ТЕХНОЛОГИИ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРА
УДК 624.04
ПРОЧНОСТЬ И МЕСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ АРОЧНЫХ ПРОКАТНЫХ ПРОФИЛЕЙ ТРАПЕЦИЕВИДНОГО СЕЧЕНИЯ С УЧЕТОМ ОСТАТОЧНЫХ
НАПРЯЖЕНИЙ ПРОДОЛЬНОГО ГИБА
DURABILITY AND LOCAL STABILITY OF ARCH ROLLING PROFILES OF TRAPEZOID SECTION TAKING INTO ACCOUNT RESIDUAL TENSION
OF LONGITUDINAL GIBA
Е.А. Сеитов
Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет (СибАДИ), Россия, г. Омск
Аннотация. В данной работе произведен численный анализ прочности и местной устойчивости арочных прокатных профилей трапециевидного сечения с учетом остаточных напряжений продольного гиба. Расчетная схема моделируется в программном комплексе ANSYS, основанном на методе конечных элементов Представлены результаты численного
моделирования арочного профиля с оценкой влияния остаточных технологических напряжений на прочность и местную устойчивость профиля.
Ключевые слова: арочный профиль, трапециевидное сечение, численное моделирование, метод конечных элементов, остаточные технологические напряжения, потеряустойчивости, прочность.
Введение |
119 |
В открытой литературе в настоящее время не учитывается влияние остаточных напряжений |
|
|
на прочность и местную устойчивость арочного продольно гнутого профиля трапециевидного сечения в составе бескаркасных сводов и покрытий [1,2,3].
Проведенные расчеты показали, что нормальные остаточные напряжения продольного ги ба неравномерно распределяются по высоте сечения профиля и могут составлять, при малых радиусах арочного профиля, до 90% от расчетного сопротивления листовой стали. Остаточные напряжения являются самоуравновешенной системой, при этом они вносят изменения в на пряженно-деформированное состояние нагруженных профилей. Так если остаточные напряже
ния в верхней полке отрицательные, то потеря местной устойчивости верхней полки, при ее сжатии, произойдет раньше, то же самое наблюдается, при расчете на прочность, так как дей ствие нормальных напряжений от изгиба, вызываемого внешними силами, складывается с ос таточными технологическими нормальными напряжениями, полученными в процессе изготов ления арочных заготовок. Процесс проката предполагает холодное деформирование плоских профилей. В зоне гиба профиля участки его сечения вовлекаются в зону пластических дефор маций с образованием остаточного радиуса продольного гиба.
Численное моделирование
Расчетная схема, изображенная на рисунке 1, моделируется в программном комплексе ANSYS [5], основанном на методе конечных элементов. В данной работе рассматривался про филь Н-60-0.7[4] высотой 60мм и толщиной 0.7мм.
Фундаментальные и прикладные исследования молодых учёных: материалы Международной научно- практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных, 8-9 февраля 2017 г.
ТЕХНОЛОГИИ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРА
Рисунок 1 – Расчетная схема и параметры арочного профиля Н-60-0.7 при исследовании
потери местной устойчивости элементов сечения
Жесткость торцевых элементов должна быть достаточной для равномерной передачи на грузки по ширине арочного профиля. Торцевые элементы раскреплены жесткими тяжами в цен тре окружности О. Для чистоты численного моделирования целесообразно нагрузку N прикла
дывать к торцам равномерно распределенной вдоль оси х. В данной работе толщина торцевых 120 элементов для профиля Н-60-0.7 принята равной 100мм с закреплением их от поворотов отно
сительно осей y и z.
На рис. 2 приведена диаграмма N(M) показывающая границу потери первой собственной формы устойчивости арочного профиля Н-60-0.7 с радиусом R = 23.26 м. В данном случае при Mx>0 устойчивость теряет верхняя полка арочного профиля, а при Mx≤0, теряет устойчивость
нижняя.
Рисунок 2 – Области потери местной устойчивости полок арочного профиля Н-60-0.7 с геометрическим радиусом R = 23,26 м
Фундаментальные и прикладные исследования молодых учёных: материалы Международной научно- практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных, 8-9 февраля 2017 г.
ТЕХНОЛОГИИ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРА
Зная значения критических нормальных напряжений, приводящих к потере местной устой чивости полок:
σ кр = N кр + M x кр = N кр + N кр e ;
A Wx A Wx
и учитывая остаточные нормальные технологические напряжения в полках [4] получим:
N кр + M x кр = σ кр − σ ост ; |
|
A |
Wx |
= (σ кр −σ ост ) AWx =
N кр Wx + eA ; M xкк eNкр .
