15.2. Зважені (відзначені) графи

Якщо ребрам (дугам) графу приписані деякі ваги (мітки), то такі графи називаються зваженими (відзначеними).

Вага дуги чи ребра може означати довжину, пропускну здатність, напругу чи струм і т. д. Ваги можна приписувати не тільки ребрам (дугам), але і вершинам. Зважені графи знаходять застосування, наприклад у мережному плануванні. Зважені орієнтовані графи називаються графами потоків-сигналів. Зважені орграфи знаходять застосування, наприклад, у теорії ланцюгів. Зважений граф, що не містить кратних ребер, може бути представлений матрицею суміжності. При цьому кожен її ненульовий елемент дорівнює вазі відповідного ребра (дуги).

Приклад. Матриця суміжності і графічне представлення зваженого орграфу

Таблиця 15.1

	x1	x2	x3
x1			7
x2	5
x3		8

Рис. 15.9. Зважений орграф

Контрольні запитання

1. Що є маршрутом, довжиною маршруту?

2. Що є ланцюгом, простим ланцюгом, циклом, простим циклом?

3. Яка різниця між ейлеревим та гамільтоновим циклами?

4. Що є підграфом, яка різниця між початковою та кінцевою вершинами?

5. Що є потужно зв’язаним, зв'язаним, слабо зв’язаним графами?

6. Що є роздільним графом, точкою зчленування, мостом?

7. Що є деревом, які відношення між кількостями вершин і ребер є у дереві?

8. Яка різниця між ексцентриситетом, радіусом і центром?

9. Яка різниця між графом та зваженим графом?

Список літератури Основна

1. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. – М.: Наука, 1990. - С.22-26, 133-148, 191-207.

2. Кук Л., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990. - С.224-257.

3. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2001. - С.195-197.

Додаткова

4. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высш.шк., 1986. - С.94-102.

Для практичних занять

4. Методичні вказівки і завдання до контрольних робіт з дисципліни «Основи дискретної математики» для студентів очної та заочної форм навчання фахів 6.0804, 6.0915 / О.М. Мартинюк. – Одеса: ОНПУ, 2001. –С. 43-44.

5. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. – М.: Наука, 1973. - С.111-137.

Лекція 16. Теоретико-множинні операції над графуми

Вступ

Лекція має за мету навести поняття теоретико-множинних операцій над графами. Розглянути визначення об’єднання, перетину, доповнення, різниці, декартова добутку і композиції графів, а також десять загальних властивостей базових операцій. Звернено увагу до упорядкованості компонентів графів і операцій над компонентами, яка відрізняє графові операції від звичайних множинних.

У лекції присутні два підрозділи:

1. Операції над графуми

2. Властивості операцій над графуми

16.1. Операції над графуми

Нехай задані два орграфи G =<X, Г>, H = <Y, P>.

Визначення. Об'єднанням Q = GH називається граф Q = <A, S> такий, що

A = XY, а S = ГР.

Приклад : Граф G, для якого X = {x1, x2, x3}, Г = {<x1, x2>, <x1, x3>, <x2, x2>, <x3, x2>}; граф H, для якого Y ={x1, x2}, P = {<x1, x1>, <x2, x1>, <x2, x2>}. У результати є граф Q, для якого A = {x1, x2, x3}, S = {<x1, x1>, <x1, x2>, <x1, x3>, <x2, x1>, <x2, x2>, <x3, x2>}. G і H – підграф графу Q, GQ і H Q

Рис. 16.1. Об'єднання графів

Властивості операції об'єднання

 x_iXY(S(x_i) =Г(x_i)  P(x_i))

 xiXY(S^-1(x_i) =Г^-1(x_i)  P^-1(x_i))

Визначення. Перетинанням Q = GH називається граф Q = <A, S> такий, що

A = XY, а. S = ГР.

Приклад. A = {x1, x2}, S = {<x2, x2>}, Q – підграф графів G і Н із попереднього прикладу, Q G і Q H

Рис. 16.2. Перетинання графів

Властивості операції перетинання

 x_iXY(S(x_i) =Г(x_i)  P(x_i))

 x_iXY(S^-1(x_i) =Г^-1(x_i)  P^-1(x_i))

Граф G = <X, Г> називається наповненим (повним), якщо Г = X².

Визначення. Доповненням графу G = <X, Г> до наповненого називається граф

G = <X, Г>, де Г = X² \ Г.

Приклад. G = <X, Г>, X = {x1, x2, x3}, Г ={<x1, x2>, <x1, x3>, <x2, x2>, <x2, x3>, <x3, x1>}, X² ={<x1, x1>, <x1, x2>, <x1, x3>, <x2, x1>, <x2, x2>, <x2, x3>, <x3, x1>, <x3, x2>, <x3, x3>},

G = <X, Г >,Г = X² \ Г = {<x1, x1>, <x2, x1>, <x3, x2>, <x3, x3>}.

Рис. 16.3. Доповнення графу G = <X, Г >

Властивості операції доповнення

 x_iX(Г(x_i) = X \ Г(x_i))

 x_iX( Г^-1(x_i) = X \ Г^-1(x_i))

Визначення. Різницею графів Q = G \ H називається граф Q= = <A, S> такий, що

A = XY, S = Г \ P = Г P, тобто Q = G \ H = G H

Приклад. Для двох вхідних графів G = <X, Г>, H = <Y, P> для графу різниці Q = G \ H множини вершин і дуг визначаються як A = X Y = { x1, x2}, P = {<x1, x2>}, S = {<x1, x2>}.

Рис. 16.4. Різниця графів Q = G \ H = GH

Властивості операції різниці:

 x_iXY(S(x_i) = Г(x_i) \ P(x_i))

 x_iXY(S^-1(x_i) = Г^-1(x_i) \ P^-1(x_i))

Нехай задані два графи G = <X, Г>, H = <Y, P>.