Модуль 6.3. Операторный метод анализа переходных процессов

Цель модуля: Освоение операторного метода анализа неустановившихся и пе реходных процессов.

Преобразование Лапласа и его применение к решению дифференциальных уравнений

Классический метод анализа переходных процессов используют в основном в тех случаях, когда исследуемая цепь имеет невысокий порядок сложности, а внеш нее воздействие на нее после коммутации является гармонической функцией вре мени либо постоянно. Если внешнее воздействие на цепь после коммутации имеет более сложный характер, то определение вынужденной составляющей реакции цепи существенно затрудняется, а при повышении порядка цепи усложняется нахожде ние постоянных интегрирования. Значительно большие возможности представляет операторный метод анализа переходных процессов, основанный на применении преобразования Лапласа. Подобно ранее рассмотренному методу комплексных ам плитуд, операторный метод относится к символическим методам, в которых опера ции над функциями времени заменяются операциями над их символами (изображе ниями). Взаимное соответствие между функцией времени а(t) и ее изображением А(p) в операторном методе устанавливается с помощью прямого

Функция А(р) называется операторным изображением функции a(t) или изображением функции a(t) по Лапласу. Исходная функция времени a(t) по отноше нию к своему операторному изображению является оригиналом. Комплексное чис ло р будем называть оператором преобразования Лапласа или комплексной час­ тотой (смысл последнего понятия будет пояснен в модуле 6.4).

Из курса высшей математики известно, что для функций a(t), равных нулю, при t < 0, интегрируемых при t > 0 и удовлетворяющих неравенству

491

ванию по формулам (6.46), (6.47) приходится прибегать сравнительно редко, так как для большинства часто употребляемых функций разработаны таблицы прямого и обратного преобразований Лапласа [11, 12]. Операторные изображения некоторых функций приведены в приложении 1. Следует иметь в виду, что в ряде справочни ков, в частности в [11], приведены таблицы преобразования Лапласа — Карсона

которое отличается от преобразования Лапласа только наличием множителя р.

Напомним некоторые свойства преобразования Лапласа.

Изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций:

где ai(t) Ai(p).

Если начальное значение функции a(t) равно нулю: а(0+) = 0, то дифференциро­ ванию функции a(t) соответствует умножение изображения этой функции на р (тео­ рема дифференцирования):

Повторным применением теоремы дифференцирования можно получить вы ражения для производных высших порядков:

Интегрированию функции времени в пределах от 0 до t соответствует деление изображения этой функции на р (теорема интегрирования):

492

причем степень полинома М(р) выше, чем степень полинома N(p), а уравнение

не имеет кратных корней, то для перехода от изображения к оригиналу можно вос пользоваться теоремой разложения:

где рk — корни уравнения (6.56).

Теорема разложения может быть сформулирована также для случая, когда уравнение (6.56) имеет кратные корни, и может быть распространена на случай, ко гда А(р) является произвольной мероморфной функцией р, т. е. функцией, не имею щей иных особых точек, кроме полюсов [12].

Как известно, преобразование Лапласа лежит в основе операторного метода решения линейных дифференциальных уравнений. С этой целью неизвестные токи и напряжения ветвей электрической цепи, а также заданные токи и напряжения не зависимых источников заменяют их операторными изображениями. При этом сис тема интегро дифференциальных уравнений электрического равновесия, состав ленная относительно мгновенных значений токов в напряжений ветвей, преобразу ется в систему алгебраических уравнений относительно операторных изображений соответствующих токов и напряжений. Решая эту систему уравнений, можно найти изображения искомых токов и напряжений ветвей электрической цепи после ком мутации. Применяя обратное преобразование Лапласа, можно перейти от изображе ний искомых токов и напряжений к оригиналам.

Уравнения электрического равновесия цепи в операторной форме. Опе

раторные схемы замещения идеализированных двухполюсных элементов

Как следует из ранее рассмотренного материала, используя преобразование Лапласа, каждому уравнению, входящему в систему уравнений электрического рав новесия цепи, можно поставить в соответствие уравнение, составленное относи тельно операторных изображений токов и напряжений. Уравнениям баланса мгно венных значений токов и напряжений соответствуют уравнения баланса оператор ных изображений токов и напряжений, а компонентным уравнениям, описывающим соотношения между мгновенными значениями токов и напряжений отдельных вет вей,— уравнения, связывающие операторные изображения токов и напряжений тех же ветвей. Вследствие того что изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций (6.50), для перехода от уравнений баланса мгновенных значений токов и напряжений ветвей к уравнениям баланса операторных изобра жений токов и напряжений достаточно в уравнениях (1.39), (1.40) заменить мгно венные значения токов и напряжений их операторными изображениями:

494

0. 6.59

Если уравнения баланса напряжений формировались относительно мгновен ных значений напряжений отдельных элементов (1.41), то в операторной форме эти уравнения принимают вид

. 6.60

Уравнения (6.58) и (6.59) или (6.60) будем называть уравнениями баланса то­ ков и напряжений в операторной форме, а операторные изображения токов и на пряжений — операторными токами и напряжениями.

По аналогии с ранее рассмотренными понятиями комплексного входного со противления Z = Z(jω) и комплексной входной проводимости Y = Y(jω) введем поня тия операторного входного сопротивления Z(p) и операторной входной проводимо сти Y(p).

