26.2. Табличний метод мінімізації

Частіше за все у табличному методі використовуються карти Карно - спеціальним чином організовані таблиці відповідності: стовпці і рядки таблиці відповідають усілякім наборам не більше двох змінних, причому ці набори розташовані в такому порядку, що кожен наступний відрізняється від попереднього значенням тільки однієї з змінних. ЗавдЯкі цьому сусідні по вертикалі і горизонталі клітки відрізняються тільки однією змінною. Клітки, розташовані симетрично по краях таблиці також вважаються сусідніми і відрізняються однією змінною. Карта Карно представляє функцію у так званому коді Грея.

Для ДНФ клітки наборів, на яких функція приймає значення «1» заповнюються «1». Нульові клітки не заповнюються. Для КНФ клітки наборів, на яких функція приймає значення «0» заповнюються «0». Одиничні клітки не заповнюються.

Аналогічно n-вимірному кубу, сукупності двох сусідніх кліток відповідає 1-куб, 4-х сусідніх кліток - 2-куб і т.д.

Зчитування мінтермів здійснюється за таким правилом: клітки, що утворюють S-куб дають мінтерм (n-s)-го рангу, у котрий входять ті (n-s) змінних, котрі зберігають однакові значення на цьому s-кубі. Для ДНФ значенню «1» відповідають прямі значення змінних, значенню «0» - їхні заперечення. Для КНФ значенню «0» відповідають прямі значення змінних, значенню «1» відповідають їхні заперечення. Змінні, що не зберігають свої значення на s-кубі, у мінтерм (макстерм для КНФ) не входять.

Задача мінімізації за допомогою карт Карно формулюється аналогічно задачі мінімізації на n-мірному кубі. Даний алгоритм мінімізації дає МДНФ для значень функції «1» чи МКНФ для значень функції «0».

Приклад. Карта Карно для функцій від однієї змінної f₁= x (табл. 26.1), двох змінних f₂=x₁x₂ (табл. 26.2), трьох змінних f₃=(x₂x₃)(x₁x₂)(x₁x₂x₃) (табл. 26.3) і чотирьох змінних f₄=(x₂x₃)(x₁x₂x₄)(x₁x₂x₃) (табл. 26.4)

Таблиця 26.1

f₁ x=0 1

1

Таблиця 26.2

f₂ x₁,x₂ 00 01 11 10

1

1

1

Таблиця 26.3

f3 x1,x2 x3	00	01	11	10
0	1			1
1		1		1

Таблиця 26.4

f4 x1,x2 x3x4	00	01	11	10
00		1	1
01		1	1	1
11	1			1
10	1

Використання карт Карно вимагає більш простих побудов (наочних), особливо у випадку функцій від 4-х змінних, у порівнянні з відображенням на n-вимірному кубі. Для відображення функцій 5-ти змінних використовуються дві карти Карно від 4-х змінних, для функцій 6-ти змінних використовуються чотири карти Карно, але при n5 наочність карт Карно губиться.

Приклад. Дві карти Карно для функції від п'яти змінних, що відрізняються значенням x₅ (табл. 26.5, 26.6), f₅=(x₂x₄)(x₁x₂x₃)(x₂x₃x₄)(x₁x₂x₃)(x₁x₃x₄).

Таблиця 26.5

f5 x1,x2 x3x4	00	01	11	10
00	0		0	0
01		0	0
11
10	0			0

x₅=0

Таблиця 26.6

f5 x1,x2 x3x4	00	01	11	10
00	0			0
01	0
11			0	0
10	0			0

x₅=1

Подібні картам Карно карти Вейча, що відрізняються іншим порядком проходження наборів та використовують позиційний код. Правила мінімізації для карт Вейча інші і не настільки наочні.

Приклад. Карта Вейча для функцій від трьох та п'яти змінних f₆=(x₁x₂)(x₂x₃)(x₁x₂x₃), f₇=(x₃x₅)(x₁x₂x₄)(x₁x₃x₄x₅).

Таблиця 26.7

f6 x1,x2 x3	00	01	10	11
0		1		1
1	1			1

Таблиця 26.8

f7 x1,x2,x3 x4,x5	000	001	010	011	100	101	110	111
00	0		0		0		0
01	0					0		0
10	0		0	0	0		0
11			0	0

Контрольні запитання

1. Як установлюється відповідність n-вимірного куба формулі булевої функції?

2. Що зіставляється конституенті одиниці або нуля у n-вимірному кубі?

3. Що зіставляється мінтерму або макстерму (n-k)-го рангу у n-вимірному кубі?

4. Що є s-кубами для n-вимірного куба?

5. Яка сукупність s-кубів є покриттям функції?

6. Як знайти мінімальне покриття функції?

7. Яка різниця у використанні графічного методу для КНФ?

8. Як виконується розмічування стовпців та рядків карти Карно і чому саме так?

9. Що відповідає конституенті одиниці або нуля у карті Карно?

10. Що відповідає мінтерму або макстерму (n-k)-го рангу у карті Карно?

11. Як виконується мінімізація за допомогою карти Карно?

12. Чи є якось обмеження у мінімізації за допомогою карти Карно?

13. Що є картою Вейча і як виконується мінімізація за допомогою карти Вейча?