Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
2605.pdf
Скачиваний:
151
Добавлен:
07.01.2021
Размер:
33.4 Mб
Скачать

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ КОНСТРУКЦИИ И ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЭКСПЛУАТАЦИИ

ТРАНСПОРТНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МАШИН И КОМПЛЕКСОВ

Siberian State Automobile and Highway University (SibADI) (644080, Mira, 5 prospect, Perm, Russian Federation, e-mail: : saveliev_sergval@mail.ru).

Semenov Dmitryi Pavlovich (Russian Federation, Omsk) – magistrant, departament Operation and service of transport and technological machines and systems in construction of The Siberian State Automobile and Highway University (SibADI) (644080, Mira, 5 prospect, Perm, Russian Federation, e-mail: sdp94-94-94@mail.ru).

Shaev Amir Aleksandrovich (Russian Federation, Omsk) – magistrant, departament Operation and service of transport and technological machines and systems in construction of The Siberian State Automobile and Highway University (SibADI) (644080, Mira, 5 prospect, Perm, Russian Federation, e-mail: saveliev_sergval@mail.ru).

УДК 62.822

ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К ВЫЧИСЛЕНИЮ ПОТЕРИ МОЩНОСТИ ОТ ВОЗДЕЙСТВИЯ СИЛЫ ТРЕНИЯ

APPLICATION OF THE DEFINITE INTEGRAL TO THE CALCULATION

THE POWER LOSS FROM THE EFFECTS OF FRICTION

А.А. Солин

Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет (СибАДИ), Россия, г. Омск

 

Аннотация. В данной работе на основе вычисления определенного интеграла

 

рассмотрены некоторые задачи, связанные с вычислением работы силы трения

 

применительно к таким механизмам, как цапфы. А также рассматривается примеры

 

вычисления потери мощности вследствие силы трения. Проводится сравнительный анализ

 

потери мощности для приработавшихся и новых пят.

 

 

Ключевые слова: работа силы трения, определенный интеграл, потери мощности,

275

цапфы, пята.

 

 

 

 

Введение

 

 

Работа силы трения в цапфах. Цапфами вообще

 

 

называют опорные части вращающихся валов. Если

 

 

передаваемое цапфой давление направлено по оси вала

 

 

(что обыкновенно имеет место в случае вертикальных

 

 

валов), то цапфу специально называют пятой, а

 

 

неподвижную опору, в которой цапфа вращается, -

 

 

подпятником. Если же давление перпендикулярно к оси

 

 

вала (как это чаще всего бывает в случае горизонтальных

 

 

валов), то цапфу называют также шипом, а подушку, в

 

 

которой вращается шип, - подшипником. В настоящейработе

 

 

мы рассмотрим вопрос о мощности, затрачиваемой на

 

 

трение в цапфах, ограничиваясь простейшими (но наиболее

 

 

важными в машиностроении) случаями [1].

 

 

Вывод формулы потери мощности в простой пяте

 

 

Рассмотрим трение в плоской пяте. Плоская пята

 

 

представляет собой цилиндрическое тело, которое на

 

 

подпятник опирается своим плоским основанием как

 

 

показано на рисунке 1.

 

 

Это основание имеет форму круга или кругового кольца;

Рисунок 1 – Осевое сечение

 

мы будем считать его кольцом, с внешним радиусом R и

 

внутренним радиусом, r0 мы получим сплошное круговое

плоской пяты

 

 

 

сечение. Обозначим через P полное давление, передаваемое пятой, через p - давление на

Фундаментальные и прикладные исследования молодых учёных: материалы Международной научно- практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных, 8-9 февраля 2017 г.

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ КОНСТРУКЦИИ И ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЭКСПЛУАТАЦИИ

ТРАНСПОРТНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МАШИН И КОМПЛЕКСОВ

единицу площади пяты, в рассматриваемой ее точке. Не касаясь пока вопроса о рассмотрении давления, отметим лишь одно очевидное обстоятельство: точки пяты, равноудаленных от ее центра 0, находится в одинаковых условиях и в них давление должно быть одинаково. Таким

образом, p вообще можно считать функцией от радиус-вектора r. Ниже будут указаны

допущения, которые обычно делаются относительно этой функции; но одному условию она должна удовлетворять, во всяком случае, именно полное давление на пяту должно уравновешиваться давлением Р со стороны вала.