Операторным входным сопротивлением пассивного линейного двухполюс ника называется отношение операторного напряжения на входе двухполюсника к операторному току при нулевых начальных условиях:

Операторное входное сопротивление и операторная входная проводи­ мость пассивного линейного двухполюсника, подобно его комплексному вход­ ному сопротивлению и комплексной входной проводимости, не зависят от ин­ тенсивности внешнего воздействия и определяются только параметрами вхо­ дящих в двухполюсник идеализированных пассивных элементов и схемой их соединения.

Как следует из выражений (6.61), (6.62), каждому пассивному линейному двух полюснику при нулевых начальных условиях может быть поставлена в соответствие операторная схема замещения, на которой рассматриваемый двухполюсник пред ставляется своим операторным входным сопротивлением или операторной входной проводимостью, а токи и напряжения на его зажимах— их операторными изображе ниями. Если в рамках решаемой задачи двухполюсник не находится при нулевых на

495

чальных условиях, то его операторная эквивалентная схема должна содержать неза висимый источник тока или напряжения, характеризующий начальные запасы энергии в цепи.

Рассмотрим операторные компонентные уравнения и операторные схемы за мещения идеализированных пассивных двухполюсников.

Резистивный элемент. Соотношения между мгновенными значениями тока и напряжения на зажимах резистивного элемента устанавливаются выражениями

(1.9), (1.10): uR = R iR; iR = GuR.

Учитывая, что умножению функции времени на постоянное число соответству ет умножение изображения функции на это же число (6.49), для получения компо нентных уравнений резистивного элемента в операторной форме достаточно в вы ражениях (1.9), (1.10) заменить мгновенные значения токов и напряжений их опера торными изображениями:

. 6.64

Подставляя соотношения (6.63), (6.64) в (6.61), (6.62), находим выражения для операторного входного сопротивления и операторной входной проводимости рези стивного элемента:

Операторная эквивалентная схема резистивного элемента приведена на рис.

6.8.

Рис. 6.8. Операторная схема замещения резистивного элемента

Емкостный элемент. Напряжение и ток емкостного элемента связаны между собою компонентными уравнениями (1.13), (1.16):

Используя теоремы дифференцирования (6.52), и интегрирования (6.53), по лучаем

496

Операторные компонентные уравнения емкостного элемента (6.66) и (6.67) являются равносильными и могут быть получены одно из другого с помощью оче видных преобразований. При нулевых начальных условиях [uC(0) = 0] они вырожда ются в выражения

;⁄ ,

откуда находим операторное входное сопротивление и операторную входную про водимость емкостного элемента:

;. 6.68

Операторным компонентным уравнениям (6.66) и (6.67) соответствуют парал лельная и последовательная схемы замещения емкостного элемента (рис. 6.9, а, б), содержащие независимый источник тока CuC (0+) или напряжения uC(0+)/p. При ну левых начальных условиях независимые источники тока или напряжения, характе ризующие начальный запас энергии в элементе, выключаются, и в операторной эк вивалентной схеме емкостного элемента остается только один элемент — опера торное входное сопротивление или операторная входная проводимость емкости

(рис. 6.9, в).

Рис. 6.9. Операторные схемы замещения емкостного элемента: а — параллельная при ненулевых начальных условиях; б — последовательная при ненулевых началь ных условиях; в — при нулевых начальных условиях

Индуктивный элемент. Мгновенные значения тока и напряжения индук тивного элемента связаны между собой соотношениями (1.22) и (1.23):

497

Применяя к этим выражениям теоремы дифференцирования (6.52) и интегри рования (6.53), получаем компонентные уравнения индуктивности в операторной форме:

Уравнения (6.69), (6.70) равносильные и могут быть получены одно из другого с помощью элементарных преобразований. Используя их, определяем операторное входное сопротивление и операторную входную проводимость индуктивного эле мента:

и строим его последовательную и параллельную схемы замещения (рис. 6.10, а, б). Как и операторные схемы замещения емкостного элемента, операторные схемы за мещения индуктивного элемента содержат независимый источник напряжения (0+) или тока 0 / , характеризующий начальный запас энергии в индуктив ном элементе. Операторная схема замещения этого элемента при нулевых началь

ных условиях приведена на рис. 6.10, в.

Рис. 6.10. Операторные схемы замещения индуктивного элемента: а — последовательная при ненулевых начальных условиях; б — параллельная при ненулевых начальных условиях; в — при нулевых начальных условиях.

Выражения для операторных входных сопротивлений (проводимостей) идеализированных пассивных элементов имеют ту же структуру, что и выра­ жения для комплексных входных сопротивлений (проводимостей) этих же элементов; они могут быть получены одно из другого путем замены jω на р.

Аналогичным образом может быть найдено выражение для операторного входного сопротивления (проводимости) произвольного линейного двухполюсника, составленного из идеализированных пассивных элементов. Поэтому для преобразо вания операторных схем замещения линейных пассивных двухполюсников при ну левых начальных условиях можно использовать все рассмотренные ранее (см. мо дуль 2.6) правила преобразования линейных пассивных цепей при гармоническом воздействии, а для преобразования операторных схем замещения тех же участков цепей при ненулевых начальных условиях — правила преобразования активных двухполюсников. В частности, последовательная и параллельная схемы замещения

498