При расчетах приняты ранее полученные значения остаточных напряжений продольного ги
ба для верхней полки профиля σ ост = -111 МПа, для верхней полки профиля σ ост = -40
МПа.
Зависимость N(M), определяющая исчерпание прочности полок арочного профиля с учетом
остаточных напряжений представим в виде:
|
N |
+ |
M x |
= R y γ c |
− σ ост ; |
|
σ ост = -111 (-40) МПа; |
|
||
|
|
|
|
|||||||
|
A Wx |
|
|
|
|
|
|
|||
|
N MAX = N (M х |
= 0) ; |
|
M MAX |
|
= M х ( N = 0). |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
По полученным значениям N и Мх построены диаграммы, отражающие границы потери ме |
|
|||||||||
стной устойчивости и исчерпания прочности полок арочного профиля с учетом остаточных на |
121 |
|||||||||
пряжений (рис.3). Эти же диаграммы без учета влияния остаточных напряжений продольного |
|
|||||||||
|
||||||||||
гиба представлены на рис. 4.
Рисунок 3 – Границы потери местной устойчивости и исчерпания прочности полок арочного профиля Н60-0.7 с R = 23,26 м с учетом остаточных технологических
напряжений продольного гиба
Фундаментальные и прикладные исследования молодых учёных: материалы Международной научно- практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных, 8-9 февраля 2017 г.
ТЕХНОЛОГИИ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРА
Рисунок 4 – Границы потери местной устойчивости и исчерпания прочности полок арочного профиля Н-60-0.7 с R = 23,26 м без учета остаточных технологических
напряжений продольного гиба
Выводы
В результате анализа полученных данных, дана количественная оценка влияния остаточ ных напряжений на местную устойчивость и прочность полок арочного профиля Н-60-0.7 с радиусом продольного гиба R = 23.26 м. Выявлено значительное снижение значений внутренних сил, приводящих
к потере местной устойчивости и исчерпанию прочности полок арочного профиля.
Научный руководитель – д-р техн. наук, проф. Макеев С.А.
Библиографический список |
122 |
1. Еремеев, П.Г. К проектированию бескаркасных конструкций арочных сводов из холодногнутых тон
колистовых стальных профилей / П.Г. Еремеев, Д.Б. Киселев, М.Ю. Арменский // Монтажные и специаль ные работы в строительстве. – 2004. – № 7. – С. 54–57.
2. Макеев, С.А. Большепролетные покрытия на основе арочных несущих балок составного сотового сечения / С.А. Макеев, Ю.В. Афанасьев, Л.В. Красотина // Строительная механика и расчет сооружений. –
2008. – № 3. – С. 16–20.
3. Макеев, С.А. Математическая модель бескаркасного двухслойного арочного свода из холодногну
тых тонколистовых стальных профилей / С.А. Макеев, А.В. Рудак // Строительная механика и расчет со оружений. – 2009. – № 2. – С. 2–6.
4. ТУ 112-235-39124899–2005. Профили стальные гнутые арочные с трапециевидными гофрами. Тех нические условия. – Введ. 2005-12–10. – Новосибирск : Изд-во СибНИИстрой, 2005. –18 с.
5. ANSYS для инженеров : учеб. пособие / А.В. Чигарев и др. – М.: Машиностроение-1, 2004. – 512 с.
DURABILITY AND LOCAL STABILITY OF ARCH ROLLING PROFILES OF TRAPEZOID SECTION TAKING INTO ACCOUNT RESIDUAL TENSION OF LONGITUDINAL GIBA
E.A. Seitov
Abstract. In this work the numerical analysis of durability and local stability of arch rolling profiles of trapezoid section taking into account the residual tension of a longitudinal gib is made. The settlement scheme is modelled in the program ANSYS complex based on a method of final elements results of numerical modeling of an arch profile with assessment of influence of residual technological tension on durability and local stability of a profile are presented.
Keywords: arch structure, trapezoid section, numerical modelling, method of final elements, residual technological stress, buckling failure, durability.
Сеитов Ерлан Ахтамович (Россия, г. Омск) – группа См-16П3 ФГБОУ ВО «СибАДИ» (644080, г.
Омск, пр. Мира, 5, e-mail: simbaev92@mail.ru).