Для того, чтобы вычислить это полное давление, прибегнем снова к методу суммирования бесконечно малых элементов, причем за независимую переменную примем радиус r,

изменяющийся от r0 до R [2]. Разбивая этот промежуток на части, мы в то же время можем

разложить все кольцо на элементарные концентрические кольца, так что все давление P

сложится из элементарных давлений, соответствующих отдельным кольцам. Рассмотрим теперь кольцо, ограниченное окружностями радиусов r и r + dr (на рисунке 1 оно

заштриховано). Площадь этого кольца есть

π (r + ∂r) 2 πr 2 = 2πrr + π (r) 2 ,

отбрасывая бесконечно малую второго порядка π (r) 2 , можно принять эту площадь

приближенно равной 2πr r. Если p есть давление (на единицу площади) в точке, отстоящей от центра на расстояние r , то рассматриваемую кольцу отвечает элементарное давление [3]

P = p 2πrr.

Проинтегрировав данное выражение, получим равенство

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P = 2π prr .

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

r0

 

 

 

 

 

 

276

Таким образом, определили суммарное давление,

распределенное по пяте, которое равно

давлению со стороны вала.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вывод потери мощности во вращающейся пяте

 

 

 

 

 

 

Определим теперь момент

сила

трения

во

 

вращающейся пяте относительно

оси

 

вращения.

 

Рассмотрим снова

элементарное кольцо, о котором шла речь выше;

 

развивающаяся в нем сила трения, противодействующая вращению, будет равна [4]

 

 

 

 

 

 

 

 

µ dP = 2πµ prdr,

 

 

 

 

так что соответствующий ей элементарный момент

 

выражается произведением из этой

 

силы на плечо

 

(общее для всех точек кольца)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dM = 2πµ pr 2 dr

 

 

 

 

Отсюда полный момент трения будет равен [5]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

2 dr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M = 2πµ p r

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r0

 

 

 

 

 

 

Как известно из механики,

работа

, производимая таким постоянным вращательным

 

моментом

M

в одну секунду, получается

умножением момента M на угловую скорость (1/сек.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вращения

 

 

 

 

A = M ω.

 

 

 

 

(3)

 

Для того, чтобы окончательно найти работу A необходимо сделать те или иные допущения относительно закона распределения давления p на поверхности пяты.

Самым простым являются предположения, что давление распространяется равномерно, т. е. что р = с = const. После вычисления интеграла (1) определим величину этой постоянной [6]

Фундаментальные и прикладные исследования молодых учёных: материалы Международной научно- практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных, 8-9 февраля 2017 г.

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ КОНСТРУКЦИИ И ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЭКСПЛУАТАЦИИ

ТРАНСПОРТНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МАШИН И КОМПЛЕКСОВ

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c =

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P = 2πc rdr = πc(R 2 r02 ),

так что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π (R 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Впрочем, в этом случае и так ясно, что если давление

 

 

равномерно распределяется по

 

площади кольца π (R 2 r02 ), то на единицу площади придется

 

давление

 

 

P

 

 

 

.

 

 

 

 

π (R

2 r

2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

Подставляя это значение вместо р в (2), найдем далее

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M = 2πµ

 

 

 

P

 

 

r

2 dr =

2

µP

R

 

r0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π (R

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r0 )

 

r0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

r0

 

 

 

 

 

 

 

 

Это нетрудно понять, прикинув, что момент

 

равен силе

 

 

 

, умноженной на радиус , а

 

угловая скорость равна 2

 

 

, где - число оборотов в 1 сек., так что произведение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M ω = F 2πr v,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

действительно равно силе, умноженной на перемещение, т.е. работе .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что величина работы не изменится, если перенести точку приложения силы, но

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

изменив ее величину так, чтобы момент остался прежним. Таким образом, именно момент

 

играет существенную роль.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В частности, для сплошной пяты будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M =

2

µPR.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однако эти результаты прилагают лишь к новым, не обтершимся еще пятам. Дело в том,

 

что при вращение вала точки пяты, дальше отстоящие от центра вращения ,

движутся с

 

большей скоростью, в них работа трения больше и, соответственно, больше и изнашивание, как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пяты, так и подпятника. Исходя из этого, часть давления перелагается на более близкие к

277

центру части пяты. Для старых, приработавшихся пят обычно допускается, что давление на них

 

 

распределяется так, что работа трения (на единицу площади), а с ней и изнашивание, всюду

 

сохраняет постоянную величину.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формуле dA = ωdM (3)

 

 

 

на

площадь 2πrdr

 

Разделив

элементарную

работу в

 

 

 

 

 

элементарного кольца, запишем наше допущение в виде [7]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ωµ pr =

 

 

 

,

откуда и

pr = c =

пост.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пост.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, мы предполагаем, что

 

изменяется обратно пропорционально расстоянию r от центра.

 

Подставляя

с

вместо p r

условие (1), найдем величину этой постоянной [8]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P = 2πc dr = 2πc (R r0 ) откуда c =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π (R

r0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

Наконец, заменив и в (2) pr полученным выражением, придем и к такому результату

 

 

 

 

 

 

М = 2πµ

 

 

 

 

P

 

 

 

R

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rdr =

µP (R + r0 )

 

 

 

 

 

 

(5)

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(R r )

r0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для сплошной же пяты

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M =

1

µPR.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример иллюстраций, полученные выше формулы для потери мощности

Рассмотрим пример, иллюстрирующий применение полученных формул для определения потери мощности.

