9.2. Спеціальні функції

9.2.1. Підстановки

Визначення. Підстановкою множини А називається біекція на А (біективна відповідність на А).

Число різних підстановок для скінченних множин можна легко обчислити.

Нехай =n і нехай _nP_n - число таких підстановок. _nP_n=n! Оскільки А_n, то можна звести підстановку множини А до підстановки множини _n. Будь-яка підстановка _n повинна визначати образ кожного елемента в _n, що має бути єдиним і відмінним від інших (скрізь визначеність, функціональність та ін’єктивність).

Нехай  - підстановка _n, тоді  можна визначити як множину n пар =(1, x₁), (2, x₂),..., (n, x_n)}, де (x₁, x₂,..., x_n}=N_n.

Приклад. ₁ 1 2 3 4 5 6 

 5 6 3 1 4 2  ₁_

_ 5 6 3 1 4 2 

 4 5 6 3 1 2 

Нехай А=а₁, а₂,..., а_n}.

Визначення. Підстановка  називається циклом (циклічною підстановкою), якщо ={(a₁, a₂), (a₂, a₃),..., (a_n-1, a_n), (a_n, a₁)}.

Говорять також про цикл довжини n, якщо область (множина) А має потужність n.

Нехай АВ і В – скінченні множини. Розширення  на всю множину В дозволяє визначити нову підстановку :

: x= x), якщо x;

x, якщо x,

у цьому випадку  - поводиться подібно  у всіх випадках, коли В не «залишаються на місці». Не всі підстановки можуть бути циклами.

Приклад. ₁ з попереднього прикладу сама по собі не є циклом, але містить такі - (1, 5, 4), (2, 6), (3).

Теорема. Кожна підстановка  на скінченній множині А виражається множиною циклів, цикли при цьому можуть розташовуватися в будь-якому порядку і не перетинатися.

Елемент а множини А, для якого (а)а називається нестаціонарним (у ₁ -  - стаціонарний елемент). Якщо =m, а =nm, то число сюр’ективних і ін’єктивних функцій з А в В чи число функціональних відображень з В в А дорівнює _n_m (число перестановок без повторень), де _n_mn!(n-m)! Якщо при цьому ВА, то число таких множин В (число сполучень без повторень з n по m) дорівнює С_n^m=_nP_m_m_m= n!/m!(n-m)! і С_n^m=C_n^n-m.

9.2.2. Послідовності

Визначення. Послідовністю на множини А називається відображення  в А.

Якщо : - задана послідовність і n)=a_n, то звичайно позначають послідовність не , а (а_n) чи (а₁, а₂,..., а_n,...). У цьому випадку а_n називають n-м членом послідовності.

Приклад. : і  = {(1, червоний), (2, оранжевий), (3, жовтий), (4, зелений), (5, блакитний), (6, дуже блакитний), (7, фіолетовий)}.

9.2.3. Функціонали

Нехай е множини А, В, С і ВС - множина функцій з В у С.

Визначення. Функція f:AC називається функціоналом, тобто для будь-якого а f(a) - функція - f(a)BC, для будь-якого b f(a)(b)C.

Необхідно мати на увазі, що множини функцій С можуть розглядатися як і будь-які інші множини, тобто функціоналів слід розглядати як функції, що мають нетривіальні області значень.

Приклад. Нехай функція f:AC визначає терміновість кореспонденції, функція - f(a):BC – вибір транспортного засобу в залежності від терміновості (потяг, літак,...).

9.2.4. Функції, що зберігають алгебраїчні властивості

Існують функції, що зберігають алгебраїчні властивості і структури.

Визначення. Нехай X і  - множині, а _x і _у – деякі відношення на них і нехай fX - таке відображення, що з відношення x₁_xx₂ випливає відношення (f(x₁)_у(f(x₂), тобто f є відображенням, що зберігає відношення _x у відношенні _у.

Найпростіший приклад - для еквівалентності.

Приклад. Нехай X і  - множині, а _x і _у - відношення еквівалентності на них і нехай fX - відображення. Нехай далі f:_х_у таке, що f={(xyy=f(x), x y, де x і y - класи еквівалентності відповідно з x і y. Якщо f - функція, то з x₁x₂ випливає, що f(x₁=f(x₂, і f є відображенням, що зберігає еквівалентність. У цьому випадку говорять, що f індуцірує відображення f__.