Seitov Erlan (Omsk, Russian Federation) – postgraduate student of Sm-16P3, The Siberian state automobile and highway University (SibADI) (644008, Omsk, Mira av., 5, e-mail: simbaev92@mail.ru).
Фундаментальные и прикладные исследования молодых учёных: материалы Международной научно- практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных, 8-9 февраля 2017 г.
ТЕХНОЛОГИИ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРА
УДК 624.07
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СЖАТО-ИЗГИБАЕМЫХ СТЕРЖНЕЙ ПРИ ПОТЕРЕ ОБЩЕЙ ПРОДОЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ С УЧЕТОМ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ
RESEARCH OF BEHAVIOUR OF THE OBLATE BENT ROD STOCK AT LOSS OF OVERALL LONGITUDINAL STABILITY TAKING INTO ACCOUNT GEOMETRICAL NONLINEARITY
Е.А. Титова, магистрант
Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет (СибАДИ), Россия, г. Омск
Аннотация. Разработана математическая модель продольно поперечного изгиба упругих прямых стержней в геометрически нелинейной постановке, а также программная реализация разработанных алгоритмов в общедоступном процессоре MS Excel. Проведено тестирование численно и экспериментально на простой тестовой задаче. Получена система из шести нелинейных дифференциальных уравнений. Полученные численные результаты сравниваются с данными, полученными экспериментально.
Ключевые слова: сжато-изгибаемые стержни, геометрическая нелинейность, продоль-
ная устойчивость, большие перемещения, Эйлер, критическая сила, дифференциальные уравнения, численные методы.
Введение
Существующие нормативные методы расчета несущих стержневых конструкций на проч ность, жесткость и устойчивость основаны на предположении малых деформаций [1,2,3]. При 123
этом, ввиду малости углов поворота сечений α в математических моделях напряженно- деформированного состояния стержней принято считать, что cos α ≈ 1, sinα ≈ α.
Такое допущение вносит погрешность, увеличивающуюся с ростом деформаций.
Линейные математические модели, построенные на допущении малости деформаций опи сывают напряженно-деформированное состояние стержней при нагрузках, не превышающих
критические в Эйлеровом понимании, а также позволяют определять само значение критиче ской нагрузки.
Но при всем этом линейные модели имеют существенный недостаток. С их помощью мате матически невозможно перешагнуть рубеж критических нагрузок, так как все расчетные пара метры при этом устремляются в бесконечность.
Вреальных неидеальных системах, достижение и даже превышение критических нагрузок сопровождается конечными деформациями. При этом стержни имеют совершенно определен ную несущую способность.
Всуществующих исследованиях и руководящих материалах разработаны достаточно эф фективные методики по учету влияния на несущую способность стержней различных дефектов
иначальных деформаций формы сечений (вырезы, отверстия, погиби полок, стенок профилей), погибей осей стержней, остаточных напряжений, линейных и угловых смещений опор.
Анализ поведения сжато-изгибаемых плоских стержневых систем в пределах упругих де
формаций в геометрически линейной постановке в достаточной степени разработан и апроби рован. В нормах проектирования стальных конструкций также предусмотрен расчет на проч ность изгибаемых, внецентренно-сжатых и сжато-изгибаемых стержней или балок по первой группе предельных состояний с учетом развития пластических деформаций [1]. Расчет постро
ен на введении в формулы прочности дополнительных коэффициентов, зависящих от формы и площади сечения.
Разработанные методы в своем большинстве сводятся к инженерным методикам, основан ным на определении большого количества, как правило, безразмерных коэффициентов, пред
Фундаментальные и прикладные исследования молодых учёных: материалы Международной научно- практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных, 8-9 февраля 2017 г.
ТЕХНОЛОГИИ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРА
ставленных в дискретном табличном или графическом виде по аналогии со СНиПами. Рас сматриваемые подходы страдают громоздкостью, расчеты имеют низкую точность.
Свод правил СП 16.13330.2011«Стальные конструкции» [1], в п. 4.2.5 рекомендует рассчи
тывать пространственные стальные конструкции «...как правило ... как единые системы с уче том факторов, определяющих напряженное и деформированное состояние, особенности взаи модействия элементов конструкций между собой и с основанием, геометрической и физической нелинейности, свойств материалов и грунтов». Однако, одновременный учет геометрической и физической нелинейностей до настоящего времени представляет собой чрезвычайно сложную задачу, особенно в расчетах пространственных конструкций на устойчивость. Исходя из этого, в этом же своде правил допускается следующее [1]:
-«Допускается выполнять проверку устойчивости стержневых конструкций (в том числе пространственных) с использованием сертифицированных вычислительных комплексов как идеализированных систем в предположении упругих деформаций талис».