Ось гидравлической турбины, делающей 90 оборотов в минуту, опирается на плоскую пяту с кольцевым основанием, внешней и внутренний диаметры которого соответственно равны 14 см

Фундаментальные и прикладные исследования молодых учёных: материалы Международной научно- практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных, 8-9 февраля 2017 г.

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ КОНСТРУКЦИИ И ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЭКСПЛУАТАЦИИ

ТРАНСПОРТНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МАШИН И КОМПЛЕКСОВ

и 2 см. Определить потерю мощности на трение, принимая полное давление на пяту

 

= 8,5 т и

коэффициент трения

 

= 0,02.

 

В этом случае

угловая скорость

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0=0,01 м. Для

 

 

ω =

2π 90

= 3π (

1

),

 

 

 

 

 

 

сек

затем,

= 0,07 м и

 

 

60

 

 

 

 

новой пяты, по формуле (4), момент трения будет равен

 

 

2

0,07 3

0,013

 

 

 

 

 

М =

 

 

0,02 8500

 

 

 

= 8,1 кг м ,

 

 

 

3

0,07 2

0,012

 

для приработавшейся же пяты, в силу (6), получим

М = 1 0,02 8500 0,08 = 6,8 кг м, 2

т. е. примерно в 1,2 раза меньше, чем в случае с новой пяты.

 

 

 

 

 

 

Соответствующую потерю мощности найдем, по формуле (3), умножением

 

на

 

= 3

и

(если угодно иметь ее выраженной в лошадиных силах) делением на 75; в

результате получим,

 

 

 

 

 

 

работа , производимая таким постоянным вращательным моментом равна:

 

 

 

 

 

А = 0,102 л.с. или A = 0,85 л.с.

Заключение

Приведенный выше пример иллюстрирует простоту вычисления потери мощности по полученным выше формулам.

Сопоставляя, выведенные в работе формулы (4) и (6), легко показать, что потеря мощности на трение в случае приработавшихся пят меньше, чем в случае новых пят для сплошной пяты.

Библиографический список

1. Артоболевский, И.И. Теория механизмов и машин / И.И. Артоболевский. М. : Наука, 1975.

– 699 с.

278

 

2.Руппель, Е.Ю. Приложение рядов для расчета рекуперации кинетической энергии при

использовании пневмогидроаккумулятора / Е.Ю. Руппель // Вестник Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. – 2015. – № 5. С. 129–135.

3.Болдовская, Т.Е. Задачник практикум по математике: учебное пособие. В 2-х частях. Том 1 / Т.Е. Болдовская, С.В. Матвеева, Е.Ю.Руппель; СибАДИ. Омск: СибАДИ, 2013. – 116 с.

4.Дрыгин, В.В. Теория механизмов, детали машин и основы конструирования: курс лекций / В.В. Дрыгин. Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2007. – 239 с.

5.Руппель, Е.Ю. Задачник практикум по математике: учебное пособие. В 2-х частях. Том 2 / Е.Ю. Руппель, С.В. Матвеева, Т.Е. Болдовская; СибАДИ. Омск: СибАДИ, 2013. – 154 с.

6.Руппель, Е.Ю. Математика: Числовые и функциональные ряды. Элементы теории вероятностей и математической статистики : учебное пособие / Е.Ю. Руппель; СибАДИ. Омск: СибАДИ, 2016. – 158 c.

7.Руппель, Е.Ю. Элементы теории вероятностей и методы статистической обработки экспериментальных данных: учеб. пособ./Е.Ю. Руппель. Омск: СибАДИ, 2003.-156 с.

8.Руппель, Е.Ю. Математическое моделирование линии управления пневмоприводом / Е.Ю.Руппель // Наука XXI века: опыт прошлого - взгляд в будущее: материалы Международной научно-практической конференции. СибАДИ, 2015. С. 36 – 39.

9.Матвеева, С.В. Математика. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Комплексные числа: учебное пособие/ C.В. Матвеева; СибАДИ. Омск: СибАДИ, 2016. – 112 c.

APPLICATION OF THE DEFINITE INTEGRAL TO THE CALCULATION

THE POWER LOSS FROM THE EFFECTS OF FRICTION

А.А. Solin

Abstract. In this paper, on basis of computation of the definite integral considered some of the tasks associated with the calculation of the frictional work in such mechanisms as the axle. As well as

Фундаментальные и прикладные исследования молодых учёных: материалы Международной научно- практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных, 8-9 февраля 2017 г.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]