17.1. Чисельні характеристики графів

Розв’язання багатьох задач методами теорії графів зводиться до визначення тих чи інших чисельних характеристик графів.

17.1.1. Ступінь вершин

Для неорієнтованого графу число ребер, що зв'язані з вершиною х_і, називається ступенем вершини G(х_і), причому петля враховується двічі.

Для орієнтованого графу G = <X, Г> число дуг, що входять у вершину називається напівступенем заходу р(х_і)

 x_i (p(x_i)  Г^-1 (x_i));

число дуг, що виходять з вершини x_i - напівступенем виходу s(x_i)

 x_i (s(x_i) Г (x_i)).

Приклад. Для неорієнтованого графу ступінь вершин х₁, х₂, х₃, х₄ дорівнює відповідно 1, 4, 3, 4 (дуга вважається двічі).

Рис. 17.1. Неорієнтований граф та ступені його вершин s(x1)=1, s(x2)=4, s(x3)=3, s(x4)=4

17.1.2. Цикломатичне число

Нехай G = <X, V>- неорієнтований граф, у якому X = n, V = m і r – число компонентів зв’язності (тобто зв'язних підграфів графу G).

Визначення. Цикломатичним числом графу називається число , що дорівнює

(G) = m –n + r

Цикломатичне число має цікавий фізичний зміст - воно дорівнює найбільшому числу незалежних циклів у графі. При розрахунку електронних ланцюгів цикломатичним числом можна користатися для визначення числа незалежних контурів.

Приклад. Для наведеного на рис. 23.2. двохкомпонентного графу V(G) = 5-4+2 = 3

Рис. 17.2. Двокомпонентний граф з кількістю циклів, що дорівнює трьом

17.1.3. Хроматичне число

Нехай р – деяке натуральне число.

Визначення. Граф називається р-хроматичним, якщо його вершини можна розфарбувати “р” різними кольорами так, щоб ніякі дві суміжні вершини не були розфарбовані однаково.

Визначення. Найменше число р, при якому граф є р-хроматичним, називається хроматичним числом графу і позначається (G).

Якщо (G) = 2, то граф називається біхроматичним. Необхідною і достатньою умовою біхроматичності графу є відсутність у ньому циклів непарної довжини. Визначення хроматичного числа графу, за винятком біхроматичного графу, є трудомісткою задачею.

Приклад. Для розфарбування лівого графу (рис. 17.3) необхідно три кольори, для розфарбування правого – два кольори, тобто правий граф – біхроматичний.

Рис. 17.3. Небіхроматичний і біхроматичний графи

17.1.4. Множина внутрішньої стійкості

Визначення. Множина SX графу G =<X, Г> називається внутрішньостійкою, якщо ніякі дві вершини з S не суміжні, тобто для будь-якого x_iS має місце Г(x_i)S = :

 x_i S (Г(x_i)S = )

Множина внутрішньої стійкості, що містить найбільше число елементів, є найбільшою внутрішньостійкою множиною, а число елементів цієї множині називається числом внутрішньої стійкості графу.

Приклад. Два графи з різними числами внутрішньої стійкості

Рис. 17.4. Графи з числом внутрішньої стійкості два (ліворуч) і три (правіоруч)

Найменше число внутрішньої стійкості мають повні графи, максимальне число - нуль-графи.

Приклад. Числа внутрішньої стійкості повних і порожніх графів, що включають три і чотири вершини, відповідно рівні 1, 1, 3.

Рис. 17.5. Числа внутрішньої стійкості повних (1 – ліворуч і у центрі) і порожнього (3 – праворуч) графів

17.1.5. Множина зовнішньої стійкості

Визначення. Множина TX графу G = <X, Г> називається зовнішньо стійкою, якщо будь-яка вершина, що не належить Т, з'єднана ребрами з вершинами з Т, тобто

 x_i  T (Г(x_i)T  )

Множина зовнішньої стійкості, що містить мінімальне число елементів, зветься найменшою зовнішньо стійкою множиною, а число її елементів називається числом зовнішньої стійкості графу G.

Приклад. Однакові числа зовнішньої стійкості для різних графів, що включають п'ять вершин, відповідно рівні 2, 2

Рис. 17.6. Графи з однаковим числом зовнішньої стійкості два

Найменше число зовнішньої стійкості - у повних графів Т = 1, у нуль-графу у множині зовнішньої стійкості – усі вершини графу Т = n.

Приклад. Числа зовнішньої стійкості порожнього і повних графів, що включають три і чотири вершини, відповідно рівні 3, 1, 1

Рис. 17.7. Числа зовнішньої стійкості повних (1 – ліворуч і у центрі) і порожнього (3 - праворуч) графів