Список літератури Основна

1. Новоселов В.Г., Скатков А.В. Прикладная математика для инженеров-системотехников. Дискретная математика в задачах и примерах. – К.: Учебно-методический кабинет высшего образования, 1992. - С.116-137.

2. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2001. - С.88-91.

3. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. – К.: Техника, 1975. - С.504-522.

Додаткова

4. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 1979. - С.19-23.

5. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высш.шк., 1986. - С.47-50.

Для практичних занять

6. Методичні вказівки і завдання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915 / О.М. Мартинюк. – Одеса: ОНПУ, 2001. – С.25-27.

7. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. – М.: Наука, 1973. - С.20-38.

Лекція 24. Булева алгебра. Спрощення. Подвійність

Вступ

Лекція має за мету навести основні поняття булевої алгебри. Розглянути шістнадцять властивостей операцій булевого базису {, , }, спрощення запису формул, подвійність формул булевої алгебри, подвійні і самоподвійні функції. Звернено увагу до булевої алгебри множин і булевої алгебри двійкових векторів, уведено поняття ізоморфних алгебр.

У лекції присутні чотири підрозділи:

1. Булева алгебра

2. Спрощення запису формул

3. Подвійність формул булевої алгебри

4. Булева алгебра множин

24.1. Булева алгебра

Нехай задана деяка множина М и набір операцій Ф, що виконуються на цій множини Ф = {₁, ₂,..., _n}, тоді двійка множин А = (М, Ф) називається алгеброю. Множина М називається основною, чи несучою множиною. Множина Ф називається сигнатурою операцій, чи просто сигнатурою.

Визначення. Булевою алгеброю В = (М,  ,  0, 1) називається множина М с двома бінарними операціями “” і “”, однією унарною операцією інверсії “” у сигнатурі і двома відзначеними елементами (універсальними границями) “0” і “1”, причому для будь-яких x₁, x₂, x₃, що належать множині M, набір операцій відповідає наступним тотожностям.

Основні тотожності булевої алгебри

1. x₁x₂=x₂x₁; x₁x₂=x₂x₁; комутативність

2. x₁(x₂x₃)=(x₁x₂)x₃; x₁(x₂x₃)=(x₁x₂)x₃; асоціативність

3. x₁(x₂x₃)=(x₁x₂)(x₁x₃); x₁(x₂x₃)=(x₁x₂)(x₁x₃); дистрибутивність;

4. x₁0=0; x₁0=x₁; x₁1=x₁; x₁1=1; 0=1; 1=0;

універсальні границі;

5. x₁x₁=x₁; x₁x₁=x₁; ідемпотентність;

6. x₁x₁=0; x₁x₁=1; (x)=x; доповнення і інволютивність

7. x₁(x₁x₂=x₁; x₁(x₁x₂)=x₁; поглинання;

8. (x₁x₂)(x₁x₂)=x₁; (x₁x₂)(x₁x₂)=x₁; Блейка-Порецького;

9. x₁(x₁x₂)=x₁x₂; x₁(x₁x₂)=x₁x₂; (x₁x₃)(x₂x₃)= (x₁x₃)(x₂x₃)= =(x₁x₃)(x₂x₃)(x₁x₂); =(x₁x₃)(x₂x₃)(x₁x₂);

склеювання;

10. (x₁x₂)=x₁x₂; (x₁x₂)=x₁x₂; де Моргана

Крім десяти основних тотожностей необхідно визначити теореми підстановки (11-14) і теореми розкладання (15, 16), що можуть скоріше привести до мінімальної формули.

11. x_if(x₁, x₂,..., x_i,x_i,..., x_n)=x_if(x₁, x₂,..., 1, 0,..., x_n);

12. x_if(x₁, x₂,..., x_i,x_i,..., x_n)=x_if(x₁, x₂,..., 0, 1,..., x_n);

13. x_if(x₁, x₂,..., x_i,x_i,..., x_n)=x_if(x₁, x₂,..., 0, 1,..., x_n);

14. x_if(x₁, x₂,..., x_i,x_i,..., x_n)=x_if(x₁, x₂,..., 1, 0,..., x_n)

15. f(x₁, x₂,…, x_i,…, x_n)=(x_if(x₁, x₂,…,1,…, x_n))(x_i f(x₁, x₂,…, 0,…, x_n));

16. f(x₁, x₂,…, x_i,…, x_n)=(x_if(x₁, x₂,…, 0,…, x_n))(x_if(x₁, x₂,…, 1,…, x_n))

Для доказу тотожностей можна використовувати метод зіставлення таблиць істинності лівої і правої частини тотожностей – досить переконатися в однакових значеннях на відповідних наборах аргументів.

Інший метод заснований на еквівалентних перетвореннях з використанням доведених раніше тотожностей булевої алгебри.

Приклад. а) идемпотентність (збереження ступеня):

хх=(хх)1=(хх)(хх)=х(хх)=х0=х;

б) поглинання:

хху=(х1)(ху)=х(1y)=x 1=х

в) Блейка-Порецького:

хху=(хх)(ху)=1(хy)=хy