4.2. Образи і прообрази

Визначення. Образом множини А при відповідності , що позначається (А), називається множина усіх тих і тільки тих других компонентів двійок графіка G, для яких перші компоненти належать множині А:

(А)= b|a, b>G і а.

Приклад. ₃=({a,b,c},{1,2,3,4}{(a,1),(a,3),(b,1),(b,4),(c,2)}), А=a, c, d} і A, ₃2, 3}

Образ множини (А ) також називається перерізом відповідності  по множині А.

Визначення. Множина перерізів відповідності  по кожному з елементів області відправлення називається фактором-множиною відповідності  і позначається _F .

Приклад. _1F={{1}, {2}, {4}, } для ₁

_3F={{1, 3}, {1, 2, 4}, {2}} для ₃.

Визначення. Повним прообразом чи прообразом множини В при відповідності , що позначається ^--1(В), називається множина усіх тих і тільки тих перших компонентів пари графіка G, для яких другі компоненти належать множини В:

^--1(В )={a^--1(B )|<a, b>G і b.

Приклад. =({a,b,c},{1,2,3}{(a,1),(b,2),(b,3),(c,2)}), , 3, 4 і В, ^-1(В )=a, b}.

Образи і прообрази мають властивості:

1. (А)пр₂G ^--1(B)пр₁G

2. A ^--1(B^1

3. пр₁G) ^--1(B^--1(Bпр₂G)

4. (A)=Aпр₁G= ^--1(B)=пр₂G

5. пр₁G)=пр₂G ^--1(пр₂G)=пр₁G

6.  ^--1

4.3. Відображення і діаграми

Визначення. Відповідність =(А, В, G) називається відображенням з множини А в множину В, чи просто відображенням, якщо воно скрізь визначене і функціональне, частковим відображенням з множини А в множину В, якщо воно функціональне.

Відображення  скінченної множини М={m₁, m₂, ..., m_n} у себе часто являють 2n-матрицею:

m₁, m₂, ... m_n

m₁) (m₂) … (m_n)

Композиція відображень такого вигляду може бути визначена по цих матрицях. Якщо множина М - звичайна, то ін'єкція (сюр'єкція) М в себе є також бієкцією і називається підстановкою множини М.

Нехай  - відповідність, на основі визначення множини  для  відповідності  може бути зіставлене відображення з Р(А) у Р(В). Аналогічно, відображення з Р(В) у Р(А) може бути зіставлено відповідності ^-1.

Нехай =(А, В, G) - відображення, і А, АА и В, В. Тоді виконуються відношення:

1. 

2.  (рівність - при ін'єкції для звуження )

3. ^--1^--1^--1

4. ^--1)^--1^--1

Крім того, для інєктивності і сюрєктивності еквівалентні три наступні вираження:

1.   ін’єктивно (сюр’єктивно)

2.  Р(А)Р(В) сюр’єктивно (ін’єктивно)

3. ^--1: Р(В)Р(А) сюр’єктивно (ін’єктивно).

Визначення. Якщо М є підмножиною множини М, тобто ММ, то характеристичною функцією М у М називається відображення G_^M:

G_M^: М = G_^m)=1, якщо m

G_^m)=0 у противному випадку

Визначення. Нехай М=М₁ ... _n - декартів добуток, тоді для кожної з множини {1, ... , n}, як відзначалося раніше, визначені відображення рr_і,рr_і, називані проекціями:

рr_і: М_і, рr_і(m₁, ... , m_і, ... , m_n)=m_і

 рr_і: М₁ ... _і-1_і+1 ... _n

 рr_і(m₁... , m_і-1, m_і, m_і+1, ... , m_n)=(m₁, m₂, ... , m_і-1, m_і+1, ... , m_n).

Якщо 1 k n і 1 і₁і₂....і_n, проекція рr_і, _і2, ..., _ік М_і1_і2..._і визначена рівністю рr_{і1, і2, ..., ік}(m₁, m₂, ..., m_n)=(m_і1, m_і2, ..., m_ік).

Для полегшення роботи з відображеннями застосовуються діаграми. Нехай дані відображення _і=(Аі, Аі₊₂ Gі) при і=1, 2 і _j=(A_j, A_j+1, G_j) при j=1, 3, їм відповідає прямокутна діаграма (рис. 4.1).

Ця діаграма називається комутативною тоді і тільки тоді, коли _₃а)=__а) для всіх а₁. Аналогічно можна представити комутативність трикутних, прямих та інших діаграм.

Рис. 4.1. Прямокутна діаграма для відображень: _і=(Аі, Аі₊₂ Gі) при і=1, 2 і _j=(A_j, A_j+1, G_j) при j=1, 3

Контрольні запитання

1. Яка різниця між графіком і відповідністю?

2. Які особливості мають операції для відповідностей?

3. Які властивості мають відповідності та їх операції?

4. Що є образом і повним прообразом?

5. Які властивості мають образи і прообрази?

6. Що є відображенням та які властивості вони мають?

7. Що є характеристичною функцією і діаграмою?