-«В рамно-связевой или в связевой системах, когда узлы связевого блока не совпадают с
узлами каркаса, расчет следует выполнять по деформированной схеме (с учетом геометриче ской нелинейности системы)».
В данной работе предложена математическая модель и алгоритм численного решения за дачи о напряженно-деформированном состоянии упругих прямых стержней при плоском нагру
жении с учетом геометрической нелинейности.
Предлагаемый подход позволяет анализировать состояние упругих прямых стержней при любых закреплениях и нагрузках, в том числе превышающих критические.
1. Математическая модель продольно-поперечного изгиба упругого стержня в гео-
метрически нелинейной постановке (плоская задача)
На рисунке 1 изображено положение отрезка dz стержня с координатой z, отмеренной от левого конца стержня до нагружения, и положение того же отрезка длиной dz1 после нагруже
ния.
|
|
|
|
|
Y1 |
|
|
Y |
ϕ |
|
N1 |
А1 |
qy |
Qy+dQy |
124 |
|
|
||||||
|
|
N |
|
|
|||
|
|
|
|
qz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мx |
|
|
|
N+dN |
|
|
|
|
|
|
В1 |
|
|
|
v |
|
Q |
|
|
|
Z1 |
|
|
|
dz1 |
|
|
||
|
|
|
w |
|
Мx+dMx |
|
|
|
|
x |
|
|
v+dv |
||
|
|
|
|
В |
|
||
|
|
|
А |
|
|
Z |
|
|
|
z |
|
dz |
w+dw |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 1 – Положение элемента стержня до и после нагружения
Проектируя замкнутый контур АА1В1ВА на оси Y и Z , силы, действующие на отрезок dz1 и оси координат мы получаем систему из шести уравнений [4].
|
dv |
|
|
|
N COS ϕ − Q y |
SIN ϕ |
|
||||||
|
|
|
= −(1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
) SIN ϕ , |
(1) |
|
|
dz |
|
|
EF |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dw |
|
|
N COS ϕ − Qy SIN ϕ |
|
|||||||||
|
|
|
= (1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
) COS ϕ −1 , |
(2) |
|
dz |
|
|
EF |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
dN |
= −q |
|
, |
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Фундаментальные и прикладные исследования молодых учёных: материалы Международной научно- практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных, 8-9 февраля 2017 г.
ТЕХНОЛОГИИ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРА
|
|
|
|
dQy |
= −q |
|
|
, |
|
|
|
(4) |
||
|
|
|
|
dz |
y |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dM |
x |
= ( N SIN ϕ + Q |
|
COS ϕ) (1 + |
N COS ϕ − Qy |
SIN ϕ |
|
|||||||
|
|
|
|
) , |
(5) |
|||||||||
dz |
|
y |
EF |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dϕ |
= |
M x |
. |
|
|
|
(6) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
dz |
|
EJ x |
|
|
|
|
|
|||
Математическая модель представлена системой из шести нелинейных дифференциальных уравнений, включающих уравнения равновесия, геометрические и физические соотношения.
Обозначения введены в правой системе координат x, y, z: V(z) – прогибы оси стержня, W(z)
– продольные перемещения, ϕx(z) - угол поворота сечения стержня, N(z) – продольное усилие, Qy(z) - поперечное усилие, Mx(z) – изгибающий момент.
Шесть граничных условий для конкретной задачи всегда формулируются, так как при любом закреплении концов стержня, на каждом известны три условия:
-жесткое закрепление v = 0, w = 0, ϕ = 0;
-шарнирно-неподвижное закрепление Mx = 0, v = 0, w = 0;
-шарнирно-подвижное закрепление Mx = 0, v = 0, N = 0;
-свободный конец Mx = 0, Qy = 0, N = 0.
