7. d(Х)/dх_i =  0, якщо F(Х) не залежить від х_i

 1, якщо F(Х) залежить від х_i.

8. d(F(Х)G(X))/dх_i = F(Х)(d(Х)/dх_i), якщо F(Х) не залежить від х_i.

9. d(F(Х)+G(X))/dх_i = F(Х)(d(Х)/dх_i), якщо F(Х) не залежить від х_i.

Як очевидні наслідки теореми можна одержати ще три властивості:

10. Якщо d(Х)/dх_i = 0, то зміна х_i ніколи не змінює F(Х) .

11. Якщо d(Х)/dх_i = 1, то зміна х_i завжди змінює F(Х) .

12. Якщо d(Х)/dх_i = G(Х), то зміна в х_i буде викликати зміну в F(Х) при G(Х) = 1.

Приклад. Нехай є логічна схема (див. рис. 35.1). Можна визначити умови, при яких зміна викличе зміну на виході

Рис. 35.1. Логічна схема для передачі зміни із входу х₁ на вихід

Аналіз функції за допомогою законів алгебри Жегалкина дає результат

d(Х)/dх_i = (x1x2+x3)  (x1x2+x3) = x1x2  x3  x1x2x3  x1x2  x3  x1x2x3 = x2x3

Однак його можна швидше одержати й за допомогою булевой різниці

d(x1,x2,x3)/dх_i = d(x1x2+x3)/dх_i = x3d(x1x2)/dх_i = x2x3d(x1)/dх_i = x2x3