11.2. Групи підстановок і кільце множин

11.2.1. Групи підстановок

Розгляд деяких систем можна почати із групи підстановок, загального опису яких наводився раніше. Групова операція задається внутрішнім законом композиції – композицією підстановок. Необхідно звернути увагу на зміст слова «композиція» у попередній фразі.

Визначення. Композиція (добуток) підстановок а й b — це композиція двох взаємно однозначних відображень множини об'єктів N на себе, тобто N ^a N ^b N, у результаті чого виходить деяка підстановка ab.

Опреділення. Закон композиції - це відображення множини всіх пар підстановок (а, b) на множину підстановок S, тобто SSS, що здійснюється відповідно до правила композиції (множення) підстановок.

Нейтральним елементом у групі підстановок є тотожна підстановка е, а симетричним елементом для будь-якої підстановки а — симетрична підстановка а^-1. Тому що композиція підстановок не підкоряється комутативному закону (ab  bа), то група підстановок n-го ступеня при n >3 - не комутативна.

Якщо множина N кінцева й містить n чисел, то множина S всіх підстановок n-го ступеня також кінцева й містить n! елементів. Така група називається симетричною групою порядку n! (порядок групи визначається числом її елементів).

Підгрупи симетричних груп називають групами підстановок. До них належать одинична група, що містить тільки нейтральний елемент (тотожну підстановку), і сама симетрична група. Однак, крім цих тривіальних груп, є багато підгруп симетричної групи, що є групами підстановок.

Приклад. Групу утворює множина всіх парних підстановок (знакозмінна група). Множина всіх підстановок, що переводить Якій-небудь елемент у себе, також є групою.

Підгрупами симетричних груп вичерпуються всі скінченні групи.

Теорема Кели. Усяка кінцева група порядку n може бути представлена групою підстановок n-го ступеня її елементів.

Приклад. Групі третього порядку із груповою операцією, заданою табл. 11.8, відповідає група підстановок {а₁ а₂, а₃},

Таблиця 11.8

T	x1	x2	x3
x1	x2	x3	x1
x2	x3	x1	x2
x3	x1	x2	x3

де a₁ = x₁ x₂ x₃ a₂ = x₁ x₂ x₃ a₃ = x₁ x₂ x₃

x₂ x₃ x₁ x₃ x₁ x₂ x₁ x₂ x₃

Нейтральним елементом цієї групи щодо закону Т є a₃, a підстановки а₁ й а₂ — взаємно симетричні елементи (а₁a₂ = = a₂а₁= а₃; а₁ = а₂^-1; а₂ = а₁^-1). Якщо елементи вихідної групи пронумерувати й замінити відповідними їм числами, то

a₁ = 1 2 3 a₂ = 1 2 3 a₃ = 1 2 3

2 3 1 3 1 2 1 2 3

Ця група підстановок є підгрупою симетричної групи, що, крім підстановок а₁ а₂ й а₃, містить підстановки кожна з яких обернена самії собі.

a₄= 1 2 3 a₅ = 1 2 3 a₆ = 1 2 3

1 3 2 3 2 1 2 1 3

При великому n для представлення скінченної групи n-го порядку використовується в основному мала частина перестановок симетричної групи.

11.2.2. Кільце множин

Визначення. Непуста система множин утворить кільце множин, якщо для будь-яких А і В цієї системи А+В и АВ також належать до цієї системи множин.

Тут визначені два внутрішніх закони композиції: диз'юнктивної суми й перетинання. Нейтральним елементом щодо суми служить порожня множина , тому що А+ = А. Симетричним для кожного А є сама ця множина, тому що А+А = .

Другий закон є асоціативний A (ВС) = (AВ)С и дистрибутивним щодо першого закону, тобто виконується А(В+С) = = (АB)+(AC).

Нейтральний елемент (одиниця) U щодо другого закону (перетин) визначається співвідношенням АU = А, звідки випливає, що U є максимальною множиною цієї системи, що містить всі інші вхідні в систему множини (універсум U). Якщо такий елемент існує, то є кільце з одиницею (унітарне кільце). Так, унітарне кільце утвориться системою всіх підмножин довільної множини U.

Приклад. Кільцем (без одиниці) може бути множина всіх обмежених відрізків числової прямої (не існує обмеженого відрізка, що служив би одиницею кільця, тобто містив всі обмежені відрізки прямої).

Тому що для будь-яких А і В справедливі співвідношення: АВ = = (А+В) + (АВ) і А\В = А + (АВ), то кільце множин містить також AВ и А\В. Говорять, що кільце замкнуте щодо об'єднання й перетин, різниці й диз'юнктивної суми.

Контрольні запитання

1. Що розуміють під групою? Що розуміють під абелевой групою?

2. Що розуміють під кільцем? Які кільця можливі?

3. Що додає до кільця тіло, поле?

4. Яка різниця між системою й підсистемою?

5. Що таке ідеал?

6. Що розуміють під дільниками нуля?

7. Що таке кільце цілісності?

8. Що називається композицією (добутком) підстановок а й b?

9. Що є законом композиції для композиції підстановок?

10. Що затверджує теорема Кели?

11. Що називають кільцем множин?

Список літератури

Основна

1. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. – К.: Техника, 1975ю - С.141-152.

2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высшая школа, 1986. - С.6-47.

3. Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика: Учеб. Для вузов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - С.112-273.

4. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2001. - С.51-78.

Додаткова

5. Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика: Учеб. Для вузов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - С.175-275.

6. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990. - С.134-195.

7. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976. - С.204-236, 258-346.

8. Ван Дер Варден Б.Л. Алгебра – М.: Наука, 1979. – С.20-80.

9. Мальцев А.И. Алгебраические системы – М.: Наука, 1970 . - С.42-138.

10. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. – М.: Наука, 1973. - С.33-107.

Для практичних занять

11. Методичні вказівки і завдання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915. / О.М. Мартинюк. – Одеса: ОНПУ, 2005. –ч.2. – С.7-11.