- •Одеса Наука і техніка 2006
- •Розділ 1. Теорія множин і алгебраїчних систем
- •1.1. Основні поняття і завдання множин
- •1.2. Операції над множинами. Формули. Тотожності
- •1.3. Доведення тотожностей. Булева алгебра множин
- •1.4. Узагальнення операцій. Подвійність
- •Спісок літератури: Основна
- •2.1. Рівняння
- •2.2. Покриття і розбивки
- •2.3. Потужність множин. Зчисленні і континуальні множини
- •Список літератури Основна
- •3.1. Упорядковані множини
- •3.2. Графіки
- •Список літератури Основна
- •4.1. Відповідності
- •4.2. Образи і прообрази
- •4.3. Відображення і діаграми
- •Список літератури Основна
- •5.1. Основні поняття відношень
- •5.2. Множинні операції відношень
- •Список літератури Основна
- •6.1. Перестановка, ототожнення, приписування фіктивної координати
- •6.2. Згортка де Моргана, суперпозиція
- •Список літератури Основна
- •7.1. Успадковані властивості відношень
- •7.2. Спеціальні властивості відношень
- •Список літератури Основна
- •8.1. Еквівалентність
- •8.2. Порядок
- •8.3. Толерантність
- •8.4. Квазіпорядок
- •Список літератури Основна
- •9.1. Замикання відношень
- •9.2. Спеціальні функції
- •9.2.1. Підстановки
- •9.2.2. Послідовності
- •9.2.3. Функціонали
- •9.2.4. Функції, що зберігають алгебраїчні властивості
- •9.3. Операції
- •9.3.1. Загальні визначення операцій
- •9.3.2. Властивості операцій
- •Список літератури Основна
- •10.1 Композиція об'єктів
- •10.2. Внутрішній закон композиції
- •11.1 Алгебраїчні системи (моделі)
- •11.2. Групи підстановок і кільце множин
- •Розділ II. Комбінаторика
- •12.1. Вибірка елементів
- •12.2. Правило суми і добутку
- •12.3. Перестановки
- •12.4. Сполучення
- •12.5. Рекурентні співвідношення
- •12.6. Біном Ньютона
- •Список літератури Основна
- •13.1. Поліноміальні твірні функції
- •13.2. Експонентні твірні функції
- •13.3. Принцип включення і виключення
- •13.4. Розбивки
- •Список літератури Основна
- •Розділ III. Графи
- •14.1. Основні визначення
- •14.2. Способи представлення графів
- •Список літератури Основна
- •15.1. Основні визначення (продовження)
- •15.2. Зважені (відзначені) графи
- •Список літератури Основна
- •16.1. Операції над графуми
- •16.2. Властивості базових операцій над графами
- •Список літератури Основна
- •17.1. Чисельні характеристики графів
- •17.1.1. Ступінь вершин
- •17.1.2. Цикломатичне число
- •17.1.3. Хроматичне число
- •17.1.4. Множина внутрішньої стійкості
- •17.1.5. Множина зовнішньої стійкості
- •17.2. Представлення графів у пам'яті еом
- •Список літератури Основна
- •Розділ IV. Скінченні автомати
- •18.1. Абстрактний автомат
- •18.2. Способи завдання автоматів
- •18.2.1. Табличний спосіб
- •18.2.2. Графічний спосіб
- •18.3. Розширення функцій і
- •Список літератури Основна
- •19.1. Синхронні й асинхронні автомати
- •19.2. Асинхронні автомати, що тактуються
- •19.3. Перетворення автоматів Мілі і Мура
- •19.3.1. Перетворення автомата Мура в автомат Мілі
- •19.3.2. Перетворення автомата Мілі в автомат Мура
- •19.4. Сполучена модель автоматів – с-автомат
- •Список літератури Основна
- •20.1. Композиція автоматів
- •20.1.1. Рівнобіжне з'єднання
- •20.1.2. Послідовне з'єднання двох автоматів
- •20.1.3. З'єднання зі зворотним зв'язком
- •20.2. З'єднання автоматів з вихідною функцією
- •Список літератури Основна
- •21.1. Мережі автоматів
- •21.2. Еквівалентні автомати мережі
- •Список літератури Основна
- •Розділ V. Булева алгебра
- •22.1. Логічні функції
- •22.2. Булеві функції
- •22.3. Логічні формули
- •Список літератури Основна
- •23.1. Способи завдання булевих функцій
- •23.1.1. Табличний спосіб
