Список літератури Основна

1. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2001. - С.33, 38.

2. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. – М.: Энергоатомиздат, 1987. - С.44-51.

3. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. – К.: Техника, 1975. - С.97-115.

Додаткова

4. Глушков В.М., Цейтлин Г.Е., Ющенко Е.Л. Алгебра, языки, программирование. – К.:Наук. думка, 1989. - С.35-44.

Для практичних занять

5. Методичні вказівки і завдІання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915 / О.М. Мартинюк. – Одеса: ОНПУ, 2001. – С.7-10.

Лекція 4. Відповідності, образи і прообрази. Відображення. Діаграми

Вступ

Лекція має за мету висвітлити початкові поняття з відповідностей, образів і прообразів, відображень і діаграм. Розглянуті визначення відповідностей, образів і прообразів, відображень і діаграм, фактор-множини, характеристичні функції, операції об’єднання, Перетин, різниці, додатка, відмінні від простих множинних операцій, операції інверсії, декартового добутку, композиції, звуження, проеціювання. Звернено повагу до властивостей функціональності, ін'єктивності, скрізь визначеності, сюр'єктивності, бієктивності відповідностей, а також до властивостей розглянутих операцій, образів і комутативності діаграм.

Лекція містить три підрозділи:

1. Відповідності

2. Образи і прообрази

3. Відображення і діаграми

4.1. Відповідності

Нехай існують дві множини А і В, елементи яких можуть зіставлятися один одному і утворювати пари вигляду a, b>. Якщо спосіб такого зіставлення визначений, тобто для (кожного) а зазначений b, з Якім а зіставляється, то між А і В установлена відповідність. При цьому не обов'язково, щоб у зіставленні брали участь всі елементи множин А і В.

Визначення. Відповідність - це трійка множин А, В, G, що позначається =G, де третій компонент є підмножиною прямого добутку першого і другого компонентів, тобто GВ. При цьому множина А називається областю відправлення відповідності, множина В - областю прибуття відповідності, множина G - графіком відповідності.

Приклад. =a, b, c, 1, 2, 3, <a, 1>, <a, 3>, <b, 2>

Визначення. Дві відповідності вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні їхні графіки, області відправлення і прибуття.

Відповідності не є множинами, у зв'язку з чим операції над ними відмінні від простих множинних операцій.

Визначення. Об'єднанням відповідностей ₁ і _, де ₁=_, В₁, G₁, ₂=A_ B_, G₂, називається відповідність

₁₂₁₂, В₁₂, G₁G₂.

Визначення. Перетином відповідностей ₁ і ₂, де =₁, ₁, G₁, ₂=A₂, B₂, G₂, називається відповідність

₁₂=₁₂, ₁₂, G₁G₂.

Визначення. Різницею відповідностей ₁ і ₂, де ₁=А₁, В₁, G₁, ₂=₂, B₂, G₂, називається відповідність

₁\₂= ₁₂, В₁₂, G₁\G₂.

Визначення. Доповненням відповідності =(А, В, G) називається відповідність

=(А, В, АхВ\G).

Приклад. ₁= (a, b, c, d, 1, 2, 3, 4, a, 1>, <b, 2>, <c, 4>})

₂=({b, c, d, e}, {2, 3, 4, 5, 6}, {<b, 2>, <b, 3>, <c, 4>, <e, 6>}

₁₂=({a, b, c, d, e}, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, {<a, 1>, <b, 2>, <b, 3>, <c, 4>, <e, 6>})

₁₂=({b, c, d}, {2, 3, 4}, {<b, 2>, <c, 4>})

₁\₂=({b, c, d}, {2, 3, 4}, {<a, 1>})

₂\₁=({b, c, d}, {2, 3, 4}, {<b, 3>, <e, 6>})

₁₂=({b, c, d}, {2, 3, 4}, {<a, 1>, <b, 3>, <e, 6>})

₁=({a, b, c, d}, {1, 2, 3, 4}, {<a, 2>, <a, 3>, <a, 4>, <b, 1>, <b, 3>, b, 4>, <c, 1>, <c, 2>, <c, 3>, <d, 1>, <d, 2>, <d, 3>, <d, 4>})

Визначення. Інверсією відповідності =(А, В, G) чи оберненою відповідністю, що позначається як ^--1, називається відповідність, у якій, по-перше, область відправлення дорівнює області прибуття вихідної відповідності , по-друге, область прибуття дорівнює області відправлення вихідної відповідності , по-третє, графік дорівнює інверсії графіка G вихідної відповідності , тобто ^--1=(В, А, G^-1).