Составляющие математической модели изгиба и растяжения (сжатия) прямого стержня
Шесть уравнений равновесия:
|
|
|
|
|
dN |
= −q |
|
, |
|
dQ y |
= −q |
|
, |
|
dQ |
x |
|
= −q |
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dz |
z |
|
|
|
dz |
y |
|
dz |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dM x |
= Q |
|
|
COSϕ |
|
|
+N SIN ϕ |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dz x |
|
|
y |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
dM y |
|
= −Q |
|
COSϕ |
|
|
+N SIN ϕ |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
(9) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dz y |
|
|
x |
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dM |
z |
= −m |
|
|
− Q |
|
|
|
SINϕ |
|
|
dz y |
− Q |
|
|
SINϕ |
|
|
dz |
x |
. |
(10) |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dz |
|
z |
y |
y |
|
dz |
|
|
x |
x |
dz |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Геометрические соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dv |
= −SIN ϕ |
|
|
, |
|
|
du |
|
|
|
= SIN ϕ |
|
|
, |
|
|
|
dw |
= |
dz x |
|
COSϕ |
|
−1 |
(11) |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
dz x |
|
|
|
|
|
|
dz y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Интегрирование данной системы проводится численно в стандартном приложении MS Excel по схеме Эйлера с использованием метода неидеальностей, для чего уравнения записываются
в конечно-разностном виде (∆Ζ - шаг интегрирования) [4]. При этом легко формулируются усло
вия с упругими опорами, имеющими заданные линейные и угловые жесткости.
Данная схема интегрирования предполагает любое заданное изменение внешних распре деленных нагрузок qy(z), qz(z) и любое заданное изменение поперечного сечения по длине стержня F(z), Jx(z) с любым количеством промежуточных опор, включая упругие опоры и упру гое сплошное основание переменной по длине стержня жесткости.
Математическая модель, преобразованная к конечно-разностному виду:
v(i +1) |
= vi |
− ( |
N i COS ϕi − Q yi SIN ϕi |
) SIN ϕi ∆z , |
(12) |
|
|||||
|
|
|
EFi |
|
|
w |
= w |
+ [(1 + |
Ni COS ϕi − Qyi SIN ϕi |
) COS ϕ |
|
−1] ∆z |
, |
(13) |
||
|
i |
|||||||||
(i +1) |
i |
|
|
EFi |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
N(i +1) |
= Ni |
− qzi ∆z , |
|
|
|
(14) |
|
|
|
Qy (i +1) |
= Qyi |
− q yi ∆z , |
|
|
|
(15) |
||
Фундаментальные и прикладные исследования молодых учёных: материалы Международной научно- практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных, 8-9 февраля 2017 г.
ТЕХНОЛОГИИ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРА
M x(i +1) |
= M xi |
+ [( Ni |
SIN ϕi + Qyi COS ϕi ) (1 + |
Ni COS ϕi − Qyi SIN ϕi |
)] ∆z |
(16) |
||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
EFi |
|
|
|
|
|
ϕ(i +1) |
= ϕi |
+ |
M xi |
∆z , |
(17) |
||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
EJ xi |
|
|||
Отыскание неизвестных начальных параметров, удовлетворяющих заданным краевым ус ловиям, производится в процессоре MS Excel с помощью процедуры «Поиск решения», в кото
рой применен метод сопряженных градиентов или метод Ньютона по выбору.
При интегрировании системы вблизи критических нагрузок применен метод неидеальностей (малое возмущение в виде незначительной нагрузки в направлении предполагаемой потери устойчивости) и малое ступенчатое приращение основной нагрузки. В случае бифуркации ре шения величину приращения основной нагрузки необходимо уменьшить.
При прохождения критических нагрузок наблюдается нелинейное конечное увеличение рас четных параметров, в частности прогибов, что соответствует нашим представлениям о поведе нии реальных стержней.
Метод неидеальностей заключается в принудительном введении малого статического возмущения, например, при продольном нагружении стержня это может быть незначительная боковая сосредоточенная сила, которая и определяет формирование упругой оси стержня при переходе через критическую силу. В процессе расчета методом последовательных приближе ний при каждом посткритическом приращении продольной нагрузки должен наблюдаться нели нейный рост всех расчетных параметров системы. В случае бифуркации решения, когда мгно венно меняется знаки части расчетных параметров, необходимо вернуться к предыдущему ре шению и уменьшить шаг приращения продольной силы.
2. Численное и экспериментальное тестирование модели продольно-поперечного изгиба в геометрически нелинейной постановке (плоская задача)
Методика численного решения краевой задачи состоит в следующем. Задавая первое приближение неизвестных начальных параметров системы (1 – 6) на левом конце, MS Excel 126
варьирует эти значения до момента выполнения граничных условий на правом конце. На этом этапе используется стандартная процедура «Поиск решения» с применением метода сопря женных градиентов для указания направление поиска.
Далее, с помощью графического редактора «Мастер диаграмм», строятся графики расчет ных функций Qy(z), N(z), Mx(z), φ(z), v(z), w(z).