- •23.1.2. Аналітичний спосіб Нормальні форми
- •23.1.3. Геометричний спосіб
- •23.1.4. Чисельний спосіб
- •23.2. Приведення формул булевої алгебри до досконалої форми
- •Список літератури Основна
- •24.1. Булева алгебра
- •24.2. Спрощення запису формул
- •24.3. Подвійність формул булевої алгебри
- •24.4. Булева алгебра множин
- •Список літератури Основна
- •25.1. Алгебра Жегалкіна
- •25.2. Типи булевих функцій
- •25.3. Функціональна повнота
- •25.4. Логічні (перемикальні) схеми
- •25.5. Канонічна задача синтезу логічних схем
- •Список літератури Основна
- •26.1. Графічний метод мінімізації булевих функцій
- •26.2. Табличний метод мінімізації
- •Список літератури Основна
- •27.1. Аналітичні методи мінімізації
- •27.1.1. Комплекс кубів
- •27.1.2. Постановка задачі
- •27.2. Метод Квайна
- •27.3. Алгебраїчний метод одержання мінімального покриття (алгоритм Петрика)
- •Список літератури Основна
- •28.1. Метод Квайна-МакКласкі
- •28.2. Мінімізація частково визначених функцій
- •Список літератури Основна
- •29.1 Основні визначення
- •29.2 Інтервальне представлення в матричній формі
- •29.3. Спрощення днф за матричною формою Закревського
- •30.1. Формулювання алгоритму побудови максимальних інтервалів для точки
- •30.2. Алгоритм для днф
- •30.3. Метод Блейка
- •31.1. Основні визначення
- •32.2. Використання системи булевих функцій для синтезу кс
- •31.3 Точний метод мінімізації систем булевих функцій Барті-Полянського
- •31.4. Інтуїтивний метод спрощення системи днф за матричною формою
- •32.1. Інтервальне представлення в еом
- •32.2. Основні операції над інтервальним представленням
- •33.1. Використання операцій інтервального представлення
- •33.2. Метричні властивості диз'юнктивної нормальної форми
- •34.1 Булеві рівняння
- •34.2. Булеві нерівності
- •34.3. Спільні системи нерівностей і рівнянь
- •35.1. Властивості булевой різниці
- •35.2. Методи знаходження булевой різниці
- •35.3. Подвійна булева різниця
- •35.4. Булеві похідні й диференціали
- •36.1. Висловлення предикатів
- •36.2. Логіка предикатів
- •36.3. Правила застосування кванторів
- •Список літератури Основна
- •Список літератури
- •Вступ 3
- •1. Теорія множин і алгебраїчних систем 4
- •2. Комбінаторика 65 Лекція 12. Комбінаторика. Базові методи 65
- •3. Графи 78
- •4. Скінченні автомати 101
- •5. Булева алгебра 123 Лекція 22. Булеві функції 123
14.2. Способи представлення графів
Перший конструктивний спосіб, як відзначалося, - завдання графу G у вигляді двійки G=<X, Г>. За допомогою цього способу не можна задати мультиграф і псевдограф.
Більш складний аналітичний спосіб завдання відзначених графів у вигляді трійки G=<X, V, >, де - відношення, що задається у свою чергу трійкою XVX, таке, що для <xi, vj, xk> випливає, що дуга vj V, з'єднує вершини xi і xk. Трійкою G=<X, V, > можна задати і мультиграф, і псевдограф.
Інший основний спосіб - завдання графу G за допомогою матриці. У матриці суміжності графу G рядка і стовпці відповідають вершинам графу, а елемент (клітка) матриці uij, що відповідає стовпцю xi і xj рядку, дорівнює числу кратних ребер, що зв'язують вершину xi з вершиною xj чи, для орграфу, числу дуг, спрямованих з вершини xi у вершину xj.
Приклад. Орієнтований граф, заданий матрицею суміжності і графічно
Таблиця 14.1
Рис.14.9. Орієнтований псевдограф G =<X, V>, X = {x1, x2, x3, x4, x5}, V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8, v9, v10}
Очевидно, що для будь-якого орграфу на його матриці суміжності справедливо:
n n
xi(s(xi) = uij; p(xi) = uji; G(xi) = s(xi) + p(xi))
j=1 j=1
Матриця суміжності орграфу в загальному випадку не симетрична.
