12.6. Біном Ньютона

Поставимо у відповідність кожному об'єкту з множини {}двочлени вигляду 1+і перемножимо їх:

(1+...=

Коефіцієнт багаточлена являє собою суму добутків, кожний з яких є утворений r елементами з n (r-cпoлучень), причому всього вє C(n, r) таких добутків.

Біномом Ньютона і біноміальні коефіцієнти. Якщо покласти , то будь-Якій добуток r-сполучень елементів дорівнює одиниці і, отже,, у такому випадку

(1+x)=

Це вираження називають біномом Ньютона, а r-сполучення з n різних елементів C(n, r) є біноміальними коефіцієнтами.

Якщо визначити якім-небудь способом a_r, можна знайти і значення C(n, r). Навпаки, якщо обчислити числа сполучень з n елементів по r = 0, 1, ... , n, можна одержати коефіцієнти розкладання (1+x).

За допомогою бінома Ньютона можна вивести формули сполучень.

Приклад. Поклавши x = 1 і x = -1, маємо

Перша з цих формул визначає, зокрема, кількість усіх підмножин деякої множині. Якщо продиференціювати біном Ньютона за x і покласти x = -1, можна одержати

,

а якщо продиференціювати k раз за x, розділити на k! і покласти x = 1, можна прийти до співвідношення

, .

Контрольні запитання

1. Що є r-перестановкою?

2. Що є r-сполученням?

3. Що таке специфікація та сімейство представників?

4. У чому полягає правило суми і добутку?

5. Що є перестановки без повторювань елементів?

6. Яка різниця між перестановками без повторювань і з повторюваннями елементів?

7. Що є сполученням без повторювань елементів?

8. Яка різниця між сполученнями без повторювань і з повторюваннями елементів?

9. Як визначити перестановки і сполучення з допомогою рекурентних співвідношень?

10. Що є біномом Ньютона і біноміальними коефіцієнтами?

Список літератури Основна

1. Новиков Ф.А. Дискретна математика для программистов. – СПб.: Питер, 2001. - С.135-156.

2. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. – К.: Техника, 1975. - С.169-174.

3. Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы: Учебное пособие. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - С.8-24, 49-53.

Додаткова

4. Новоселов В.Г., Скатков А.В. Прикладная математика для инженеров-системотехников. Дискретная математика в задачах и примерах. – К.: Учебно-методический кабинет высшего образования, 1992. - С.47-55.

5. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высш.шк., 1986. - С.13-20.

6. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976. - С.25-29.

Для практичних занять

7. Методичні вказівки і завдання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915 / О.М. Мартинюк. – Одеса: ОНПУ, 2001. – С.21-23.

8. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. – М.: Наука, 1973. - С.249-281.

Лекція 13. Комбінаторика. Додаткові методи

Вступ

Лекція має за мету навести додаткові комбінаторні методи. Повернута увага до поліноміальних та експонентних твірних функцій, що узагальнюють біном Ньютона, принцип включення і виключення та розбивок.

У лекції присутні чотири підрозділи:

1. Поліноміальні функції, що виробляють

2. Експонентні функції, що виробляють

3. Принцип включення і виключення

4. Розбивки