Очевидно, що інверсія відповідності ^-1 дорівнює самій відповідності , тобто(^-1)^-1=.

З рівності відповідності своєї інверсії, тобто з ^-1, випливає, що графік G - симетричний, а множини А і В рівні: А=В.

З =(А, В, ) випливає ^-1=(В, А, ).

Визначення. Декартовим добутком відповідностей ₁ і ₂ називається відповідність

₁₂=(А₁А₂, В₁В₂, G₁G₂)

Приклад.

₁₂=({<a, b>, <a, c>, <a, d>, <a, e>, <b, b>, <b, c>,...,<d, b>, <d, c>, <d, d>, <d, e>}, {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <1, 5>, <1, 6>, <2, 2>, <2, 3>,...,<4, 2>, <4, 3>, <4, 4>, <4, 5>, <4, 6>}, {<<a, b>, <1, 2>>, <<a, b>, <1, 3>>, <<a, c>, <1, 4>>, <a, e>, <1, 6>>,...,<<c, c>, <4, 4>>, <<c, e>, <4, 6>>})

Визначення. Композицією відповідностей ₁ і ₂, що позначається ₁₂, називається відповідність, у якій область відправлення дорівнює області відправлення відповідності ₁, область прибуття дорівнює області прибуття відповідності ₂, графік відповідності дорівнює композиції графіків відповідностей ₁ і ₂, тобто ₁₂=(А₁, В₂, G₁ G₂).

Приклад. ₁=({a,b,c,d,},{0,1,2,3,4,},{(a,1),(b,0),(c,1),(d,2),(d,3)}), ₁=({1,2,3,4,5},{I,II,III},{(1,I).(1,II),(2,II),(3,III),(4,III), (5,III)}), ₂₂=({a,b,c,d},{I,II,III},{(a,I),(a,II),(c,I),(c,II),(d,II),(d,III)})

Визначення. Звуженням чи обмеженням відповідності =(А, В, G) на множину А, що позначається _’, називається відповідність _’ = (А, В, G(АхВ)).

Приклад. =({a,b,c},{1,2,3}{(a,1),(a,2),(c,3)}), А=a, b}, _’=({a,b},{1,2,3},{(a,1),(a,2)}).

У цьому випадку відповідність  називається розширенням чи продовженням відповідності _’.

Включення ₁₂ виконується по визначенню тоді і тільки тоді, коли А₁А₂, В__, G₁G₂.

Визначення. Відповідність =(А, В, G) називається:

а) функціональною чи функцією, якщо її графік G функціональний;

б) ін’єктивною чи ін'єкцією, якщо її графік G ін'єктивний;

в) скрізь визначеною, якщо її область визначення збігається з областю відправлення, тобто пр₁G=А;

г) сюр'єктивною чи сюр'єкцією, якщо її область значень збігається з областю прибуття, тобто пр₂G=В;

д) бієктивною чи бієкцією, якщо вона функціональна, ін'єктивна, скрізь визначена і сюр'єктивна (інша назва бієкції - однозначна відповідність).

Справедливі таки твердження і властивості:

1. ₁ ₂  ₂ ₁ некомутативність

2. ₁(₂ ₃₁ ₂  _ асоціативність

3. ₁ ₂^_^  _^

4.  - функція  ^--1 ін'єкція

5.  - сюр'єкція  ^--1 скрізь визначена

6.  - бієкція  ^-1 бієкція