Приклад. Неорієнтований граф, заданий матрицею суміжності і графічно
Таблиця 14.2
Рис. 14.10. Неорієнтований псевдограф : G =<X, V>, X = {x1, x2, x3, x4, x5}, V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6}
Для неорієнтованого графу матриця суміжності симетрична.
Петля в матриці суміжності неорієнтованого графу вважається один раз, тоді для матриця суміжності будь-якого неорієнтованого графу справедливо:
n n
xi( vj = <xi, xi> G(xi) = uik і G(xi) = uik),
k=1 k=1
n n
xi ( vj = <xi, xi> G(xi) = ( uik) + 1 і G(xi) = 1+ uik).
k=1 k=1
Якщо вершина є кінцем ребра, то говорять, що вершина інцидентна ребру, а ребро інцидентно вершині, чи вони інцидентні. Для орграфов розрізняють позитивну інцидентність, коли дуга виходить з вершини, і негативну інцидентність, коли дуга заходить у вершину.
Граф G можна задати матрицею інцидентності, стовпці якої відповідають ребрам (дугам) графу, а рядки - вершинам графу. Для неорієнтованого графу на перетинанні i-го рядка, що відповідає вершині xi, і j-го стовпця, що відповідає ребру vj, ставиться одиниця, якщо вершина xi інцидентна ребру vj. Для орграфу на перетинанні i-го рядка і j-го стовпця ставиться “+1”, якщо дуга vj виходить з вершини xi, і ставиться ”-1”, якщо дуга vj заходить у вершину xi. Кожен стовпець містить два елементи. Петлі зіставляють порожній стовпець, тоді матриця інцидентності задає графу без зазначення вершин, з якіми зв'язані петлі. Ця обстава вимагає спеціальних міток.
Приклад. Неорієнтований граф і його матриця інцидентності
Таблиця 14.3
Рис. 14.11. Неорієнтований псевдограф G =<X, V>, X = {x1, x2, x3, x4, x5}, V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6}
Для будь-якого неорієнтованого графу без петель і його матриці інцидентності справедливо:
m
xi (G(xi) = uij), де m = V.
j=1
Приклад. Орграф, заданий графічно і матрицею інцидентності
Таблиця 14.4
Рис. 14.12. Орієнтований псевдограф G =<X, V>, X = {x1, x2, x3, x4, x5}, V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8, v9, v10}
Для будь-якого орієнтованого графу без петель і його матриці інцидентності справедливо:
m m m
xi(s(xi) = uji (+1); p(xi) = uji(-1); G(xi) = s(xi) + p(xi) = uji ,
j=1 j=1 j=1
де uji(-1) {+1;0}, uji(-1) {-1;0}.
Графи, для яких збігаються відношення інцидентності, називаються ізоморфними. Матриця інцидентності визначає графи без петель з точністю до ізоморфізму.
Рис. 14.13. Ізоморфні графи
Принципово можливо в матриці інцидентності визначити також і петлі графу чи орграфу - у цьому випадку для неорієнтованого графу на перетинанні i-го рядка, що відповідає вершині xi, і j-го стовпця, що відповідає ребру-петлі vj, ставиться двійка, для орграфу на перетинанні i-го рядка і j-го стовпця необхідно, наприклад, вказати одночасно як +1, так і -1.
Для модифікованої в такий спосіб матриці інцидентності справедливі усі твердження, що стосуються звичайної матриці інцидентності.
Контрольні запитання
Як за допомогою двійок визначається граф, чи є таке визначення конструктивним, що дає можливість побудувати граф?
Що є неорієнтованим і орієнтованим графуми?
Що є ребром, дугою, петлею, рівнобіжними ребрами, строго і нестрого рівнобіжними дугами?
Що є ступенем, напівступенем заходу і напівступенем виходу?
Що є простим графом, мультиграфом та псевдографом?
Яка різниця між порожнім і повним графом?
Що є біграфом або двочастковим графом, що є регулярним графом r-го ступеня?
Що декларують суміжність та інцидентність, що є позитивною та негативною інцидентністю?
Як визначити граф за допомогою трійки, чи є таке завдання конструктивним?
Які графи є ізоморфними?