Данная схема численного интегрирования предполагает любое заданное изменение внеш них распределенных нагрузок qy(z), qz(z) и любое заданное изменение поперечного сечения по длине стержня F(z), Jx(z). При этом возможно моделирование местных и общих дефектов сече
ния (вырезы, отверстия, вплоть до местных коррозионных повреждений распределенных по длине стержня), а также начальные погиби, искривления оси, смещения и повороты опор. Воз можно размещение любого количества промежуточных опор.
Для оценки адекватности разработанной модели проводилось численное и натурное моде лирование работы образцов упругих стержней выполненных из стальной нагартованной холод нокатаной ленты (сталь У8) с условным пределом текучести 650÷700 МПа. Необходимость вы бора прочного упругого материала для образцов продиктовано желанием протестировать мо дель в больших перемещениях.
Приведем результаты решения тестовой задачи поиска равновесных состояний упругих прямых стальных стержней при нагрузках, равных и превышающих критические по Эйлеру.
Стержень прямоугольного сечения 51(b)х1,145(h) мм длиной (L) 665 мм тестировался в ре жиме продольно-поперечного изгиба (рис. 2). Критическая сила по Эйлеру 58,14 Н.
В данной схеме мы проверяли значения вертикальных, горизонтальных перемещений, а так же значение критической силы, полученных теоретически и экспериментально.
Для данной расчетной схемы граничные условия выглядят: v0 = w0 = φ0 = 0;
v(L) = 0, N(L) = -P, Mx(L) = 0.
Фундаментальные и прикладные исследования молодых учёных: материалы Международной научно- практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных, 8-9 февраля 2017 г.
ТЕХНОЛОГИИ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРА
Рисунок 2 – Расчетная схема экспериментального стержня (вторая задача)
В качестве примера на рисунке 3 приведены результаты численного интегрирования систе мы 1-6: показана форма упругой оси стержня V(z) при продольной силе Р = 60 Н (Р/Ркр = 1,032).
V(z), мм
150
100
V
50
0
050 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700
z
Рисунок 3 – Расчетная форма упругой оси стержня при продольной
силе Р = 60 Н (Р/Ркр = 1,032)
127
Таблица 1 – Значения прогибов при различных продольных силах
Продольная сила |
Теоретические значения |
Данные экспернимента |
P, Н |
Vmax, мм |
Vmax, мм |
58 |
0,80 |
0 |
58,5 |
52,15 |
51 |
59 |
80,41 |
81 |
59,5 |
100,33 |
100 |
60 |
116,32 |
114 |
Рисунок 4 – Расчётная зависимость вертикальных перемещений от приложенных усилий
и экспериментально полученные данные по таблице 1
Фундаментальные и прикладные исследования молодых учёных: материалы Международной научно- практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных, 8-9 февраля 2017 г.
ТЕХНОЛОГИИ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРА
Для экспериментального тестирования разработан и изготовлен испытательный стенд. Стенд позволяет моделировать шарнирное или жесткое закрепления прямого стержня. При
этом возможна организация промежуточной шарнирной опоры для моделирования работы двухпролетных неразрезных балок. Подвижная часть стенда, посредством которой производи лось продольное нагружение, выполнена с использованием шариковой направляющей поступа тельного движения. Критическая продольная сила принималась равной вертикальной нагрузке, при которой стержень, находясь в прямолинейном состоянии при бесконечно малом возмуще
нии переходил в искривленное равновесное состояние.
На рисунке 5 приведен фрагмент экспериментальной установки в момент равновесия рас четного стержня при нагружении продольной силой Р = 60 н (Р/Ркр = 1,032). Расхождение рас четного и экспериментально полученного значения максимального прогиба Vmax составляют не
более 4 %.
128
Рисунок 5 – Фрагмент экспериментальной установки в момент равновесия стержня при нагружении продольной силой Р = 60 н (Р/Ркр = 1,032)
На основании вышеизложенного можно сделать вывод о том, что предложенная мате матическая модель продольно-поперечного изгиба упругих стержней в геометрически нелиней ной постановке адекватно отображает напряженно-деформированное состояния при нагрузках,
превышающих критические в условиях наступившей потери продольной устойчивости.
Выводы
Сравнительный анализ результатов численного решения и экспериментально полученных данных выявил адекватность математической модели продольно-поперечного изгиба реально
Фундаментальные и прикладные исследования молодых учёных: материалы Международной научно- практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных, 8-9 февраля 2017 г.